Was ist eine Observable?

[Timm]

Zitat von JoAx

Diselbe Frage könnte man dann auch für "Raum" stellen. Auch Raum erfahren wir nicht "an sich", sondern über Phänomene - (Stab-) Länge bsw. als raumartiges Pendant zur zeitartigen (Schwingungs-) Dauer.

Nochmal anders gefragt, wie kann Zeit selbst eine Observable sein, wenn eine Observable eine Funktion eines zeitabhängigen physikalischen Zustands ist?

[JoAx]

Zitat von Timm

wenn eine Observable eine Funktion eines zeitabhängigen physikalischen Zustands ist?

Ist es das immer? Es gibt zeitabhängige und zeitunabhängige Funktionen/Zustände.

[Bernhard]

Zitat von Timm

Nochmal anders gefragt, wie kann Zeit selbst eine Observable sein, wenn eine Observable eine Funktion eines zeitabhängigen physikalischen Zustands ist?

Observable steht erst mal synonym für Messwert. Wenn Du an einer Uhr die Uhrzeit abliest, misst Du in diesem Sinne die Zeit und erhältst auch einen bestimmten Wert.

[Timm]

Zitat von Bernhard

Observable steht erst mal synonym für Messwert. Wenn Du an einer Uhr die Uhrzeit abliest, misst Du in diesem Sinne die Zeit und erhältst auch einen bestimmten Wert.

Der Begriff “Messwert” scheint hier womöglich nicht hinreichend.

Wikipedia schreibt hierzu:

In physics, an observable is a physical quantity that can be measured. Examples include position and momentum. In systems governed by classical mechanics, it is a real-valued function on the set of all possible system states.

Trifft Letzteres auf “Zeit” zu?

Vorschlag: Diskussion ab “Observable” in den neuen thread verfrachten.

[JoAx]

Erledigt...

[Timm]

Ich denke schlicht und einfach, daß eine Observable die messbare Eigenschaft eines Systems bezeichnet. Je nach dessen Zustand misst man unterschiedliche Werte der Observablen. Andere Observable bezeichnen Eigenschaften anderer Systeme. In diesem Sinne ist Zeit keine Observable, denn sie bezeichnet nicht irgendein System und verstreicht unabhängig davon, ob man gerade irgendein System misst oder nicht.

[TomS]

Die Begriffe werden oft nicht sauber definiert.

1) Eine Observable O ist zunächst mal eine real messbare Größe.

2) Im Kontext einer bestimmten Theorie entspricht dieser Observablen dann ein mathematisches Objekt O. Oft wird für dieses mathematische Objekt ebenfalls der Begriff „Observable“ verwendet, aber das ist letztlich unsauber.

(1) ist unabhängig von der konkreten Theorie, (2) dagegen nicht.

Im Rahmen der QM entspricht (2) einem selbstadjungierten und eichinvarianten Operator O. Dabei sagt einem das mathematische Objekt O nichts darüber, ob und wie eine Messmethode für O angegeben werden kann bzw. genaunfunktioniert. Es ist nicht mal klar, ob zu jedem O auch ein zugehöriges O existiert. Das „eichinvariant“ wird gerne vergessen! Z.B. ist das elektromagnetische Viererpotential A in der QED zwar ein selbstadjungierter Operator, jedoch nicht eichinvariant. Eichinvariant wäre nach Eichfixierung F ein Objekt A / U(1) = [A], was einem Schnitt G[A] = 0 einer Faser in einem U(1) Faserbündel entspricht. Dieses [A] könnte nun ein reales [A] repräsentieren, wobei ich keine Messmethode dafür kenne.

Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie werden keine Operatoren verwendet. Allerdings weist die Theorie eine vergleichbare Symmetrie auf; es handelt es sich um die Diffeomorphismeninvarianz Diff(M) auf einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g); [g] steht für die Metrik. Konkret können auf (M,g) überabzählbar viele Koordinatensysteme bzw. sogenannte Karten definiert werden. Eine Karte ist eine Abbildung φ : U ⊂ M → X ⊂ R wobei allen Punkten P aus einer Teilmenge U ⊂ M entsprechende Koordinaten x(P) in einer Teilmenge X ⊂ R (steht vier den 4-dim. Raum über den reellen Zahlen) zugeordnet werden. Die Diffeomorphismeninvarianz besagt insbs., dass es physikalisch irrelevant ist, welche Karten bzw. Abbildungen φ und damit welche Koordinaten x(P) verwendet werden.

Beispiel: die Koordinaten x(P) = (1, 7, 8, -3) haben für sich betrachtet keine physikalische Bedeutung; aber der Raumzeitpunkt P = „der Raumzeitpunkt, an dem die Mondlandefähre zuerst die Mondoberfläche berührt hat“ sind physikalisch relevant.

