Heureka oder Helau ?

[richy]

(PART 1)

Hi EMI

Eins plus Wurzel (5)
**************
Ist das Doppelte vom goldenen Schnitt. Meine Lieblingszahl wie du sicherlich weisst. Ich versuche also momentan die Differenzengleichung
y[k+1]= (1+Wurzel(5))*y[k]*(1-y[k]) zu loesen. Warum gerade der Parameter ? Weil ich top down vorgehen wollte.
Die r=2 Loesung betrift einen konstanten, keinen alternierenden Attraktor.
Die r=4 Loesung betrifft den "chaotischen" dennoch relativ einfachen Attraktor.
Ich wollte mich erstmal dem naechstschwierigsten Fall widmen. Dem 2 er Zyklus:1+sqrt(4)..1+sqrt(6)
Ja, in der Verhulst Gleichung sagt man besser 3=1+Wurzel(4) und 2=1+Wurzel(1)


Unter dem Feigenbaudiagramm habe ich noch den von mir analytisch berechneten Ljapunov Exponenten dagestellt. |2-a| zum Beispiel.
Ljapunov Exponenten klingt abgehoben. Das ist lediglich ein Bewertungsmaß dafuer wie empfindlich die DZGL auf Schwankungen der Anfangswerte reagiert.
Recht einfach zu implementieren.
http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le1.htm

Es gilt :

LE>0 chaotisch
LE<0 ordentlich

Fuer den loesbaren Fall r=2 ist der LE minimal. Maximale Ordnung
Wie man sieht auch fuer 1+Wurzel(5) herrscht im 2 er Zyklus maximale Ordnung. Daher meine Wahl. Musste zwangslaeufig meine Lieblingszahl waehlen :-)

Wie erwaehnt fuehren Loesungsansaetze der Verhulstgleichung mit 2*(meine Lieblingszahl) zu verketteten Wurzeln mit variablen Koeffizienten.
Beispiel einer verketteten Wurzel mit variablen Koeffizienten 1,2,3,4 ... :

Versuche nicht den obigen Ausdruck zu loesen :-) Gelingt dir sicherlich gar nicht oder nur mit sehr viel Muehe. Eine typische Ramanujan Aufgabe.
Vor etwa zwei Stunden habe ich noch durch solche Kettenwurzeln gekaempft.

Wenn die Koeffizienten konstanten sind kann sogar "meiner Einer" die noch recht gut handhaben.
Aber wenn sie nicht konstant sind und gar noch komplewertig wird es exorbitant schwierig. Man muss sich dann der "Euler Transformation" ? bemuehen. Und die habe ich nicht richtig drauf. Und wahrscheinlich ist selbst diese nicht maechtig genug so dass man auf Ergebnisse von Srinivasa Ramanujan zurueckgreifen muss, falls vorhanden.
Diesen Herren hier.

http://de.wikipedia.org/wiki/S._Ramanujan
Fuer Stephen Wolframs (*) r=4 Problem kommt man auch nicht an einer Kettenwurzel mit variablen Koeffizienten vorbei. Die Koeffizienten sind aber lediglich alternierend. Daher noch recht gut handhabbar. Ramanujan lieferte sicherlich Wolframs Arcus-Kosinus Ansatz. Kann mich da an eine Kettenwurzel von Ramanujan mit einer arccos Loesung erinnern.

Folgendes ist etwas komplizierter :
Wie kommt man ueberhaupt zu einem Loesungsansatz fuer die Verhulst Gleichung ? Im Thread DGL versus DZGL habe ich das bereits geschildert.

Man kann versuchen fuer g{y(k+1)}/g{y(k)}, also eine geschickte Substitution, einen einfachen Ausdruck zu finden, den man dann mit der Z-Transformation oder auch durch "scharfes Ansehen" loesen kann.
g{} ist hier eine beliebige Funkton.

Hat man eine Loesung L{} fuer g{y(k+1)}/g{y(k)} gefunden kann man unter gluecklichen Umstaenden daraus auch ein f{L{}} fuer g{y(k)}/g{y0} bestimmen. Damit ist die DZGL wie im Fall r=2, r=4 loesbar.
g{y(k)}=f{L{}}*g{y0}
y(k)=g_invers{ f{L{}}*g{y0} }
f{L{}}, eine Funktion von k. f{L{k}} hat man vorher bestimmt.

Naja das war richy Sprache.:
Mal ein einfaches Beispiel :

u(k+1)/u(k)=constant
gilt
u(k+1)=constant*u(k)
gemaess der Karnickelgleichung (Schulstoff)
u(k+1)=constant^k*u0

(*)
Stephen Wolfram ist der Schoepfer von Mathematika und ein weltweit anerkannter Spezialist fuer Differenzengleichungen.