Unmöglichkeit der Wegentscheidung

[Maxi]

Hallo Johann,

die ganze Sache wäre natürlich viel einfacher, wir könnten uns an einen Tisch zusammensetzen und uns mit Rede und sofortiger Gegenrede austauschen:
Unklarheiten und Missverständnisse wären dann leichter zu vermeiden. Um letztere dennoch möglichst zu vermeiden, müssen wir über jede notwendige Kleinigkeit reden. Dies klingt etwas schulmeisterlich -- ist aber nicht so gemeint.

Ich fang mal der Reihe nach an:

Zitat von JoAx

ich behaupte, dass das Ereignis S->A->D und das Ereignis S->B->D die Bedingung erfüllen, inkompatibel zu sein.

Johann, dieser deiner Aussage stimme ich voll zu.

Zitat von JoAx

Und selbstverständlich gehören die beiden auch zum selben sicheren Ereignis Ω

Johann, ob diese Feststellung richtig ist oder nicht, hängt allerdings davon ab, von welchem Experiment wir sprechen. Wir müssen hier genau unterscheiden: handelt es sich um das 1.Experiment (nur A offen) mit dem zugehörigen Ω1, um das 2.Experiment (nur B offen) mit dem zugehörigen Ω2 oder sprechen wir vom 3.Experiment (A und B offen) mit dem zugehörigen Ω3. Genau genommen trifft deine Aussage also nur für Ω3 zu.

Zitat von JoAx

Ich möchte dir mal eine andere Experimentenreihe beschreiben.

Wir nehmen einen gewöhnlichen 6-seitigen Würfel und führen zunächst 6 Experimente durch, in denen wir die Wahrscheinlichkeit für jeweils eine der Seiten bestimmen.

Im 1. achten wir nur und ausschliesslich auf die Seite mit einer Einkerbung. Die anderen ignorieren wir. Ergebnis: P(1) = 1/6
Im 2. achten wir nur und ausschliesslich auf die Seite mit zwei Einkerbungen. Die anderen ignorieren wir. Ergebnis: P(2) = 1/6
...

Nun eine Frage an dich: Es waren ja 6 unterschiedliche Experimente. Deinen Auslegungen nach darf man die so gewonnenen Wahrscheinlichkeiten nicht addieren, denn sie wurden ja nicht in einem einzigen Experiment gewonnen. Ich dagegen behaupte, dass es locker geht, und wenn ich das tue, dann bekomme ich u.A.

a. P(2) + P(5) = P(2 ∪ 5) = 1/6 + 1/6 = 1/3

b. P(1) + P(2) + ... + P(6) = 1

Wer von uns beiden hat nun Recht, Maxi?

Nicht schlecht, Johann, eine klug ausgedachte Kette von Experimenten, die dir in der Tat Recht zugeben scheint. Jedoch: kannst du nicht in vielen mathematischen Situationen (einmalige) Spezialfälle konstruieren und damit jedes nur denkbare Ergebnis "einmalig belegen". Dein Beispiel ist doch erst der Anfang vom "1. Schritt" einer "unvollständigen Induktion". Du weißt so gut wie ich, bis zu einer "vollständigen Induktion" ist der Weg noch unendlich weit. Stimmt's?
Oder benötigen wir ein Gegenbeispiel? Du weißt, ich benötige nur ein einziges!

Zitat von JoAx

Ok. Kannst du mir bitte das Experimentverlauf beschreiben, mit Sender, Schirm mit den 2 Löchern, zwei Detektoren A und B an diesen Löchern und dem Detektor D hinter dem Schirm, das zum Diagramm A∪B hier:

KEINE AHNUNG, WIE ICH DAS BILD HIER REINKRIEGEN SOLL!

passen würde? Bin gespannt.

