Fragen zur SGL

[richy]

Hi
Viele Dinge bezueglich der Schroedingergleichung sind mir immer noch nicht klar.
Ich moechte den Thread mit einer ganz einfachen Frage starten, die eher dazu dienen soll Missverstaendnisse zu vermeiden. Ich meine die Antwort zu kennen und dass man diese ohne Kenntnisse ueber partielle Differentialgleichungen einfach finden kann :

V(r,t) soll eine reelle Funktion sein.
Warum muessen Loesungen Psi(r,t) dieser Gleichung (der SGL) komplexwertig sein ?
Warum koennen sie weder reell noch rein imaginaer sein ?
B.z.w welche Bedingungen muessten gegeben sein, dass dies moeglich waere ?
Gruesse

[Hawkwind]

Zitat von richy

Hi

V(r,t) soll eine reelle Funktion sein.
Warum muessen Loesungen Psi(r,t) dieser Gleichung (der SGL) komplexwertig sein ?

Ich war mir zu Anfang, als ich deine Frage gelesen hatte, nicht sicher, ob sie komplex sein müssen - ich dachte, sie sind es halt im allgemeinen Fall.
Aber nach ein wenig Nachdenken komme ich zu dem Schluss, dass es rein reelle Lösungen nicht geben kann: mit Psi und V reell ist die rechte Seite der SGL reell (die Ableitung einer reellen Funktion nach einer Koordinate ist ebenfalls reell). Wenn Psi reell ist, muss aber die linke Seite rein imaginär sein, weil die Ableitung einer reellen Funktion multipliziert mit i rein imaginär ist, d.h. für reelle Psi stände auf der rechten Seite ein reeller Term und auf der linken ein imaginärer: das Gleichheitszeichen ist nicht zu erfüllen.

Einige Lösungen der zeitunabhängigen SGL liefern aber rein reelle Wellenfunktionen. Wenn das V nur von den Koordinaten und nicht von der Zeit abhängt, dann kannst du einen Separationsansatz für die Lösung der zeitabhängigen SGL machen (nur eine Raumdim. x, geht für 3 aber genauso)

PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x)

damit gehst du in die SGL und du erhältst

Psi(x) * hquer*w* exp((-i*w*t)
= -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) * exp((-i*w*t) + V(r)*Psi(x) * exp((-i*w*t)

Das kann für beliebige t nur dann erfüllt sein, wenn (Exponentialfaktor "herausgekürzt")

hquer*w * Psi(x) = -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) + V(r)*Psi(x)

das ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gl. und wir identifizieren
hquer*w
wie üblich als Energie (w="omega" (Kreisfrequenz)).



Diese zeitunabhängige SGL hat z.B. für das didaktisch sehr interessante Kastenpotenzial rein reelle Lösungen. Jedoch ist die komplette Lösung der zeizabhängigen SGL selbst dann das Produkt aus

exp(-i*w*t)

und dem rein reellen ortsabhängigen Anteil der Lösung - also doch wieder komplexwertig.

Lösung der zeitunabhängigen SGL für eine räumliche Dimension x im Kastenpotenzial ist z.B. hier
http://sandphysik.de/quant15.pdf
beschrieben. Die Diskussion - dieses noch simplen - ist übrigens sehr zu empfehlen; sie demonstriert bereits, wie es zu einigen typischen "Quanteneffekten" kommt (diskrete Energieniveaus, Tunneleffekt, ...).

Gruß,
Hawkwind

[richy]

Hallo Hawkwind

Ich habe die selben Argumente wie du verwendet um zu folgern, dass die Loesung der SGL tatsaechlich nur komplexwertige Loesungen zulaesst. Tatsaechlich=nicht nur aufgrund rechentechnischer komplexwertiger Exponentialansaetze.
Lediglich der Ansatz 0=0 wuerde auf zusaetzliche Bedingungen fuer reelle Loesungen fuehren die wohl weniger Sinn machen. (PSI = zeitlich konstant).

Man koennte salopp auch ausdruecken "PSI ist komplexwertig Weil i auf der linken Seite der Gleichung steht"
Und das bereitet mir am meisten Kopfzerbrechen.
Meine Fragen
- Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?
Kann man dies kurz auch unter historischen Aspekten skizzieren ? (oder ein guter Link)

aber ganz besonders :
Wie kam Schroedinger auf die Idee, Loesung, dass auf der linken Seite die imaginaere Einheit stehen muss ?

