Der tiefere Grund für das Korrespondenzprinzip

[Zaphod Beeblebrox]

Es ist alter Kaffee: Zu jeder phys. Größe gibt es einen Operator. Kürzlich aber wurde mir wieder bewusst, wie "magic" dieses Korrespondenzprinzip eigentlich ist. Ich musste sogar lachen, als ich mir klarmachte, wie die Gleichungen der relativistischen QM entwickelt werden: voller Vertrauen auf das Korrespondenzprinzip - auch wenn man zunächst eigentlich keine Ahnung hat, was diese vierkomponentigen Bispinoren zu bedeuten haben. Und dann macht die Natur einem tatsächlich den Gefallen, mathematisches Rumbiegen + Spekulationen (<- Dirac-See) zu bestätigen. Irre.

In der klassischen Welt weiß ich genau, was der Impuls ist. Aber in der QM ist es eine Ortableitung, die außerdem noch in der komplexen Ebene gedreht wird. D.h. wir haben es mit einem Operator auf einem unendlich-dimensionalen Vektorraum zu tun, der nur sehr indirekt etwas mit dem Impuls zu tun hat.
Hilfe, und dabei bin ich Mathematiker. Arbeiten kann ich damit, aber natürlich möchte ich das so tief verstehen, wie es geht.

Zwar ist mir Folgendes bekannt:
Zu jeder Erhaltungsgröße (z.B. Impuls) gibt es gemäß dem Noether-Theorem eine Symmetrie (z.B. Translationsinvarianz) und umgekehrt. Wenn man den Operator einer Erhaltungsgröße mit i * Konstante multipliziert und dann exponentiert, dann erhält man gerade die zugehörige Symmetrie.
Das ist aber nur ein Zusammenhang, keine Begründung.
(Auch kenne ich das Ehrenfest-Theorem, das aber nichts über den Zusammenhang zwischen den phys. Größen und den Operatoren sagt.)

Ich bin nur Mathematiker. Könnte mir ein Physiker erklären, wieso das Korrespondenzprinzip mit den Operatoren funktioniert? Vielleicht sehe ich auch einfach gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.

[Uli]

Hallo, du Galaxis-Anhalter,

Zitat von Zaphod Beeblebrox

Es ist alter Kaffee:

Ich glaube, man sagt "kalter Kaffee".

Zitat von Zaphod Beeblebrox

Zu jeder phys. Größe gibt es einen Operator. Kürzlich aber wurde mir wieder bewusst, wie "magic" dieses Korrespondenzprinzip eigentlich ist.

Ich glaube, das ist nicht ganz so "magic". Ausgangspunkt ist die beobachtete Unschärferelation zwischen konjugierten Observablen; eine Möglichkeit, eine Theorie mit solcher Charakteristik zu implementieren ist es, eine nicht-kommutierende Algebra für diese Observablen einzuführen. Schrödinger wählte die Darstellung via Differential-Operatoren, die auf Funktionen wirken; Heisenberg kam auf Matrizen.

Das kam natürlich auch nicht so ganz aus heiterem Himmel: schon in der klassischen Mechanik gab es einen Formalismus, der den Kommutatorrelationen der Quantenmechanik sehr ähnelte: die Poisson-Klammern.
http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Klammer

In der hamiltonschen klassischen Mechanik kann man die zeitliche Abhängigkeit dieser Größen mit Hilfe der Poissonklammern ausdrücken. Ersetzt man nun die Poissonklammern durch den Kommutator mal der imaginären Einheit, so erhält man praktisch aus der klassischen Hamiltonschen Mechanik die Quantenmechanik.

Zitat von Zaphod Beeblebrox

...
Ich bin nur Mathematiker. Könnte mir ein Physiker erklären, wieso das Korrespondenzprinzip mit den Operatoren funktioniert? Vielleicht sehe ich auch einfach gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Bei den relativistischen Wellengleichungen war wohl auch einige Raterei dabei.
Aber immerhin war die nichtrelativistische Näherung der Wellengleichung für Spin 1/2 -Teilchen ja schon bekannt gewesen Pauli-Gleichung). Und so ist es kein Zufall, dass die Pauli-Matrizen als Untermatrizen in den Dirac-Matrizen auftreten.

Sicher habe ich keine überzeugende Erklärung geliefert, aber vielleicht angedeutet, dass die Mutmaßungen der "Altvorderen" nicht ganz so magisch vom Himmel fielen, oder nicht ?

Gruß,
Uli

[Zaphod Beeblebrox]

Zitat von Uli

Sicher habe ich keine überzeugende Erklärung geliefert, aber vielleicht angedeutet, dass die Mutmaßungen der "Altvorderen" nicht ganz so magisch vom Himmel fielen, oder nicht ?

