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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander! |
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#11
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Nun, um mal meinen Senf dazu zu geben:
Ich verstehe Penrose so, dass er meint, dass es auch Regeln geben kann, unter deren Annahme man der Aussage 1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8 + ... = -1/3 einen Sinn zuschreiben kann. Die Aussage könnte zum Beispiel bedeuten: Der Funktionswert an der Stelle 2, der Funktion, die man erhält, wenn man die durch die vorliegende Potenzreihe definierte Funktion außerhalb des Konvergenzgebiets der Potenzreihe holomorph fortsetzt, ist -1/3. |
#12
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Zitat:
Kannst Du Deinen Vorschlag noch etwas näher erläutern? Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#13
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Ja.
Kannst du ein bisschen genauer sagen, was genau du wissen willst? |
#14
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Es ist vielleicht schwierig.
Kannst Du mit "einfachen" Worten oder einem Beispiel darlegen, was man sich unter einer holomorphen Fortsetzung dieser Funktion vorzustellen hat und wie für die reelle Zahl x=2 der Wert -1/3 zustande kommen könnte. Die Funktion ist zunächst mal offensichtlich nicht komplexwertig. Wie wird sie es? Aber einen Versuch wert? Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#15
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Zitat:
Die Potenzreihe 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... kann man eindeutig holomorph fortsetzen durch 1/(1 - x^2) (von den beiden Singularitäten bei 1 und -1 abgesehen). Das geht dann z.B. in etwa so, dass man die Potenzreihe im Entwicklungspunkt 0 nimmt und die dadurch definierte Funktion um den Entwicklungspunkt i/2 wieder in eine Potenzreihe entwickelt. Dann geht man noch ein Stück weiter nach oben und wiederholt das ganze. Dann geht man nach Links, etc. pp. Das ganze macht man so lange, bis man eine Potenzreihe hat, bei der die Stelle 2 innerhalb des Konvergenzradius liegt. Die Funktionen die man dabei erhält sind innerhalb ihrer Konvergenzradien immer identisch zu der Funktion 1/(1 - x^2). Ich hoffe es ist ein bisschen verständlich, worauf ich hinaus will. |
#16
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Hi Bauhof
Zitat:
Aber dein Link zu verschiedenen Auffassungen des Unendlichkeitsbegriffes koennte mit der Fragestellung schon etwas zu tun haben. Zitat:
Nur kann Herr Penrose den Grenzwert nicht anhand philosophischer Betrachtungen aus dem Aermel schuetteln, sondern er muss diesen konkret herleiten. @Timm Zitat:
Zitat:
Ersetze ich in dem Polynom x durch z element C gilt der Hauptsatz.Man ersetzt einfach P(x) durch P(z) Die Zahl zwei waere dann eine spezielle komplexe Zahl. So etwas hatte ich auch schon ueber den Residuensatz vermutet. Dass er die Potenzreihe in einer komplexen Laurentreihe formuliert. Problem 1 : 1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ... weist keine Polstellen auf , so dass es nur einen Nebenteil der Laurentreihe gibt und keine Residuen. Annahme es gaebe einen Hauptteil mit Residuen. Dann fasst er die Summe eventuell als Integral auf und wendet den Resuduensatz an um dieses Integral zu berechnen. Problem 2 Die Integralgrenzen muessen fur einen geschlossenen Umlauf der komplexen Ebene von -oo bis oo Unendlich laufen. Die Summe lauft aber von 0..00 Vermutung : Vielleicht kann man Problem 1 und Problem 2 so zusammenfassen, dass die Erweiterung zu einem geschlossenen Umlauf der komplexen Ebene auf eine Laurentreihe fuehrt . Und deren Summe aller Residuen gleich -1/3 betraegt. Eigenvektors Argument mit der holomorphen Fortsetzung liegt aber wohl naeher an Penrose Argument. Wenn dieser schreibt ... Zitat:
Ich denke dass er dann ein Argument unter Bauhofs Link anwendet. Dass der Grenzuebergang gegen Unendlich gar nicht real existiert. Vor diesem Grenzuebergang mag die Summe sehr sehr gross sein. Das kann man akzeptieren aber wenn man den Begriff der Unendlichkeit nicht akzeptiert und dennoch den Grenzuebergang durchfuehren will bleibt solch ein seltsames Ergebnis wie -1/3. Im Grunde kann man dis auch bei der simplen Aufspaltung schon sehen. S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1) Wenn man dem linken Teil fuer limit N->00 keine Realitaet (in welchem Sinne auch immer) mehr zuspricht bleibt eben nur der rechte Term uebrig. Naja, sorry nur ein paar Gedanken dazu. BTW. Ralf Kannenberg im AC Forum koennte das Raetsel sicherlich loesen. Ich kann ihn leider nicht fragen. Gruesse Ge?ndert von richy (22.08.10 um 21:51 Uhr) |
#17
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Noch eine Anmerkung.
Ich meine eher nicht, dass man ueber die komplexe Ebene alleine Penrose / Hardies Grenzwert wirklich schluessig erklaeren kann. Auch mit Kenntnissen ueber komplexe Funktionen wird man den Grenzwert natuerlich anzweifeln. Zitat:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Geschichte Zitat:
http://arxiv4.library.cornell.edu/ft.../0709.2238.pdf Mir fehlt leider dieses uebergeordnete Verstaendnis, da ich mich mit Quaternionen in der Praxis nicht auskenne. Penrose fehlt dieses Stueck Mathematik sicherlich nicht. Vielleicht benoetigt man dies tatsaechlich um Eulers, Hardies, Penrose Welt zu verstehen. Gruesse |
#18
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Zitat:
Zitat:
Heißt das, man bastelt an der Potenzreihe 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... solange herum, bis man eine dazu holomorphe Potenzreihe hat, die für x=2 nun konvergiert und deren Summe gemäß 1/(1 - x^2) -1/3 ist? Kannst Du angeben, wie diese Potenzreihe aussähe? Demnach offenbart sich der von Penrose angesprochene mathematische Sinn der "Antwort -1/3" dann, wenn man eine zur Ausgangspotenzreihe holomorphe Potenzreihe betrachtet. Gruß, Timm Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#19
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Zitat:
Zitat:
Aber die Reihenentwicklung um 2 kann ich dir natürlich angeben: -1/3 + 4/9 (x-2) - 13/27 (x-2)^2 + 40/81 (x-2)^3 - 121/243 (x-2)^4 + ... Naja, das ist jedenfalls eine Möglichkeit, der Aussage von Penrose etwas anderes als "Unsinn" zuzuschreiben. |
#20
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Danke erst mal, in einem bescheidenen Maß habe ich jetzt ein bißchen mehr Verständnis.
Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus Ge?ndert von Timm (23.08.10 um 19:32 Uhr) |
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