Mein Gedanke waere, dass er hier ein Modell aehnlich der komplexen Wechselstromrechnung verwendet hat.
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplex...lstromrechnung
Auch hier kennt man komplexwertige Ausdruecke wie zum Beispiele : u=(R+jwL)*i und rechnet zur Vereinfachung dann mit komplexen Exponentialfunktionen.
Diese Methode ist nichts weiter als eine vereinfachte Anwendung der Fouriertransformation !
Man betrachtet das System im Bildbereich, so dass man z.B. die Korrospondenz d/dt 0-0 jw (z.B. bei der Spule) verwendet.
Ebenso nuetzt man aus, dass der Sinus und Kosinus im Bildbereich Diracimpulsen entspricht, so dass man das ganze System schliesslich bequem beschreiben kann.

Es gibt aber bei der SGL einen entscheidenden Unterschied zur komplexen Wechselstromrechnung. In der SGL treten Ableitungen ueber x und t auf. Wenn die Einheit i aus einer Integral (Fourier) Transformation resultiert, wie bei der komplexen Wechselstromrechung, dann kann diese Transformation, Integration nicht den Wellenzahl oder Frequenzbereich betreffen, denn dann waeren die Differentiale durch jw oder jk ersetzt.In der Wechselstromrechnung treten dementsprechend keine Differentiale mehr auf.

Dass schliesslich das Betragsquadrat einer interpretierbaren Messgroesse entspricht weist ebenfalls darauf hin, dass die SGL eine Betrachtung in einem integraltrasformierten Bildbereich darstellt. (Vergleich : Betragsquadrat beim Frequenzgang) Blos was sollte das fuer ein Bildbereich sein ?
Mich wundert dabei auch folgendes :
Anscheinend verwendet man "das j" auf der linken Seite in selber Weise wie das j zum Beispiel im Ansatz : Psi(x,t)=exp(-j*w*t)*f(x).
Setzen wir das mal in die linke Seite der SGL ein :
i*h_q*d (exp(-j*w*t)*f(x))/ dt = -i*j*w*exp(-j*w*t)*f(x)
Jetzt wird man -j*i zusammenfasst zu 1 und das wird man wohl so handhaben oder ?, dann hat sich das eventuelle Mysterium der tatsaechlichen Komplexwertigkeit der SGL gelichtet.
i*d/dt stellt einen speziellen Differenzierer dar mit einer speziellen Phaseneigenschaft. i dreht dessen Phase nochmals um Pi/2.In der E Technik waere i ein Allpass oder Hilberttransformator.

Zitat von Hawkwind

Einige Lösungen der zeitunabhängigen SGL liefern aber rein reelle Wellenfunktionen.

Das ist gemaess unserer Vorueberlegung doch gar nicht moeglich.
Ah du praezessierts nachher. Man muss die Loesung mit exp(-i*w*t) multiplizieren.
Psi(x,t)=exp(-i*w*t)*f(x).
Man muss mit der Angabe "komplexwertig" somit sehr vorsichtig umgehen.
Auch ohne ein Kastenpotential genau zu betrachten wuerde ich folgern :
Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?

Erstmal vielen Dank fuer deine Rechenbeispiele.
Fuer den Seperationsansatz ist es zunaechst nicht notwendig komplexe Exponentialfunktionen zu verwenden. Diese erweisen sich wie in der komplexen Wechselstromrechnung lediglich als besonders praktische Rechengroessen. Hierzu nochmals einige Fragen :

Der komplexe Exponentialansatz erlaubt nur die Beschreibung eingeschwungener, linearer Systeme. (Cos+ISin, CIS, sind periodische Funktionen)
Wie ist dies bei der SGL zu beruecksichtigen ?
Die Bewegung eines Teilchens waere ein transienter Vorgang, den man mit diesem Ansatz nicht beschreiben kann. Aber man betrachtet kein Teilchen sondern dessen PSI- Wahrscheinlichkeitswelle .... Aaaarg es ist verrueckt
Ab wann ist denn diese Wahrscheinlichkeitswelle existet, so dass ich einen eingeschwungenen Vorgang annehmen darf ? Ab dem Moment in dem ich den Versuch aufbaue ? Ich meine klingt laecherlich, aber dann muesste man den Versuchsaufbau wie einen Hefeteig erstmal ruhen lassen, damit sich die Wahrscheinlichkeiten einschwingen ? (Nicht ganz ernst gemeint )
Wann beginnt der Prozess des Einschwingens ? Wenn z.B. eine "Elektronenwelle" erzeugt ist ?