Hier hast du meinen Hinweis "Man kann es allerdings bereits an den Venn-Diagrammen (...) erkennen" völlig falsch interpretiert. Ich wollte lediglich andeuten, dass der Verfasser des Artikels über den >>Axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung<< davon ausging, dass jeder, der seinen Beitrag liest und studiert, sich von vorneherein dessen bewusst ist, dass die im 3. Axiom angesprochenen Ereignisse Ai und Aj ein und demselben Ω angehören müssen; ansonsten würde alles aus dem Ruder laufen. Und deshalb hat er wohl diese Selbstverständlichkeit nicht extra erwähnt. Dennoch: in allen angeführten Venn-Diagrammen ist deutlich zu erkennen, dass die Ereignisse A und B, die miteinander vereinigt, geschnitten, ... werden, allesamt diese selbstverständliche Grundvoraussetzung erfüllen.
Nicht mehr und nicht weniger habe ich gemeint.

Ansonsten kann ich in deiner "Bitte" keinen "Sinn" erkennen.
Jedenfalls fängt der Autor im Abschnitt Folgerungen an, aus den Axiomen für die allgemeine Praxis die ersten "brauchbaren Gesetze" herzuleiten, um nicht bei jeder Gelegenheit wieder "bei Adam und Eva" anfangen zu müssen. Und du möchtest nun was wissen?

Oder interpretierst du etwa den "Detektor A am Loch1" und den "Detektor B am Loch 2" aus dem Doppelspaltexperiment als eigenständiges "Ereignis A" und "Ereignis B" in den Venn-Diagrammen?

Ich bin gespannt, wie du die Ereignisse A und B definiert haben willst.

Ich schlage vor, wir machen erst mal Zwischenbilanz.
Es wäre schön, wenn sich herausstellen würde, dass wir in den angesprochenen Punkten nicht allzu weit von einander entfernt sind.

Gruß, Maxi

[JoAx]

Zitat von Maxi

die ganze Sache wäre natürlich viel einfacher, wir könnten uns an einen Tisch zusammensetzen und uns mit Rede und sofortiger Gegenrede austauschen:

Ist aber immer noch besser, als in der Zeit vor Internet.

Zitat von Maxi

1.Experiment (nur A offen) mit dem zugehörigen Ω1, um das 2.Experiment (nur B offen) mit dem zugehörigen Ω2 oder sprechen wir vom 3.Experiment (A und B offen) mit dem zugehörigen Ω3.

Ω1 = Ω2 = Ω3

Zitat von Maxi

Nicht schlecht, Johann, eine klug ausgedachte Kette von Experimenten, die dir in der Tat Recht zugeben scheint. Jedoch: kannst du nicht in vielen mathematischen Situationen (einmalige) Spezialfälle konstruieren und damit jedes nur denkbare Ergebnis "einmalig belegen". Dein Beispiel ist doch erst der Anfang vom "1. Schritt" einer "unvollständigen Induktion". Du weißt so gut wie ich, bis zu einer "vollständigen Induktion" ist der Weg noch unendlich weit. Stimmt's?
Oder benötigen wir ein Gegenbeispiel? Du weißt, ich benötige nur ein einziges!

Wie war das mit der Wissenschaft? Es reicht ein einziges Experiment, um eine These zu widerlegen. Deine These war - unterschiedliche Experimente => unterschiedliche Ergebnisräume => man darf nicht addieren. Mein Beispiel widerlegt deine These, was du auch anerkennst. Irgend ein Beispiel für deine These würde nun auch nichts mehr daran ändern, dass sie nicht korrekt ist. (Du kannst ihn natürlich bringen, vlt. verstehe ich dann besser, was los ist.)

Da musst du dich nach einem neuen Kriterium auf die Suche machen.

Den von mir grün markierten Satz habe ich nicht verstanden.

Zitat von Maxi

Hier hast du meinen Hinweis
...

Dann lassen wir es, um nicht abzugleiten.

Zitat von Maxi

Oder interpretierst du etwa den "Detektor A am Loch1" und den "Detektor B am Loch 2" aus dem Doppelspaltexperiment als eigenständiges "Ereignis A" und "Ereignis B" in den Venn-Diagrammen?

Auch Detektoren A und B sind natürlich eigenständige Ereignisse. Aber von diesen interessieren uns dann nur solche, nach denen auch der Detektor D anspricht.


