Frage zur Realitivität der Zeit

[TomS]

Bevor wir hier spekulieren, schauen wir mal auf die Formeln.

Wir haben eine zunächst
i) ziemlich beliebige Expansion, d.h. einen Skalenfaktor a(t) sowie
ii) Reiserouten r(t) mit r(t0) = r(t1) = 0 und r(t1) = r(t2) = 0,
ansonsten ebenfalls ziemlich beliebig, außer dass für v = dr/dt noch gelten muss: 0 < 1 - (av)^2 < 1

Die Zeitdilatationen sind identisch,
i) wenn die Pekuliargeschwindigkeit a(t) * v(t) auf beiden Routen exakt übereinstimmt,
ii) oder wenn beide zwar unterschiedlich sind, jedoch so aufeinander abgestimmt, dass der kumulierte = integrierte Effekt dennoch übereinstimmt.

[Marco Polo]

Zitat von TomS

Die Zeitdilatationen sind identisch,
i) wenn die Pekuliargeschwindigkeit a(t) * v(t) auf beiden Routen exakt übereinstimmt,
ii) oder wenn beide zwar unterschiedlich sind, jedoch so aufeinander abgestimmt, dass der kumulierte = integrierte Effekt dennoch übereinstimmt.

Wie könnte sich eine derartige Abstimmung wie bei ii) darstellen?

[TomS]

Zitat von Marco Polo

Wie könnte sich eine derartige Abstimmung wie bei ii) darstellen?

Na, betrachten wir den Fall, dass a(t) in dem betrachteten Zeitraum näherungsweise konstant ist, d.h. dass die Effekte unterschiedlicher Geschwindigkeiten dominieren. Dann geht es letztlich darum, unterschiedliche Integranden zu finden, die den selben Wert als Integral haben (einzige Bedingung an den Integranden ist, dass sein Betrag kleiner oder gleich Eins ist). Kleine Variationen in a(t) kannst du durch ebenfalls kleine Variationen in v(t) kompensieren. Allerdings sind natürliche große Variationen in v(t) nicht verboten, da ja nur der Wert des Integrals relevant ist.

Mathematisch gesprochen nennen wir zwei Weltlinien C und C' äquivalent, wenn die Eigenzeiten entlang dieser Weltlinien identisch sind, also C ~ C ' genau dann wenn T[C] = T[C']. Wir suchen dann Weltlinien C ~ C' ~ C'' ~ ... aus einer Äquivalenzklasse [C].

[TomS]

Zurück zu Nils:

Zitat von Nils98

Eigentlich dachte ich mir das so, dass sämtliche Steuerbefehle von Zwilling B aufgezeichnet werden -
Zwilling A setzt sich anschließend in die Rakete und spielt dann dieses Programm einfach noch einmal ab.

Wenn wir bei dieser Idee bleiben, dann variiert zwar a(t) im betrachteten Zeitraum, allerdings sind die Reiserouten in der Hinsicht identisch, das beide Zwillinge identische Eigenbeschleunigung gemessen in ihrer Eigenzeit erfahren; ich denke, das ist die einzig sinnvolle Definition von identischen Reiserouten in einer i.A. beliebigen, nicht-stationären Raumzeit.

[JoAx]

Zitat von Nils98

Verstehe ich nicht: Wenn für den einen Zwilling die Zeit schneller und für den anderen langsamer vergeht
dann expandiert für den einen das Universum schneller und für den anderen langsamer - Oder?

Es ist nicht so einfach.

Vlt. hast du schon davon gehört, dass es bei der SRT um die Geometrie der Raumzeit geht. Und das nehmen wir wörtlich und ich stelle folgenden Vergleich zu der dir bekannten, "gewöhnlichen", euklidischen Geometrie her.

- Was ist der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden?
- Das ist die Strecke, die sich durch den Schnitt dieser Geraden mit einer ihnen senkrechten Geraden ergibt. Stimmt's?

So. Was würdest du nun jemanden antworten, der ungefähr so fragt:
- Wenn wir die parallelen Geraden nicht mit einer ihnen senkrechten Geraden schneiden, ist dann der Abstand zwischen den Geraden anders?

Nun. Ich denke, du würdest antworten, dass der Weg von einer Geraden zur anderen dann anders ist, das ist aber nicht der Abstand. Schlicht und ergreifend. Weil der Begriff "Abstand_zwischen_zwei_parallelen_Geraden" bestimmte Bedingungen impliziert, die nicht erfüllt sind.