Zitat von Hawkind

PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x)

Ok jetzt verstehe ich die Vorgehensweise besser. Das waere ein spezieller Seperationsansatz (In der E Technik sagt man auch Produktansatz)
Stimmst du mir zu , dass die Funktion exp(-i*w*t) zunaechst lediglich eine willkuerliche Annahme ist, die sich spaeter als praktisch erweisen wird ? Eher eine Ratemethode.
Und ebenso, dass man nur aufgrund der Rechnung mit komplexen Exponentialfunktionen keinesfalls annahmen kann, dass PSI tatsaechlich komplewertig ist. Dass Psi tatsaechlich komplexwertig ist hatten wir bereits festgestellt, aber das i auf der linken Seiten geht in den komplexen Ansatz mit ein, so dass die anfangs noch erkennbare Bedeutung (Psi ist tatsaechlich in der Realitaet komplexwertig) verloren geht.

Beispiel.
U(jw)=jwL*I(jw)
komplexweriger Ansatz : I(jw)=I0*exp(jwt)
Sind jetzt Spannung und Strom ploetzlich unphysikalische Groessen weil ich sie als komplexwertig angenommen habe ? Nein.

Man muss beides also trennen. Das i auf der linken Seite und den komplexwertigen Exponentialansatz. Fuehre ich den Exponentialansatz durch kann ich anhand von Ergebnissen daraus ueberhaupt nicht mehr mit der Komplexwertigkeit argumentieren. Die habe ich ja selbst kuenstlich eingebaut. Wir haben bereits festgestellt, dass das Argument mit der Phase schon Gewicht hat. Mit der Komplexwertigkeit hat dieses aber meiner Meinung nach nur wenig zu tun.
(Ich hab natuerlich noch mehr Fragen)
Gruesse

[Hawkwind]

Zitat von richy

aber ganz besonders :
Wie kam Schroedinger auf die Idee, Loesung, dass auf der linken Seite die imaginaere Einheit stehen muss ?

Gruesse

Richy, ich kenne mich in der Historie der Physik leider nicht allzu gut aus.

Aber die imaginäre Einheit auf der linken Seite ist zwingend, wenn du eine Wellengleichung haben willst. Das hängt damit zusammen, dass die Ableitung nach der Zeit nur von 1. Ordnung ist.
Die Ableitungen nach den räumlichen Koordinaten sind ja von 2. Ordnung; diese Asymmetrie hängt damit zusammen, dass die SGL nichtrelativistisch ist.

In einer Dimension x kann man die SGL auch schreiben als:

(-hquer/i) d/dt Psi = 1/(2*m) {(-hquer/i) d/dx}^2 Psi + V * Psi

Das wurde wohl "nahegelegt" durch die klassische Energie-Impuls-Beziehung:

E = p^2/(2*m) + V

Dabei wurden die Observablen p und E durch Operatoren ersetzt

p -> (hquer/i) d/dx
E -> (-hquer/i) d/dt

die nun auf die Wellenfunktion Psi wirken.
Das lineare Auftreten von E in der nichtrelativistischen klassischen Mechanik in der Energie-Impuls-Beziehung ist also letztlich dafür verantwortlich, dass da explizit ein Faktor i auf der linken Seite steht.

Mit der ersten Ordnung in der Ableitung nach t und ohne explizite imaginäre Einheit hätten wir keine Wellen, keine zeitlich oszillierenden Lösungen.
exp(i*w*t)
Denk an den Separationsansatz aus meinem letzten Posting. Ohne i auf der linken Seite der SGL könnte die zeitliche Abhängigkeit nicht als
exp(i*w*t)
herausfaktorisiert werden. Man bräuchte eher etwas wie
exp(w*t)
also zeitlich exponentiell wachsende oder gedämpftes Verhalten. Das wären keine Wellen.

[Benjamin]

Zitat von richy

Warum koennen sie weder reell noch rein imaginaer sein ?
B.z.w welche Bedingungen muessten gegeben sein, dass dies moeglich waere?

Die SGL folgt historisch aus den Ergebnissen de Broglies, dass nämlich Teilchen, wie Elektronen, Wellencharakter besitzen. Die Gleichung selbst ist daher auch eine Wellengleichung, jedoch eine Wellengleichung in einem Potential. Es gibt dazu Analogons in der Optik.