Der Lichtregler wurde zumindest eine Stufe weiter aufgedreht. Dankeschön. Da schmeckt der abgegammelte Kaffee doch gleich viel besser.

Der für mich interessante Knackpunkt: Beobachtete Unschärfe -> Idee: nicht-kommutierende Algebra. Auf diesen Ansatz zu kommen, ist ganz schön abgefahren, auch wenn vage Ähnliches verfügbar war. (Naja, ohne Rumprobiererei ging es auch nicht; daher bleibt die spezielle Natur der Operatoren etwas komisch.)

[richy]

Hi Beeblebrox
Meist du damit die Tatsache, dass Mathematik und Phyik so gut zusammen passen ? Darueber hat sich Einstein schon gewundert.
Dass scheinbar fuer alle physikalischen Vorgaenge ein mathematisches Modell erstellt werden kann ?
Dafuer haette ich eine Erklaerung.
Gruesse

[Timm]

Zitat von richy

Dass scheinbar fuer alle physikalischen Vorgaenge ein mathematisches Modell erstellt werden kann ?
Dafuer haette ich eine Erklaerung.
Gruesse

Ich möchte mich an dieser Stelle gerne wundern, warum manche mathematischen Modelle längst existierten, bevor Physiker feststellten, genau das kann ich gebrauchen, Riemann, Calabi-Yau, ...
Es wäre doch schön, wenn es ein Physikfähigkeits-Theorem gäbe.

Gruß, Timm

[lamento]

Hallo Beeblebrox Mathematiker,

ich (Physiker) teile deine Verwirrung. Die Korrespondenzregeln
*sind* definitiv unverständlich.

Man sollte ein bißchen genauer werden, wenn es um den Begriff
"verstehen" geht. Die formale Struktur der Quantenmechanik ist
empirisch entstanden. Man hat nach Modifikationen der bisherigen Physik gesucht, die Übereinstimmung mit dem Experiment ergeben (und mußte
zu diesem Zweck extreme Änderungen vornehmen). Die Quantenmechanik
ist also in Übereinstimmung mit dem Experiment und eine "Erklärung"
quantenmechanischer Eigenschaften durch Hinweis auf Beobachtungen
ist eigentlich leer. Oder aber: im Sinne einer (vorherschenden)
positivistischen Weltanschauung sinnvoll.

Wenn man unter Verstehen etwa folgendes versteht: Herstellung von
Zusammenhängen mit vorhergehenden Theorien. Identifizierung neuer
Aspekte durch Vergleich mit der logischen Struktur vorhergehender
Theorien, dann sind die Korrespondenzregeln überhaupt nicht hilfreich.
Sie sind ein Rezept, das funktioniert.

Noch ein paar Einzelheiten: der Operator (Abl. nach x, mal etc) *ist
nicht der Impuls* Das sind irreführende Übertragungen aus der
klassischen Mechanik. Er ist eine formale Groesse, die den Impuls
eines Teilchens insofern representiert, als die Eigenwerte dieses Operators
die möglichen Meßwerte des Impulses eines Teilchens sind. Welche
'Werte wirklich gemeßen werden kann die Quantenmechanik nicht
vorhersagen. Sie ist eine statistische Theorie.

Ich bin ein Fan der statistsichen Intepretation der Quantenmechanik
(Ballentine review Artikel in RMP). Demnach beschreibt die Wellenfunktion
nicht ein einzelnes Teilchen sondern ein ensemble von Teilchen, die
alle denselben Versuchsbedingungen unterliegen.

Hoffe ich habe zur ultimativen Verwirrung beigetragen.
Viele Grüße

Lamento

[möbius]

Zitat von richy

Hi Beeblebrox
Meist du damit die Tatsache, dass Mathematik und Phyik so gut zusammen passen ? Darueber hat sich Einstein schon gewundert.
....
Gruesse

Dazu erneut Meister EINSTEIN's "Originalton" aus dem Jahr 1921:

"Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit."
Dazu nur 2 kritische philosophische Anmerkungen:
1. EINSTEIN hat an dieser Stelle nicht zwischen "Realität" und "Wirklichkeit" differenziert!
2. EINSTEIN konnte im Jahr 1921 noch nicht GÖDEL's "Unvollständigkeitstheorem" der Mathematik kennen (das erst 1931/32 publiziert wurde!), wonach letztlich auch die mathematischen Sätze nicht "sicher" sind in dem Sinne, dass es keine absolute endgültige Beweisbarkeit innerhalb formaler Systeme geben kann...
Gruß, möbius