Der Eichsymmetrie von oben entsprechen Diffeomorphismen f, die sozusagen zwischen zwei Karten bzw. Koordinatensystemen f : X ⊂ R → X‘ ⊂ R transformieren. Konkret entspricht dies einer Funktion, die den alten Koordinaten die neuen Koordinaten gemäß x’ = f(x) zuordnet.

Ein mathematisches Objekt O zu einer Observablen O ist nun eine Größe, die invariant unter Diffeomorphismen ist. Aus den beiden Ereignissen bzw. Raumzeitpunkten P = „der Raumzeitpunkt, an dem die Mondlandefähre zuerst die Mondoberfläche berührt hat“ und Q = „der Raumzeitpunkt, an dem die Mondlandefähre zuletzt die Mondoberfläche berührt hat“ lässt sich die Observable T = „die Eigenzeit, die auf der Mondlandefähre zwischen Landung und Start vergangen ist“ ableiten und dafür eine entsprechende mathematische Größe definieren. Eine simple Differenz von Koordinaten ist dagegen i.A. physikalisch bedeutungslos, denn Koordinaten sind i.A. reine Rechengrößen. Allerdings können Koordinatensysteme so konstruiert werden, dass sie den Ruhesystemen beliebig bewegter Beobachter entsprechen. In diesem speziellen Fall entspricht die Koordinatenzeit dann gerade der Eigenzeit.

Ein weiteres Beispiel wären Impuls oder Frequenz. Der Vierervektor p eines Teilchens entspricht keiner Observablen; die Projektion (u₁, p) des Vierervektors p auf die Vierergeschwindigkeit u₁ eines Beobachters B₁ entspricht der Observablen “dem Impuls des Teilchens, den der Beobachter B₁ in seinem Ruhesystem misst“. Für die Frequenz funktioniert das analog. Man beachte, dass der Überhang zu einem anderen Beobachter B₂ kein Diffeomorphismus ist sondern tatsächlich eine andere Observable mit anderem Messwert und einem anderen mathematischen Ausdruck (u₂, p) erzeugt. Ein Diffeomorphismus f : u → u‘, p → p‘ ändert dagegen nichts an den Beobachtern und Messwerten; es gilt f : (u₁, p) → (u’₁, p‘) = (u₁, p), wobei sich die mathematischen Objekte u, p ändern, nicht jedoch die Invariante (u₁, p).

[soon]

Zitat von TomS

1) Eine Observable O ist zunächst mal eine real messbare Größe.

(1) ist unabhängig von der konkreten Theorie

Das kann ich mir nicht vorstellen. Sobald ich etwas messen, oder noch einfacher - abzählen kann, habe ich ein konkretes Modell.

Anders herum ja, ich kann mir eine Theorie z.B. zu dunkler Materie ausdenken ohne konkret etwas messen zu können.

Messen oder 'abzählen können', hingegen, bedingt eine Wiederholung, eine Wiederkehr erwarteter Ereignisse und das geht nicht ohne eine Modellvorstellung, imho.

[TomS]

Zitat von soon

Das kann ich mir nicht vorstellen. Sobald ich etwas messen, oder noch einfacher - abzählen kann, habe ich ein konkretes Modell.

Evtl. habe ich das etwas zu drastisch formuliert.

Was ich meine ist folgendes: Betrachten wir den Drehimpuls. Dieser ist in der klassischen Mechanik als Vektor definiert, in der Quantenmechanik als Operator, in der RT als Volumenintegral über Felder, ... Gemessen wird aber immer eine Rotation oder ein Drehmoment; und das ist völlig unabhängig von der Definition.

Man kann also sagen, dass es soetwas sie eine Observable „Drehimpuls“ gibt, die in unterschiedlichen Theorien mathematisch unterschiedlich definiert wird, jedoch nicht unbedingt unterschiedlich gemessen.

[Hawkwind]

In der Quantenmechanik sind offenbar solche Größen Observablen, deren Operatoren selbstadjungiert sind. Die Probleme, die Zeit als Observable aufzufassen, haben wohl auch damit zu tun, dass der Zeit-Operator zwar hermitesch, aber nicht selbstadjungiert sei. Es gibt offenbar ein entsprechendes Theorem von Pauli aus dem Jahr 1958:
Pauli, W. (1958). Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik, Hanbuck der Physik, edited by S.Flügge, vol. V/1, p.60, Springer Verlag, Berlin.


In folgendem Papier
R.Giannitrapani: "Positive-operator-valued time observable in quantum mechanics", International Journal of Theoretical Physics, 1997, Vol 36, Issue 7, pp 1575–1584
https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9611015.pdf

wird das entsprechende Theorem von Pauli erklärt:

Zitat von Giannitrapani

Theorem 1 (Pauli) Given an observable (time) T with the following commutation relation with the hamiltonian
[H,T] = -i
then T cannot be a self-adjoint operator.

Das verlinkte Papier wird mir dann leider etwas zu formal und theoretisch.

Für mich waren - ehrlich gesagt - "selbstadjungiert" und "hermitesch" bislang Synonyme.