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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 27.10.18, 18:23
Simon_St Simon_St ist offline
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Standard Quantenfeldtheorie

Hallo,
ich habe hier in den letzten Tagen viel gepostet. Hier ist nochmal eine grundsätzliche Verständnisfrage:

Ich habe aus den Antworten meiner Posts herausgehört, dass man folgendes unterscheiden muss:

In QM1 wird ein Teilchen quasi schon als Feld behandelt, in dem Sinne, dass es dort eine Wellengleichung gibt, die das Teilchen beschreibt. Wo genau ist der Unterschied zur der Quantenfeldtheorie?
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  #2  
Alt 27.10.18, 18:27
Simon_St Simon_St ist offline
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Registriert seit: 20.10.2018
Beiträge: 21
Standard AW: Quantenfeldtheorie

Ups, der Post wurde schon abgesendet.

Es geht darum, dass jemand mir den Unterschied zwischen der Wellengleichung eines Teilchens erklärt (oder auch einer Vielteilchen-Wellenfunktion) und der Felder in der Quantenfeldtheorie?

Bei beidem ist wohl der Hilbertraum die mathematische Grundlage. Ich hoffe jemand versteht das Problem, dass ich da habe.
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  #3  
Alt 27.10.18, 20:33
Simon_St Simon_St ist offline
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Registriert seit: 20.10.2018
Beiträge: 21
Standard AW: Quantenfeldtheorie

Ich habe mir den Hilbertraum genauer angeschaut. Vll lässt sich hier mein Problem klären.

Benutzt man in QM1 und Quantenfeldtheorie verschieden strukturierte Hilberträume?

Was ist ein Element im Hilbertraum bei QM1 und Quantenfeldtheorie?

In QM1 kann man die Einteilchen-Wellenfunktion als Funktion aus dem R³ in die komplexen Zahlen verstehen, die quadrat-integrabel sein muss.
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  #4  
Alt 27.10.18, 21:23
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Quantenfeldtheorie

In der QM1 benutzt man im wesentlichen den L²(B) der quadratintegrablen Funktionen f über einem Bereich B, oder den l² der quadrat-summierbaren Folgen. Für einen kompakten Bereich B kann man einen Isomorphism finden, gegeben durch die Fouriertransformation o.ä.

Für nicht-kompakte Bereiche funktioniert das zunächst nicht, da die Fouriertransformation eine unitäre Transformation auf dem L² selbst ist. Allerdings kann man für Wellenpakete auf dem L²(-∞,+∞) argumentieren, dass diese mittels Legendrefunktionen als Basis des L² dargestellt werden können; dann definieren die Koeffizienten bzgl. dieser Basis gerade wieder eine Folge im l².

Ebene Wellen oder temperierte Distributionen im Abschluss des L² sind meiner Meinung nach lediglich Artefakte der Rechenmethodik und haben keine physikalische Relevanz. Physikalische Zustände sind immer in gewisser Weise lokalisierte Zustände. Damit landet man in der QM1 immer beim l².

Elemente des l² entsprechen nun gerade den Zuständen des N-dim. quantenmechanischen Oszillators. Ein Basisvektoren des letzteren lautet gerade |n₁, n₂, ...>, ein beliebiger Zustand kann durch Superposition aus diesen Basiszuständen konstruiert werden, z.B. für N = 3

|ψ> = ψ₁₀₀ |1,0,0> + ψ₂₀₀ |2,0,0> + ψ₁₀₁ |1,0,1>

Nun ist natürlich nicht jedes Problem ein N-dim. harmonischer Oszillator. Da jedoch zwischen beliebigen separablen Hilberträumen immer ein Isomorphismus existiert, kann jedes Problem auf diesen Hilbertraum abgebildet werden (was für konkrete Berechnungen völlig impraktikabel wäre ;-) Die strukturelle Unterscheidung zwischen den Problemen liegt dann aber nicht in den Hilberträumen oder den Zuständen begründet, sondern in den darauf zu betrachtenden Operatoren. Nicht der Zustand trägt die Bedeutung, sondern nur der Zustand bezogen auf die Observablen, also z.B. den Hamiltonoperatoren

H = p²/2m + ½ mω²x²

H = p²/2m - α/r

Einen a-Teilchen-Hilbertraum Hª erhältst du formal als direktes Produkt mit Symmetrisierung über diesen 1-Teilchen-Hilberträumen h = h¹

Hª = (hh ⊗ ...) = ⨂ª h

In der Hamiltonschen Formulierung der QFT benutzt man den Fockraum F als Verallgemeinerung des Hilbertraumes für unendlich viele Teilchen.

Der Fockraum ist die direkte Summe der symmetrischen Tensoren über den a-Teilchen-Hilberträumen

F = ⨁ Hª = 1 ⊕ h ⊕ (hh) ⊕ (hhh) ⊕ ...

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Benutzt man in QM1 und Quantenfeldtheorie verschieden strukturierte Hilberträume?
Nicht wirklich.

Die zugrundeliegenden Hilberträume sind identisch. Man könnte auch ein N-Teilchen-Problem der QM1 im Fockraum definieren; der wesentliche Punkt ist, dass in der QM1 keine Operatoren verwendet werden, die die Teilchenzahl ändern.
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«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Geändert von TomS (27.10.18 um 22:24 Uhr)
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  #5  
Alt 03.11.18, 16:10
Simon_St Simon_St ist offline
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Registriert seit: 20.10.2018
Beiträge: 21
Standard AW: Quantenfeldtheorie

"der wesentliche Punkt ist, dass in der QM1 keine Operatoren verwendet werden, die die Teilchenzahl ändern. "


Auch hier habe ich eine Frage:

Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren stellen doch keinen physikalischen Vorgang da!? Oder doch?