Für stationäre Zustände, also zeitunabhängige, ist die Wellenfunktion rein reell (oder imaginär, das ist nur Definitionssache). Jedenfalls handelt es sich bei dieser Lösung um eine stehende Welle.
Man könnte eine stehende Welle freilich auch mit exp(i wt) multiplizieren und man bekäme eine komplexe Lösung. Physikalisch ist das aber unrelevant, das einzige was passiert, ist, dass die Amplitude unserer stehenden Welle oszilliert, wie das eine mechanische stehende Welle im Normalfall tut, z.B. eine schwingende Gitarrenseite. In der Quantenmechanik gibt es dazu nichts Äquivalentes, weil wir nicht wissen was oder ob da etwas schwingt. Messbar ist nur die Wahrscheinlichkeit, sprich das Betragsquadrat unserer Wellenfunktion. Dennoch ist die Zeitentwicklung aber wichtig, nur so ist die Interferenz gewährleistet. Das ist ja das Interessante: Wir wissen nicht was da schwingt, aber es verhält sich eins zu eins wie eine wirkliche Welle.

Aber wozu die Frage? Reell oder komplex ist doch egal. Der Raum der komplexen Zahlen erweitert lediglich den Raum der reellen. Oft reichen eben die reellen Zahlen nicht aus, um ein Problem zu lösen, dann kommen die komplexen ins Spiel. In der SGL erhält die zeitliche Entwicklung einen imaginären (oder komplexen) Charakter, weil die reellen Zahlen für die Raumkoordinaten besetzt sind.
Ich vermute mal, man könnte statt einer imaginären Koordinate auch einfach eine vierte reelle einführen. Dann müsste man aber auch einen neuen Nabla-Operator kreieren und eine Art zeitliches Potential schaffen.
So gesehen denke ich ist die imaginäre Lösung einfacher.

[Benjamin]

Zitat von Benjamin

Ich vermute mal, man könnte statt einer imaginären Koordinate auch einfach eine vierte reelle einführen.

Ich nehme das zurück. Ich denke das geht nicht. Man müsste eher jeder einzelnen Raumkoordinate eine zeitliche Entwicklung anhängen.

[richy]

Hi Benjamin

Für stationäre Zustände, also zeitunabhängige, ist die Wellenfunktion rein reell (oder imaginär, das ist nur Definitionssache).

Bezueglich der Funktion PSI(x,t) gibt es keine Auswahl. Diese muss immer komplexwertig sein. Siehe rhetorische Eingangsfrage.
Du meinst in PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x) kann Psi(x) rein reell sein.
(Finde die Unterscheidung alleine durch Klein und Grossschreibung etwas unguenstig. Nennt man Psi(x) Wellenfunktion? Fuer mich ist das ein Amplitudenfaktor)

Jedenfalls handelt es sich bei dieser Lösung um eine stehende Welle.

Das hatte ich auch schon festgestellt.

Man könnte eine stehende Welle freilich auch mit exp(i wt) multiplizieren und man bekäme eine komplexe Lösung.

Man muss Psi(x) sogar mit exp(i wt) multiplizieren sonst ist es keine stehende Welle. Eine stehende Welle steht ja nicht voellig still als ein zeitlich kontantes Psi(x) sondern oszilliert. Und genau dies gibt der Phasenfaktor exp(i wt) wieder. PSI(x,t) muss aufgrund der SGL komplexwertig sein !
Waere Psi(x) komplexwertig koennte man es zum Beispiel in der Form schreiben exp(i*k*x)*f(x) und wir haetten ein exp(-i(w*t-K*x))*f(x) und das waere keine stehende sondern fortschreitende Welle.

In der Quantenmechanik gibt es dazu nichts Äquivalentes, weil wir nicht wissen was oder ob da etwas schwingt.

Sehe ich auch so.Es kommt aber auch darauf an von welchen Standpunkt aus ich dies betrachte. (Wie existiert da unten eine Zeit ?)

Aber wozu die Frage? Reell oder komplex ist doch egal.

So ganz egal ist dies bezueglich dem i auf der linken Seite der SGL nicht.

Man kann leicht in die Versuchung kommen zu argumentieren :
Alleine dass PSI(x.t) komplexwertig zeigt schon dass PSI(x.t) keine reale physikalische Groesse sein kann. Nur deren Betragsquadrat (und Phase falls messbar) sind dies. Das ist kein Argument wenn die SGL gar nicht in einem physikalischen Raum formuliert ist so wie es fuer 1/(jwC) oder jwL in der Wechselstromrechnung gegeben ist. Da rechnet man bezueglich der Systenmfunktionen im Bildbereich der Fouriertransformierten. Und da man noch mit einem komplexen Exponentialansatz rechnet ist die Verwirrung noch groesser..
Daher waere es wichtig zu wissen wie dieses j der linken Seite der SGL zustande kommt.
Man kann eindimensional die SGL z.B. auch wie folgt umformulieren.
(j*w2)*dPSI(x,t)/dt=-(h_q)^2/2m*dPSI(x,t)/dx+V(x.t)*PSI(x,t),w2=h_q
Ah das ganze ist eine energetische Gleichung

Ob das nun etwas bringt weiss ich nicht, damit will ich nur zum Ausdruck bringen dass dieses i wohl aus einer Fouriertransformation stammt. Blos von welcher Groesse ? Sie koennte die Dimension von 1/h_quer aufweisen. Also zum Beispiel Frequenz/Energie.