Und so ist es auch mit dem Begriff "Expansionsgeschwindigkeit_des_Universums". Es impliziert auch bestimmte Dinger. Ein Beobachter, auf den die Definition eines "fundamentalen Beobachters" im Sinne der Kosmologie nicht zutrifft, misst schlicht und ergreifend nicht die "Expansionsgeschwindigkeit_des_Universums" (so zu sagen).

Das kann man an diesem Fall, den du selbst präzisiert hast:

Zitat von Nils98

Und wenn sich das Universum konstant ausdehnt?

gut sehen. Nehmen wir an, der Wegflieger wird nur ein mal beschleunigt und fliegt dann immer weiter. Dann wird er, der am Anfang nicht-fundamentale Beobachter, mit der Zeit immer "fundamentaler". Ohne!, dass er noch mal beschleunigt.

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Das alles darfst du nicht als Kritik an deiner mathematischen/physikalischen "Fitness" verstehen. Es ist echt so, dass man nicht alles auf die Begrifflichkeiten zurückführen kann, die man in der Newton'schen Mechanik definiert/lernt.

Eigentlich ist es nicht der richtige Weg, die Bekanntschaft mit der SRT so zu machen, dass man die diversen "Paradoxa" durchgeht.

Eigentlich-eigentlich sollte man ganz wo anders anfangen. Und wenn man dann beim bsw. Zwillingsparadoxon landet, ist dieser ganz simpel, logisch, hat überhaupt nichts "paradoxon-haftes" an sich. Das "WOW-Erlebnis" ist dabei nicht weg. Es findet nur an einer anderen Stelle statt.

Eigentlich-eigentlich-eigentlich sollte man das allen Lehrern der Physik, die das Thema angehen, während einer Pause zuflüstern.

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Zum Schluss:

Das, was du meinst, kann bei bestimmten Bedingungen, die den Gültigkeitsbereich der Aussage eingrenzen, schon "stimmen". Diese Bedingungen müssen so gewählt werden, dass die Raumzeit während des Experimentes in guter Näherung mit der flachen Minkowski-Raumzeit übereinstimmt. Das gilt sowohl für die "zeitliche", wie "räumliche" Ausdehnung "des Stückes" der Raumzeit. Dann kann man das Auseinanderdriften der Fundamentalbeobachter sich als gewöhnliche Bewegung denken. Und wenn man dann noch "vergisst" (was aber auch falsch wäre), dass der Zwilling, der weg fliegt und zurückkehrt, kein IS ist, dann wird der Zuwachs der "Abstände" (nennen wir es mal L) zwischen den Fundamentalbeobachtern in Relation zu seiner Eigenzeit (nennen wir es τ') einen anderen (speziell hier - größeren) Wert haben, als der selbe Zuwachs in Relation zur Eigenzeit des daheim gebliebenen (nennen wir es τ).

Also:

L/τ' > L/τ

Warum TomS (wie ich denke) und ich darauf bestehen, dass man es so trotzdem nicht sagt, ist, weil man den Sinn der Einschränkungen, die deine Aussage wieder Wahr machen, erst im Nachhinein begreift. Dann merkt man, dass es ... ein Stück Zufall ist.

[Ich]

Zitat von TomS

Wenn wir bei dieser Idee bleiben, dann variiert zwar a(t) im betrachteten Zeitraum, allerdings sind die Reiserouten in der Hinsicht identisch, das beide Zwillinge identische Eigenbeschleunigung gemessen in ihrer Eigenzeit erfahren; ich denke, das ist die einzig sinnvolle Definition von identischen Reiserouten in einer i.A. beliebigen, nicht-stationären Raumzeit.

D.h. alle Himmelskörper sind auf identischen Bahnen unterwegs?

