Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[richy]

Zitat von Hawkwind

Ich denke, diese Definition eines Vorzeichens für komplexe Zahlen hat erst einmal gar nichts mit dem Hauptwert einer Quadratwurzel zu tun.

Bist du immer noch der Meinung ? Man sieht es nur nicht direkt. Wenn man den Winkel 0..2*Pi verwendet, dann verwendet man den Imaginaerteil in der allgemeineren Definition des Vorzeichens für komplexe Zahlen. Ohne dass es sofort auffaellt, weil man nur im Inneren des 2ten und 4 ten Quadranten einen Vorzeichenfehler beim Radizieren macht.

Diesen Fehler vermeidet man, wenn man die Winkelvereinbarung fuer phi aus der Argumentfunktion benutzt. Jetzt erklaere dies mal jemandem ohne die csgn Funktion. Oder hast du hierzu einen anderen anschaulicheren Weg parat ? Koennte ja durchaus sein.

Der Hauptwert einer Wurzel definiert sich nicht über dieses Vorzeichen sondern über den kleinsten Winkel (immer von oben) gegen die positive reelle Achse. So war das doch, oder?

Ich verwende die komplexe ln Version mit arg(z). Und k=0 ist dann angeblich der Hauptwert. Wobei ich im Forum hier sicherlich leider auch schon oefters phi=0..2*Pi angeschrieben habe. Es kann natuerlich durchaus sein, dass es einen Trick, Regel gibt die den Fehler nachtraeglich korrigiert. Bei z^(1/64) muesstest du allerdings alle 64 Wurzeln berechnen nur um den Hauptwert zu bestimmen.


Gruesse

Jetzt fehlt noch ein Beispiel wie sqrt(-1*-1) <> sqrt(-1)*sqrt(-1)

[richy]

richy mal wieder in Hochform. Was würde wohl Graf Maple dazu sagen?

Vielleicht : Herr Gauss hat lediglich die Ringsalami dem falschen Quadranten entnommen

Mathematikerin : "Schatz ich hab im falschen Quadranten eingeparkt :-)"
Bei "Wer wird Millionaer" : "Ich koennte ihnen eine mehrdeutige Loesung anbieten : A,B,C,D"
Jauch : "Gute Frau wir suchen den Hauptwert"

Waere 1=-1 als Nebenwert eigentlich richtig ?

[quick]

Hallo richy,

Zitat von richy

Diesen Fehler vermeidet man, wenn man die Winkelvereinbarung fuer phi aus der Argumentfunktion benutzt. Jetzt erklaere dies mal jemandem ohne die csgn Funktion. Oder hast du hierzu einen anderen anschaulicheren Weg parat ? Koennte ja durchaus sein.

Man muß sich den Zusammenhang zwischen Winkelverdoppelung und Potenzieren klarmachen.

Für Phi soll arccos verwendet werden,






wobei die Signumfunktion wichtig scheint.

Aber das hast du ja schon selbst herausgefunden.

Manchmal liest man, exp(i*Pi/2) sei ein Zeiger auf den komplexen Wert und der komplexe Wert ein Vektor. Im 2-Dimensionalen macht das aber keinen Unterschied.
Größer und Kleiner (<>) hat im Komplexen Zahlenbereich nicht mehr die Bedeutung, die man einem größeren oder kleineren Wert zuschreibt. Dem Komplexen fehlt das lineare, eindimensionale Ordnungsprinzip.

Man könnte sich nun fragen, wie müssen komplexe Funktionen aufeinander wirken, damit in physikalischen Prozessen dieses ">" und "<" realisiert wird.

mfg
quick

PS: IF i OR j THEN
Anweisungen( )
ENDIF

[richy]

Hi quick

Man muß sich den Zusammenhang zwischen Winkelverdoppelung und Potenzieren klarmachen.

Ja, aber das ist nicht ausreichend. Diese arg-Funktion sieht formell grauenhaft aus. Aber es ist graphisch einfach diese Winkelvereinbarung :



Und wenn ich diese anstatt 0..2*Pi verwende, dann rechne ich auch richtig wenn eine Quadratwurzel auftritt. Ich vermute sogar bei allen geradzahligen Wurzeln passt es, was noch zu zeigen waere. Und wenn ich wissen moechte warum ich dann richtig rechne, dann ist die Begruendung, dass man mit arg(z) fuer csignum() die linke Halbebene auf die rechte abbildet. Und mit phi=0..2 faelschlicherweise die untere Halbebene auf die obere Halbebene.
Wobei es teuflischerweise fuer rein reelle und rein imaginaere Zahlen und im ersten und dritten Quadranten dennoch scheinbar passt.

Man kann sich die Vorzeichen auch so erklaeren.
Beispiel Sinus :
Bei phi = 0..2*Pi durchlaufe ich den ganzen Sinus und dann gehts von vorne los.
Bei phi=0...Pi ...-PI..0 verwende ich einen Spezialhamster.
Der lauft die erste Halbwelle durch und dann springt er nach -Pi und laeuft weiter ...
Das ist doch gar kein Unterschied !

In dem Fall nicht und deshalb sagen sich viele : Ach es ist doch egal welche Winkelkonvention ich verwende.
Aber wenn ich die Wurzel ziehe, die Phase halbiere, dann unterscheiden sich die beiden Hamster im Sinus. Der erste lauft wie bisher. Es aender sich praktisch nur die Frequenz.
Aber der richtige Spezialhamster springt nun schon bei Pi/2 zurueck nach -Pi/2. Und dadurch aendert er gegenueber dem 0..2*Pi Hamster in richtiger Weise sein Vorzeichen.