Grüße

[Maxi]

Hallo Johann,

Zunächst:

Zitat von Maxi

Nicht schlecht, Johann, ein klug ausgewählte Kette von Experimenten, die dir in der Tat Recht zu geben scheint. (...)

Dein schönes Würfelbeispiel ist leider kein Beleg für deine Behauptung.

Mein Fehler, eigentlich nicht zu entschuldigen, man braucht sich ja nur meinen trivialen Beweis vom 20.06.13 vor Augen zu führen! Na ja.

Nachdem dich mein "Beweis" nicht überzeugt, sehen wir uns dein Beispiel etwas näher an
und klären zunächst die genaue Durchführung der Einzelexperimente und deren Ergebnisräume.

Also nochmal zurück zu:

Zitat von JoAx

Wir nehmen einen gewöhnlichen 6-seitigen Würfel und führen zunächst 6 Experimente durch, in denen wir die Wahrscheinlichkeit für jeweils eine der Seiten bestimmen.

Im 1. achten wir nur und ausschliesslich auf die Seite mit einer Einkerbung. Die anderen ignorieren wir. Ergebnis: P(1) = 1/6
(...)

Was willst du mit der Formulierung "Die anderen ignorieren wir" zum Ausdruck bringen?

Bedeutet dies:

a) Wenn z.B. eine 4 geworfen wird, dann akzeptieren wir die 4 einfach nicht und tun so, als ob wir gar nicht gewürfelt hätten? Dann hat dieser Wurf also quasi gar nicht stattgefunden.
Wenn dem so sein sollte, dann dürfen wir die Zahlen 2, 3, 4, 5 und 6 nicht in den Ergebnisraum Ω1 aufnehmen. Damit würde Ω1 nur das einzige Element 1 enthalten, das "beabsichtigte Zufallsexperiment" würde dadurch automatisch in ein "deterministisches Experiment" umgewandelt und wäre somit für uns insgesamt unbrauchbar;
denn P(1) = 1/6 wäre hinfällig. Richtig wäre nun: P(1) = 1.
Analoges gilt für die anderen fünf Experimente der Reihe.

Die Grundlage dafür bildet die Definition des Ergebnisraums:

Zur mathematischen Beschreibung eines Zufallsexperiments fassen wir die möglichen Ergebnisse zu einer Menge Ω = (w1, w2, ..., wm) zusammen, die wir den Ergebnisraum nennen. Er ist so zu wählen, dass jedem in Betracht gezogenen Versuchsausgang genau ein Ergebnis zugeordnet ist.
(vgl. z.B. Feuerpfeil, Heigl; "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik" ISPN 3-1627-3532-8)

b) Für den Ergebnisraum gilt: Ω1 = (1, nicht-1), mit P(1) = 1/6 und P(nicht-1) = 5/6. Analoges gilt für Ω2 = (2, nicht-2), mit P(2) = 1/6 und P(nicht-2) = 5/6; u.s.w.

Also: P(1) + P(nicht-1) + P(2) + P(nicht-2) + ... + P(6) + P(nicht-6) = 6.

c) ...



So akzeptiert oder nicht? Wenn ja, gehe ich zu deinen anderen Einwänden über.

Entschuldige nochmals dieses unnötige Verwirrspiel.

Bilder muss ich wohl im Anhang beifügen.

Gruß, Maxi

[JoAx]

Zitat von Maxi

Dein schönes Würfelbeispiel ist leider kein Beleg für deine Behauptung.

Echt nicht?

Ehrlich, Maxi, momentan habe ich das Gefühl, dass du absichtlich falsch/nicht verstehst, wie "Ich" es formuliert hat.

Zitat von Maxi

a) Wenn z.B. eine 4 geworfen wird, dann akzeptieren wir die 4 einfach nicht und tun so, als ob wir gar nicht gewürfelt hätten? Dann hat dieser Wurf also quasi gar nicht stattgefunden.

Erkläre mir bitte, wie du zu so einer Deutung kommen kannst, wenn ich doch das Ergebnis P(1)=1/6 an-/vor-gebe.