@Nils:
Identische Flugmanöver führen nur unter bestimmten Bedingungen zu gleichen Bahnen. In einem idealen Universum nach Friedmann z.B. nur dann, wenn das Universum statisch ist. Das ist in drei Fällen so:
- das leere Universum (hier gilt die SRT)
- das Einstein-Universum (statisch, instabil)
- das de Sitter-Universum ("konstante", sprich: exponentielle Expansion)

Ganz allgemein ist es so, dass die Bewegung nicht nur durch die Flugmanöver beeinflusst wird, sondern auch durch Gravitation. Und die ändert sich im expandierenden Universum (außer in den oben genannten Spezialfällen) mit der Zeit. Und dann führt dasselbe Beschleunigungsprofil zu unterschiedlichen Flugbahnen und auch zu unterschiedlicher Zeitdilatation relativ zu den mitbewegten Beobachtern. Ausnahmen wären nur z.B. zeitsymmetrische Profile in einem zeitsymmetrisch expandierenden und dann kollabierenden Universum, wo es immer zwei Zeitpunkte gibt, an denen dasselbe rauskommt.

[JoAx]

Zitat von Ich

- das leere Universum (hier gilt die SRT)

Hier muss aber ein wichtiges Detail beachtet werden! Dass die Synchronisierung nicht die Standardsynchronisierung der SRT ist. Sonst landet man im "falschen" Ereignis.

[Timm]

Zitat von Ich

- das de Sitter-Universum ("konstante", sprich: exponentielle Expansion)

Du meinst wohl konstante Expansionsrate, wobei a(t) exponentiell wächst.

Ich denke, der Fall Universum expandiert linear (ä=0), würde auch zu gleichen Bahnen führen, aber ein solches Weltmodell ist, wenn ich mich richtig erinnere, nicht realisierbar. Hat das ev. mit der Verdünnung der Materie zu tun?

[TomS]

Zitat von Ich

D.h. alle Himmelskörper sind auf identischen Bahnen unterwegs?

Ja - unter den hier relevanten Voraussetzungen: bei identischer Raumzeit-Geometrie sowie identischen Anfangsbedingungen (Ort und Geschwindigkeit) bedeuten identische Beschleunigungen auch identische Weltlinien.

Im Ernst: kann man die Gleichung Du = A für four-velocity u sowie proper acceleration A unter Voraussetzung einer bekannten Raumzeit invertieren? Ich denke, zumindest symbolisch ja. Dann liefert dies sowie die Invertierung für die Geschwindigkeit eindeutig die Bahnkurve. Damit kann Zwilling B "die selben" Manöver durchführen wie Zwilling A, wobei sich "die selben" auf die durch den Antrieb verursachte Beschleunigung bezieht; Zwiling B ist dabei völlig blind dafür, ob diese Manöver in "der selben" Raumzeit stattfinden.

Man beachte, dass sich die Fragestellung verändert: es geht nicht mehr darum, die Eigenzeit entlang einer Bahnkurve zu berechnen, sondern darum, aus einer gegeben Beschleunigung als Funktion der Eigenzeit die Bahnkurve sowie ihren Endpunkt zu bestimmen.

[Nils98]

Das hier zum Skalenfaktor habe ich gelesen
http://www.scilogs.de/relativ-einfac...-skalenfaktor/
und (im Gegensatz zu vielen anderen Seiten :-( ) auch soweit verstanden - Hoffe ich.

Zitat von TomS

Damit kann Zwilling B "die selben" Manöver durchführen wie Zwilling A, wobei sich "die selben" auf die durch den Antrieb verursachte Beschleunigung bezieht; Zwiling B ist dabei völlig blind dafür, ob diese Manöver in "der selben" Raumzeit stattfinden.

Man beachte, dass sich die Fragestellung verändert: es geht nicht mehr darum, die Eigenzeit entlang einer Bahnkurve zu berechnen, sondern darum, aus einer gegeben Beschleunigung als Funktion der Eigenzeit die Bahnkurve sowie ihren Endpunkt zu bestimmen.

Alle "Gegenmaßnahmen", die Zwilling B wegen der Expansion des Universums ergreifen mußte, um am Ende tatsächlich auch zu seinem Bruder zurückzugelangen, wurden bei seinem Flug mit aufgezeichnet.

Wenn sich das Universum konstant ausdehnt müsste Zwilling A mit demselben Flugprogramm später doch ebenfalls wieder exakt zu seinem Bruder zurückkehren ohne dass er dabei noch irgendetwas anderes beachten müsste: Er muß nur "blind" das Programm nachfliegen.
Und dann sollten die Uhren von Zwilling A und Zwilling B doch auch wieder synchron sein - Oder?

Ansonsten würde es eine Rolle spielen, wann einer von den beiden (diesmal gemessen an der Koordinatenuhr) zu einer Reise startet.
Oder ist das vielleicht der Fall?

Viele Grüße
Nils