Meiner bisherigen Anschauung nach, hat man einen Zustand im Hilbertraum und ein physikalischer Vorgang ist die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf diesen Zustand!?
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  #6  
Alt 03.11.18, 23:50
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Quantenfeldtheorie

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren stellen doch keinen physikalischen Vorgang da!? Oder doch?
Ein einzelner derartiger Operator stellt keinen physikalischen Vorgang dar; z.B. würde das im Falle des Elektrons die Erhaltungssätze für Energie, Impuls, Drehimpuls und Ladung verletzen.

Aber diverse Kombinationen stellen durchaus reale Vorgänge dar; z.B. wird die Vernichtung von Elektron und Positron mit Erzeugung eines Photons durch ein Produkt dreier derartiger Operatoren beschreiben.

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Meiner bisherigen Anschauung nach, hat man einen Zustand im Hilbertraum und ein physikalischer Vorgang ist die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf diesen Zustand!?
Richtig. Und im Hamiltonoperator der QED kommt u.a. dieses o.g. Produkt vor.
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  #7  
Alt 04.11.18, 10:34
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Quantenfeldtheorie

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren stellen doch keinen physikalischen Vorgang da!? Oder doch?
Ich verstehe es beim Feldoperator so, dass dieser ja bereits die Messung des Feldes beschreiben soll und das geht natürlich nur, wenn der Detektor mit dem Feld wechselwirkt. Insofern macht es Sinn den Feldoperator über die Kombination eines Erzeugungs- und eines Vernichtungsoperators zu beschreiben. Dies entspricht der Emission oder Absorption eines Teilchens bei dem Messvorgang. Die Fourieranalyse des Feldes ergibt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für beide Vorgänge.

Man findet diese Sichweise übrigens "so in etwa" auch in einem der populärwissenschaftlichen Bücher von R. Feynman. Ich denke es war: QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie. D.h. in dem Buch wird das ansatzweise so formuliert.

Zitat:
Meiner bisherigen Anschauung nach, hat man einen Zustand im Hilbertraum und ein physikalischer Vorgang ist die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf diesen Zustand!?
Anders ausgedrückt: Die Dynamik (d.h. Zeitentwicklung) eines quantenmechanischen Systems wird mit Hilfe des zugehörigen Hamiltonoperators beschrieben.
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Freundliche Grüße, B.

Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921
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  #8  
Alt 04.11.18, 13:02
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Quantenfeldtheorie

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Ich verstehe es beim Feldoperator so, dass dieser ja bereits die Messung des Feldes beschreiben soll und das geht natürlich nur, wenn der Detektor mit dem Feld wechselwirkt. Insofern macht es Sinn den Feldoperator über die Kombination eines Erzeugungs- und eines Vernichtungsoperators zu beschreiben. Dies entspricht der Emission oder Absorption eines Teilchens bei dem Messvorgang. Die Fourieranalyse des Feldes ergibt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für beide Vorgänge.
Sorry, nein, mit einer Messung hat das nichts zu tun.

Messung und Detektor sind nicht Bestandteil des Formalismus der QFT (so wie auch in der orthodoxen QM).

Tatsache ist, dass man asymptotischen Zuständen scharf definierten Impuls etc. zuschreibt und dass es gerade diese asymptotischen Zustände sind, die üblicherweise mittels der Feldoperatoren sowie Fouriertransformation eingeführt werden. Das ist jedoch weder notwendig - man kann auch andere Zustände verwenden - noch immer sinnvoll - nämlich dann nicht, wenn z.B. keine asymptotischen Zustände existieren wie im Falle des Confinements von Quarks und Gluonen.

Dass es gerade diese asymptotischen Zustände sind, die man Streuexperimenten misst, bedeutet keineswegs, dass der Formalismus diese Messung oder den Detektor mathematisch beschreibt. Man benutzt im Formalismus lediglich mathematische Objekte, die man dann im Kontext einer Messung interpretieren kann.

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Anders ausgedrückt: Die Dynamik (d.h. Zeitentwicklung) eines quantenmechanischen Systems wird mit Hilfe des zugehörigen Hamiltonoperators beschrieben.
Genau.
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  #9  
Alt 04.11.18, 20:32
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Quantenfeldtheorie

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Sorry, nein, mit einer Messung hat das nichts zu tun.
Schade. Ich dachte man käme so zu einer möglichst anschaulichen Deutung, aber ich bekomme da aktuell leider auch nicht mehr hin.
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Freundliche Grüße, B.

Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921
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  #10  
Alt 06.11.18, 10:46
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Standard AW: Quantenfeldtheorie

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Hallo,
ich habe hier in den letzten Tagen viel gepostet. Hier ist nochmal eine grundsätzliche Verständnisfrage:

Ich habe aus den Antworten meiner Posts herausgehört, dass man folgendes unterscheiden muss:

In QM1 wird ein Teilchen quasi schon als Feld behandelt, in dem Sinne, dass es dort eine Wellengleichung gibt, die das Teilchen beschreibt. Wo genau ist der Unterschied zur der Quantenfeldtheorie?
Die Quantenmechanik (auch die relativistische) ist nur in der Lage, ein System mit einer konstanten Anzahl von Teilchen zu beschreiben: Prozesse, wie sie etwa Alltag in Beschleunigern sind (Vernichtung und Entstehung von Teilchen) liegen außerhalb des Rahmens der Quantenmechanik.
Zudem kennt die Quantenfeldtheorie keinen fundamentalen Unterschied zwischen Teilchen und Wechselwirkungen ("Feldern") mehr: sie werden gleich behandelt; Wechselwirkung werden über Felder/Quanten vermittelt.

Oder war das schon beantwortet worden?

Geändert von Hawkwind (06.11.18 um 11:32 Uhr) Grund: typo
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