Diese deine eigenen Worte:

Zitat von Maxi

denn P(1) = 1/6 wäre hinfällig.

müssen dir selbst doch sagen - "Das kann nicht gemeint gewesen sein!!!"

Also - wie jetzt?

Zitat von Maxi

Also: P(1) + P(nicht-1) + P(2) + P(nicht-2) + ... + P(6) + P(nicht-6) = 6.

Soll das Ω sein? Wohl nicht. Eher die Mächtigkeit von Ω. Du sprichst immer vom Ergenbnisraum. "Raum" impliziert irgend welche Verknüpfungen zwischen seinen Elementen. Wie man von einem Element des Raumes (Punkt A) zum anderen (Punkt B) gelangt, Entfernung bsw. Hier gibt es keine solche, und so ist es korrekter von einer "Menge" zu sprechen. (Siehe auch den Wiki-Artikel.)

Das 1. Experiment gibt her:
P(1) = 1/6
P(Ω\1) = 1 - P(1) = 5/6

Das 2. Experiment:
P(2) = 1/6
P(Ω\2) = 1 - P(2) = 5/6

Können wir bereits daraus P(1∪2) berechnen, wenn bekannt ist, dass diese Ereignisse disjunkt sind? Auch ohne, dass wir die Mächtigkeit von Ω kennen?
|Ω|=undefined


Grüße

[JoAx]

Nachtrag.

Zitat von Maxi

Zur mathematischen Beschreibung eines Zufallsexperiments fassen wir die möglichen Ergebnisse zu einer Menge Ω = (w1, w2, ..., wm) zusammen, die wir den Ergebnisraum nennen. Er ist so zu wählen, dass jedem in Betracht gezogenen Versuchsausgang genau ein Ergebnis zugeordnet ist.
(vgl. z.B. Feuerpfeil, Heigl; "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik" ISPN 3-1627-3532-8)

Vlt. so - wir müssen nicht jedes einzelne wi, mit i von 1 bis m, in (irgend) einem Experiment tatsächlich auch bekommen und seine Wahrscheinlichkeit ausmessen.

[Maxi]

Johann, wir diskutieren hier momentan auf zwei verschiedenen Grundlagen, Ebenen, ... :

Es ist wirklich so -- ich spreche aus langjähriger Erfahrung am Gymnasium: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht ein Hauptproblem beim Lösen von Aufgaben darin, dass der Schüler die Beschreibung des Experiments nicht voll bzw. anders auffasst, als es vom Aufgabensteller gemeint war (-- dabei bleibt offen, wer dafür verantwortlich ist). Um in jedem Einzelfall volle Klarheit zu erreichen, müsste man zu einer Aufgabe jedes mal fast einen halben Roman verfassen -- ein Ding der Unmöglichkeit. So versucht man Missverständnisse in der Aufgabenstellungen durch zuvor vereinbarte und eingeübte "Standardformulierungen" möglichst weitgehend zu vermeiden.
Nun, wir haben untereinander noch keinerlei vereinbarte Abkürzungen getroffen.

Ich versichere dir jedoch: Ich will dich verstehen.
Ich will dich aber auch von einer Sache überzeugen , so wie du mich hoffentlich auch -- und dafür müssen wir zuerst unsere gegenseitig unterschiedlichen Ebenen erkennen. D.h. nicht, dass wir sie momentan akzeptieren sollen, aber zumindest kennen lernen, sie mit Hilfe der Axiome von Kolmogorw (und den daraus abgeleiteten Gesetzen) prüfen -- und dann erst entscheiden: Misst -- oder nicht!!

Und da (meiner Ansicht nach) -- ohne unnötig viele Worte zu verwenden -- eine entscheidend wichtige Information von einem jeden Experiment in der zugehörigen "Menge" (zugegeben: unglücklicherweise "Ergebnis-Raum" genannt) zum Ausdruck kommt, bitte ich dich um folgendes:

Verrate mir bitte die einzelnen "Mengen" deiner Versuchsreihe, und zwar in der aufzählenden Form Ωi = (w1, w2, ...), mit w1 = ..., u.s.w.