Ich vermute mal, man könnte statt einer imaginären Koordinate auch einfach eine vierte reelle einführen.

E.Rauscher oder Penrose fuehren eine negative Zeit und drei zusaetzliche imaginaere Koordinaten ein. Eine Spiegelwelt. Das sollte ich mir nochmals anschauen.

@Hawkwind
Ich muss deinen Beitrag noch etwas genauer durchgehen.
Gruesse

[richy]

Um meine Argumente nochmals zusammenzufassen :

Stellt die SGL den Anspruch direkt einen (physikalischen) Vorgang zu beschreiben dann wuerde ich zugestehen :
Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

Stellt die SGL gar nicht diesen Anspruch sondern beschreibt einen physikalischen Vorgang im Bildbereich einer Fouriertransformation, dann ist es selbstverstaendlich, dass PSI(r,t) komplexwertig ist und selbst nicht interpretierbar. Nur z.B. dessen Betragsquadrat. Dennoch beschreibt PSI(r,t) eine physikalische Realitaet. Naemlich ueber deren Fourierruektransformierten.

Wenn ich den scheinbaren Wellenkollaps weiter in Form einer Wahrscheinlichkeit fuer unsere Realitaet formuliere egaebe dies immer die selbe langweilige Funktion: Einen mit eins gewichteten Deltaimpuls(0)
Dessen Fourierruecktransformierte waere die konstante Funktion physikalisches Ereignis=1. Wahrscheinlichkeit und Ereignis sind Einheitenlos.
So koennte man das Auftreten von i ohne Faktor ebenfalls erklaeren. Rein formell :
Wir definieren eine dimensionslose Ereignis/Moeglichkeitskoordinate x5.
Mit dieser wuerde die SGL im Urbereich lauten :
1) Wurzel(2*Pi)*h_q*d^2PSI(x,t)/dt/dx5=-(h_q)^2/2m*dPSI(x,t)/dx+V(x.t)*PSI(x,t)
Und fuer unsere Realitaet gilt fuer ein eingetretenes Ereignis x5=1.
Tritt das Ereignis nicht ein gilt x5=0.
Die Fouriertransormierte von 1) ueber exp(-i*x5) dx5 sollte dann die SGL in gewohnter Form ergeben. Falls mir auf die Schnelle kein Denkfehler unterlaufen ist :-)
Eine Version mit exp(-i*E/h*x5) dx5 finde ich allerdings fast huebscher.
Wahrscheinlichkeit als Energie pro Wirkumsquantum klingt ja auch ganz nett

[Bauhof]

Zitat von richy

Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?

Hallo richy,

ich las folgendes (nach meiner Erinnerung):

Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet. Der Erfolg gab ihm recht. Falls das interssant für dich ist, suche ich nach der Quelle.

Außerdem hat Schrödinger die Äquivalenz seiner Gleichung mit der Matrizen-Mechanik (von Heisenberg und Jordan) bewiesen.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Hawkwind]

Zitat von richy

Stellt die SGL gar nicht diesen Anspruch sondern beschreibt einen physikalischen Vorgang im Bildbereich einer Fouriertransformation, dann ist es selbstverstaendlich, dass PSI(r,t) komplexwertig ist und selbst nicht interpretierbar.

Fourier-Transformationen (FT) spielen bei der Diskussion der SGL tatsächlich eine Rolle: mittels einer FT wechselt man zwischen Orts- und Impulsdarstellungen. Bislang reden wir hier über die Orstdarstellung, d.h. Psi(x); man kann äquivalent aber auch die SGL in der Impulsdarstellung ausdrücken. Die enstprechenden Lösungen gehen aus einer FT von Psi in der Ortsdarstellung hervor.
siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dingergleichung
Abschnitt: "Verschiedene Darstellungen der Schrödingergleichung "

Natürlich ist Psi in der einen wie in der anderen Darstellung keine Messgröße.