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  #11  
Alt 02.06.21, 15:31
Zweifels Zweifels ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 26.11.2018
Beiträge: 244
Standard AW: Primzahlzwillinge

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Dann sollte es allerdings nicht als Lemma, sondern als offene Frage bezeichnet werden.
Ne, da hast du mich falsch verstanden. Die offene Frage wird beantwortet, in dem eine Konstruktionsvorschrift für diese Primzahlen zwischen p_n und (p_n)² gegeben wird.
Der Index m in Lemma 0.3 von e_m bzw. y_m kann beliebig gross sein und damit findet sich auch stets eine Differenz, welche p_{n+x} ergibt.

Aber nochmal zurück zu deiner Bemerkung: Fändest du es besser, es als offene Frage zu bezeichnen?
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  #12  
Alt 02.06.21, 20:52
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.661
Standard AW: Primzahlzwillinge

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Aber nochmal zurück zu deiner Bemerkung: Fändest du es besser, es als offene Frage zu bezeichnen?
Das hängt davon ab, ob man davon ausgehen kann, dass es im Bereich p_n bis p_n^2 immer mindestens eine weitere Primzahl gibt.

Für sehr große Primzahlen (und um die geht es hier ja) erscheint mir das momentan fraglich.

Die Primzahlzählfunktion pi(x) wächst für große x ja immer langsamer. Man müsste da klären, ob damit p_n+1 nicht irgendwann größer als p_n^2 wird. Dann wäre der Bereich p_n bis p_n^2 auch mal ohne Primzahl.
__________________
Freundliche Grüße, B.
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  #13  
Alt 03.06.21, 00:57
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 04.10.2014
Beiträge: 2.659
Standard AW: Primzahlzwillinge

Nach Joseph Bertrand gilt für jedes n > 1: zwischen n und 2n liegt wenigstens eine Primzahl. Damit liegt offensichtlich zwischen p und p² wenigstens eine Primzahl.
__________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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  #14  
Alt 04.06.21, 18:38
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
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Standard AW: Primzahlzwillinge

OK. Damit würde ich Lemma 0.1. und 0.2 als korrekt bewerten.

EDIT: Beim "Beweis" von "Lemma" 0.3 ergibt sich schnell ein offensichtlicher logischer Widerspruch, da p_n+x gemäß (1) und der Voraussetzung in "Lemma" 0.3 gleich 1 ist, gleichzeitig gemäß "Lemma" 0.3 aber auch größer als p_n sein soll.
__________________
Freundliche Grüße, B.

Geändert von Bernhard (17.11.21 um 00:24 Uhr)
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  #15  
Alt 01.10.21, 08:52
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.661
Standard AW: Primzahlzwillinge

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Nach Joseph Bertrand gilt für jedes n > 1: zwischen n und 2n liegt wenigstens eine Primzahl.
Der Vollständigkeit halber, hier der Beweis zu diesem Satz:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_...%27s_postulate
__________________
Freundliche Grüße, B.
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  #16  
Alt 21.11.21, 17:00
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.661
Standard AW: Primzahlzwillinge

Das im ersten Beitrag verlinkte Thema im MatheBoard ist inklusive Autor zwar gesperrt, kann aber immerhin noch als Motivation für einen Primzahlgenerator für endliche Primzahlmengen herhalten.

Man findet so nach einer kleinen Korrektur sogar eine interessante Alternative, bzw. Erweiterung des Generators im WP-Artikel.

So gilt zB

p_1 * p_2 * ... * p_n + oder - p_(n+1)^m ist prim, solange die so berechnte Zahl kleiner als (p_(n+2))² ist. Der Beweis dazu ist trivial.

m muss dabei als positive ganze Zahl so gewählt werden, dass die erzeugte Zahl immer größer als 1 und kleiner als (p_(n+2))² ist.

EDIT: Im eigentlichen Thema würde man nun weiterkommen, wenn man mit diesem Generator immer einen Zwilling konstruieren könnte, so dass zumindest eine der beiden Primzahlen des neuen Zwillings größer als p_(n+1) ist.

Nochmal EDIT: Mit einem kleinen Computerprogramm kann man zeigen, dass man mit allen Möglichkeiten an Exponenten, ähnlich auch wie im verlinkten MatheBoard-Thema beschrieben + Beschreibung aus dem WP-Artikel, aus den Zahlen 2 und 3 alle Primzahlen kleiner 5²-1 und aus den Zahlen 2, 3 und 5 alle Primzahlen kleiner als 7²-1 konstruieren kann.