Gruesse

[JoAx]

Hi richy!

Warum nicht „einfach” -Pi .. +Pi nehmen?

Gruß, Johann

[Hawkwind]

Zitat von richy

Bei z^(1/64) muesstest du allerdings alle 64 Wurzeln berechnen nur um den Hauptwert zu bestimmen.

Wieso das ?
Du stellst z dar in der Form

z = |z| * expi(i*phi)

Der Hauptwert ist dann

z = |z|^(1/64) * exp(i*phi/64)

oder übersehe ich etwas? Kommt mir nicht so vor.

Gruß,
Hawkwind

[quick]

Hallo richy,

ich habe inzwischen eine recht anschauliche Vorstellung von dem imag. Problem. Ich muß dazu nur ein Bildchen präsentieren, habe momentan aber keine Zeit.
...heute abend vielleicht.

mfg
quick

[Hawkwind]

Zitat von quick

Ups, da taucht nun unvermittelt x auf; was soll es denn bedeuten, vielleicht Realteil(z)?

Zitat von quick

wobei die Signumfunktion wichtig scheint.

1.) die Signumfunktion, die du angibst, ist die für reelle Zahlen und nicht die auf die komplexe Ebene erweiterte, die richy im englischen Wiki "ausgegraben" hatte.
2.) warum soll sie so wichtig sein? Das stimmt einfach nicht.
Das simple Vorzeichen verliert eben seine Bedeutung für komplexe Zahlen, da eine Charakterisierung dieser durch Vorzeichen und Betrag wie im Reellen sowieso nicht mehr reicht; stattdessen sind Betrag und Winkel gefragt für komplexe Zahlen.

[quick]

Hallo richy,

Zitat von richy

Hi quick
Ja, aber das ist nicht ausreichend. Diese arg-Funktion sieht formell grauenhaft aus.

Du sprichst mir aus dem Herzen!

die Probleme bei der konkreten Berechnung von komplexen Zahlen scheinen alles andere als einfach zu sein, für mich zumindest. Deshalb habe ich mir überlegt, wie man Gauß und Euler bei dieser Berechnung unter einen Hut bringen kann.

Wenn man von der allgemeinen Darstellung

z = a + bi ausgeht, wobei i für "imaginär" steht und bedeutet, dass b mit sqrt(-1) multipliziert werden muß, dann lautet das Ergebnis nach der Quadrierung
z² = a² - b² == (a+b)(a-b)

Daraus läßt sich nun mit dem guten alten Pythagoras was machen...
Man nehme einen Radius a und eine Teilstrecke b, sodass (a-b) und (a+b) die Hypothenusenabschnitte eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben.
Und siehe da, die Höhe des Dreiecks entspricht nun auch einer reellen Zahl, obwohl sie in den imaginären Raum ragt.

Man muß sich nun vorstellen, dass Euler gewissermaßen über den Dingen schwebte und den Einheitskreis auch noch gleich mit nahm. Er schaute vom imaginären Raum aus auf die reelle Zahlenwelt und sah, dass alles Eins war (oder Null?) oder -1. (Die realen geschichtlichen Zusammenhänge sind jetzt unbedeutend!)

Ich habe (für mich) entdeckt, dass von diesen Zusammenhängen bis heute ein heiligenscheinartiges Gebilde übrig geblieben ist, das ich in meiner Skizze gelb eingefärbt habe. Diese Gebilde nenne ich "imaginären Pythagoras-Euler-Gauß-Schein", kurz iPEGS.
iPEGS steht nicht senkrecht auf der reellen Achse R, sondern schwebt drüber, senkrecht zur Imaginären.
Der Winkel Phi ist ein Rotationswinkel um die imaginäre Achse, hat also mit dem Winkel bei Gauß´scher Betrachtungsweise nur indirekt zu tun. (Deshalb müssen zwei Hamster in verschiedenen Käfigen agieren/operieren?)

Wichtig zu erwähnen wäre noch der Endpunkt Q von z. Mit dem Punkt Q (wie quick) läßt sich jedes beliebige Verhältnis von a und b einstellen, wenn man diesen Punkt um den inneren Kreis des iPEGS herumführt.
Nun ja, vielleicht erkennt man auch, dass iPEGS eigentlich nur die Schnittfläche zweier Kugeln darstellt, was hilfreich sein könnte, wenn man sich in höhere Dimensionen begeben möchte.

Da ich nun aber das allgemein gültige, mathematische Regelwerk nicht überblicke, kann ich nicht beurteilen, ob meine Vorstellung strengen Maßstäben standhält ...
... soll heißen, "zum Test/Verriss freigegeben".

mfg
quick

[quick]

Hallo Hawkwind,

Zitat von Hawkwind

2.) warum soll sie so wichtig sein? Das stimmt einfach nicht.
Das simple Vorzeichen verliert eben seine Bedeutung für komplexe Zahlen, da eine Charakterisierung dieser durch Vorzeichen und Betrag wie im Reellen sowieso nicht mehr reicht; stattdessen sind Betrag und Winkel gefragt für komplexe Zahlen.

Ich habe ja geschrieben, die Signumfunktion scheint wichtig zu sein. Beim derzeitigen Stand der Diskussion sollte es nur ein Hinweis für richy/Interessierte sein. Ich selbst fange im Moment garnichts damit an.

mfg
quick