Erst dann können wir gemeinsam klären, welche Schlussfolgerungen bezüglich der Wahrscheinlichkeitsmaße einzelner Ereignisse zulässig sind und welche nicht.

Gruß, Maxi

[JoAx]

Zitat von Maxi

Es ist wirklich so -- ich spreche aus langjähriger Erfahrung am Gymnasium:

Maxi, ich bin zwar kein Lehrer von Beruf, aber es ist mir sehr wohl bekannt, dass unterschiedliche Menschen den selben Stoff völlig unterschiedlich verinnerlichen. Die einen kommen gleich klar (und "erraten" manch mal sogar im Voraus, was als nächstes kommt), die anderen sind die meiste Zeit eher völlig orientierungslos. Meine Überzeugung ist, dass so etwas nicht durch "Standardformulierungen" zu beheben ist. Die Menschen sind keine identischen Roboter und ein Lehrer ist kein Programmierer. Der Mensch muss verstehen, worum es geht, und wenn es da Probleme gibt, dann muss mit ihr/ihm individuell gearbeitet werden, anstelle von in noch größere "Standardisierung" zu flüchten, die dem Schüler (seinem Gehirn) höchstwahrscheinlich noch fremder ist.

Und in der Mathematik kann man übrigens auch nicht alles "voll klar" definieren.

Zitat von Maxi

Verrate mir bitte die einzelnen "Mengen" deiner Versuchsreihe, und zwar in der aufzählenden Form Ωi = (w1, w2, ...), mit w1 = ..., u.s.w.

Keine Ahnung, ob ich es verstanden habe, was du von mir wissen möchtest, aber ich versuch's.

Ω1 = P(1) + P(Ω1\1) = Ω2 = P(2) + P(Ω2\2) = ... = Ω = 1

Ist das verständlich?
Wenn du willst - ich komme auf anderen Wegen zur Feststellung, dass die Ergebnismenge immer die selbe ist, als durch erfassen wirklich aller möglichen Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten. Die "aufzählende Form" würde ich dann höchstens zur Selbstprüfung benutzen - ist die Summe aller mir zur Verfügung stehender Wahrscheinlichkeiten >1, dann ist was im Busch.

Was ist unser Ω? - Das sind alle Seiten des Würfels. Es müssen nicht ein Mal 6 an der Zahl sein. Einfach nur - alles, was mit diesem "Würfel" möglich ist.

Eine andere Experimentenreihe (mit einem anderen "Würfel") könnte so aussehen:

1. und 2. Experiment: P(1) = P(2) = 1/6
3. bis 6. Experimente: P(3) = ... = P(6) = 1/12

Alle Ereignisse sind disjunkt. Das war's.
Willst du mir sagen, dass man damit nichts anfangen könnte/dürfte?


Grüße

[Maxi]

Hallo Johann,

Zitat von JoAx

Und in der Mathematik kann man übrigens auch nicht alles "voll klar" definieren.

Mag schon sein, sonst müssten die "Definierer" ja auch jedes Mal -- als Ergänzung -- halbe Romane abliefern. Drum sind höchst wahrscheinlich -- aus der Sicht der "Definierer" -- ihre mathematischen Definitionen auch hauptsächlich nur für diejenigen gedacht, die die, zum "vollen" Verständnis notwendigen "Standardverein-barungen" (d.h. den Stoff des gesamten Umfelds, in die der Inhalt der neuen Definition eingebettet werden soll) hinreichend ausführlich kennen.

Zitat von JoAx

Keine Ahnung, ob ich es verstanden habe, was du von mir wissen möchtest, aber ich versuch's.

Ω1 = P(1) + P(Ω1\1) = Ω2 = P(2) + P(Ω2\2) = ... = Ω = 1

Ist das verständlich?
Wenn du willst - ich komme auf anderen Wegen zur Feststellung, dass die Ergebnismenge immer die selbe ist, als durch erfassen wirklich aller möglichen Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten. Die "aufzählende Form" würde ich dann höchstens zur Selbstprüfung benutzen - ist die Summe aller mir zur Verfügung stehender Wahrscheinlichkeiten >1, dann ist was im Busch.