Im ersten Fall kann man die Exponenten der Zahlen 2 und 3 von 1 bis 5 variieren und jeweils die Summe und Differenz betrachten.

Im zweiten Fall reicht es die Exponenten auch bis maximal 5 zu betrachten. Man hat dann die Kombinationen 2^i + 3^j * 5^k, 2^i - 3^j * 5^k, 2^i * 3^j + 5^k und 2^i * 3^j - 5^k, wobei die Exponenten i, j, und k immer von 1 bis 5 laufen und das Ergebnis nur gespeichert wird, falls es im Bereich 2 bis 47 liegt.

Das macht den Generator interessant, weil man damit eventuell aus einer vorher bekannten vollständigen Menge an Primzahlen eine größere vollständige Menge an Primzahlen ableiten kann.

Für die konkrete Anwendung in einem Computerprogramm ist dieser Generator aufgrund der hohen Anzahl an Kombinationen in den Exponenten aber leider nur für sehr kleine Mengen an Primzahlen anwendbar. Bereits bei der Schranke von 1e6 ist das Sieb des Eratosthenes im Rechenaufwand deutlich geringer.
__________________
Freundliche Grüße, B.

Geändert von Bernhard (22.11.21 um 19:49 Uhr)
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  #17  
Alt 22.11.21, 12:39
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
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Beiträge: 1.661
Standard AW: Primzahlzwillinge

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
EDIT: Beim "Beweis" von "Lemma" 0.3 ergibt sich schnell ein offensichtlicher logischer Widerspruch, da p_n+x gemäß (1) und der Voraussetzung in "Lemma" 0.3 gleich 1 ist, gleichzeitig gemäß "Lemma" 0.3 aber auch größer als p_n sein soll.
Um den Fehler zu beheben, kann man versuchsweise davon ausgehen, dass eigentlich der Ausdruck innerhalb der runden Klammern rechts vom Gleichheitszeichen von (3) gleich 1 sein soll, aber selbst mit dieser Korrektur stößt man auf weitere Fehler, denn bei (2) wird ja angenommen, dass in jedem Summanden der Multiplikator p_n+x enthalten ist. Dazu findet man aber schnell ein Gegenbeispiel:

Sei p_n = 5 und p_n+x = 19, so gilt zwar 19 = 4 * 3 * 5 - 43 + 2 = 2 * 31 - 43. Auf der rechten Seite kann man die 19 nicht ausklammern, weil 31 und 43 prim sind.
__________________
Freundliche Grüße, B.

Geändert von Bernhard (22.11.21 um 19:41 Uhr)
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  #18  
Alt 22.11.21, 21:37
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.661
Standard AW: Primzahlzwillinge

Abschließend und der Vollständigkeit halber noch eine etwas ausführlichere Beschreibung des oben bereits erwähnten Primzahlgenerators für endliche Primzahlmengen:

Man beginnt mit einer bereits bekannten und vollständigen Menge an Primzahlen p_1, p_2, ... , p_n. Nun bildet man aus der Untermenge p_1 bis p_n-1 zwei nichtleere Mengen aus aufeinanderfolgenden Primzahlen aus dieser Untermenge, d.h. a = {p_1 bis p_i} und b = {p_i+1 bis p_n-1} mit i < n-1 und betrachtet die Menge aller Summen

sum := p_1^x_1 * ... * p_i^x_i (+/-) p_(i+1)^y_(i+1) * ... * p_(n-1)^y_(n-1)

mit den positiven und ganzzahligen Exponenten x_1 bis x_i alle größer oder gleich 1 und y_(i+1) bis y_(n-1) ebenfalls alle größer oder gleich 1.

Die resultierenden Zahlen sind entweder selbst Primzahlen oder bestehen aus den Primfaktoren, die nicht zu den Mengen a oder b gehören. Die kleinste so erzeugte Nicht-Primzahl ist demnach p_n^2. Wählt man die Exponenten nun so aus, dass sum > 1 und sum < p_n^2 ergeben sich ausschließlich Primzahlen im Bereich 2 bis p_n^2-1, wobei p_n^2-1 als gerade Zahl noch ausgeschlossen werden kann.

Für den Fall, dasss man so von einer vollständigen und endlichen Liste an Primzahlen zu einer größeren vollständigen und endlichen Liste kommt, kann man sich überlegen, ob die größere Liste eventuell grundsätzlich einen Primzahlzwilling enthält .
__________________
Freundliche Grüße, B.
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