Johann, aus diesen Zeilen geht hervor, dass du alles erdenklich Mögliche, was dir gerade für ein bestimmtes Experiment wichtig erscheint, in diese Menge Ω hineinpacken möchtest. Dies sei in deinem "Model" so definiert und insofern völlig in Ordnung .

ABER: Diese deine Definition der Menge Ω hat nicht das Geringste mit dem (sagen wir einfach wieder, man nennt's nun mal so) Ergebnisraum Ω zu tun, von dem in der Definition der Kaxiome von Kolgomorow (siehe dein Link) die Rede ist.
Im ersten Moment wirst du mir das gewiss nicht abnehmen wollen. Es soll auch kein Vorwurf, weder an dich noch an ich sein. Schließlich habe auch ich damals --- während des (nicht Lehramt)-Physik-Studiums an der THM, Mössbauer aus den USA zurück, von ihm angeregt: empfohlene Studienangebote gestrafft zusammengestellt ... --- kein Wort über Statistik gehört. Man hat's halt dann an der Schule anhand der Schulbücher nachgeholt.

Wenn du Lust hast, können wir gerne -- Schritt für Schritt -- weitermachen, an mir soll's nicht liegen. Wir würden bis zu unserem umstrittenen "Feynman-Problem" (neben der Physik) lediglich den Ergebnisraum mehrstufiger Zufallsexperimente und Baumdiagramme benötigen.

Gruß, Maxi

[JoAx]

Zitat von Maxi

Johann, aus diesen Zeilen geht hervor, dass du alles erdenklich Mögliche, was dir gerade für ein bestimmtes Experiment wichtig erscheint, in diese Menge Ω hineinpacken möchtest.

So ist es!

Zitat von Maxi

ABER: Diese deine Definition der Menge Ω hat nicht das Geringste mit dem (sagen wir einfach wieder, man nennt's nun mal so) Ergebnisraum Ω zu tun, von dem in der Definition der Kaxiome von Kolgomorow (siehe dein Link) die Rede ist.

Kannst du bitte die Stelle zitieren, der ich widerspreche?

Zitat von Maxi

Wenn du Lust hast, können wir gerne -- Schritt für Schritt -- weitermachen,

Ich bin da.

[Maxi]

Zitat von JoAx

Kannst du bitte die Stelle zitieren, der ich widerspreche?

Vermutlich nicht. Wenn du keine findest, werde ich wohl auch vergebens suchen.

Derjenige, der vor der Aufgabe stand, die Axiome von Kolmogorow zu präsentieren, hat vermutlich vorausgesetzt, dass all diejenigen, die sich für Kolmogorow interessieren, bereits wissen, was unter einem Ergebnis wi eines Zufallsexperiments gemeint ist. Für ihn gehört offensichtlich der Begriff "Ergebnis" zur "Standardvereinbarung", die er schlicht als bekannt vorausgesetzt hat.

Du widersprichst also mit deiner "Menge" Ω nicht einer bestimmten Stelle, sondern der "Standardvereinbarung" des Begriffs Ergebnisraum Ω.

NB: Es besteht für mich bei unserem Schriftverkehr leider das Problem, dass ich nicht die geschweifte Mengenklammer einfügen kann, deshalb benützen wir ja auch die normale runde Klammer; auch griechische Buchstaben gibt dieses zu verwendende Programm nicht her. Die einzige Möglichkeit besteht für mich darin, dein Omega zu kopieren und in meinen Text einzufügen.
Ich weiß z.B. auch nicht, ob das Fehlen jeglicher Klammer in folgendem

Zitat von JoAx

(....) ... = Ω = 1

lediglich ein Schreibfehler ist, der mir auch zig-mal unterläuft, und den man kaum mehr ausmerzen kann, da man ihn hinterher immer wieder überliest.
Oder steht dies mit voller Absicht so da?
"Menge" = 1 ?

Gruß, Maxi