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  #1  
Alt 13.09.10, 21:25
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
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Standard Math - DGL versus DZGL

Hi

Im allgemeinen loest man DZGL's ueber die Z Transformation. Im folgenden moechte ich versuchen einige klassische Loesungsverfahren fuer DGL's auf DZGL's zu uebertragen.
Gemaess der Z Transformation betrachte ich dabei z[k-n] bzw z[k+n] rein formell als n-te Ableitung.

dy/dt=f(t)/g(y) :
*************
Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN

Beispiel DGL :
**********
dy/dt=t^2/y^2
int t^2 dy = int y^2 dy
y(t)=t^3+ C

Vorgehensweise bei einer DZGL ?
************************
y[t+1]=t^2/y[t]^2
Maple kann solche nichtlineare DZGL's nicht loesen.

Dieser spezielle formale Ansatz fuehrt nicht weiter :
Summe y[n]^2, 0..t = Summe n^2, 0..t

Wir formen dennoch um :
y[t+1]*y[t]^2=t^2

Logarithmieren
ln(y[t+1]*y[t]^2)=2*ln(t)
...
ln(y[t+1]=-2*ln(y[t])+2*ln(t)

Substitution
z[k]=ln(y[k])
z[k+1]=-2*z[k]+2*ln(k)

Maple kann hier lediglich eine Faltungssumme als Loesung liefern :
rsolve(z(k+1)=-2*z(k)+2*ln(k),z(k));

Ruecksubstitution :
z[k]=ln(y[k])
y(k)=exp(z[k]



Die Aufgabenstellung ist bereits zu schwierig. Formulieren wir eine etwas einfachere Aufgabe :
************************************************** **************

DGL :
dy/dt=exp(t)/y

Die allgemeine Loesung lautet :
y(t)^2=2*exp(t)+C

DZGL :
y[k+1]=exp(k)/y[k]
y[k+1]*y[k]=exp(k)
ln(y[k+1])=k-ln y[k])
Substitution
z[k]=ln(y[k])

z[k+1]=-z[k]+k
************

Diesmal erhalten wir eine geschlossene Loesung (k durch t ersetzt) :



Test der Loesung :
Wir bilden y[k+1]*y[k] und erhalten tatsaechlich ueber einen Exponentenvergleich y[k+1]*y[k] = exp(k)

Graphischer Test :
Gewaehlt wurde der Anfangswert y(0)=1 :

y(t) ist wegen (-1)^k nur fuer geradzahlige k reell. Ansonsten komplexwertig :
complexplot(z,t=0..5);


Vergleich mit der Differenzengleichung :
Programmcode :
Zitat:
s[0]:=(1);
for i from 1 to 20 do
s[i]:=evalf(exp(i)/s[i-1]);
od;
Ausdruck :
Zitat:
s[0] := 1
s[1] := 2.718281828
s[2] := 2.718281829
s[3] := 7.389056096
s[4] := 7.389056102
s[5] := 20.08553692
Die Werte stimmen mit den Schleifenschnitten der reellen Achse ueberein.
=>
Wir haben tatsaechlich eine Loesung der DZGL : y[k+1]=exp(k)/y[k] gefunden !
Dabei haben wir eine aehnliche Methode verwendet wir beim Trennen der Variablen. Diese enthaelt statt Integration eine Substitution und eine Logarithmierung. Die Methode funktioniert daher nur fuer einige spezielle Faelle.
Aber immerhin !
Anm: Auch in der Loesung y(k) faellt der Ausdruck 2^k auf.

Gruesse

Ge?ndert von richy (23.09.10 um 10:49 Uhr)
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  #2  
Alt 13.09.10, 21:51
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richy richy ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Hmm ... ich weiss nicht ob meine obigen Ueberlegungen wirklich neu sind, so dass ich dem Kind einen neuen Namen geben darf.
Kann mich jemand diesbezueglich aufklaeren ? Mist, Ralf Kannenberg wuesste das sicherlich. Kann jemand hier im AC Forum bei Ralf anfragen was er von der Sache haelt ?
Ich nenne solange den DZGL Prototypen mal unverfaenglich Ram-DZGL :

Hypothese : (D.h. ich denke die Loesung ist schluessig)

Die RAM DZGL :

z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m

hat die allgemeine Loesung :


Ge?ndert von richy (23.09.10 um 02:53 Uhr)
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  #3  
Alt 13.09.10, 22:11
zttl zttl ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?

http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics

Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!
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  #4  
Alt 13.09.10, 23:28
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richy richy ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Zitat:
Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
Defenitiv NEIN !
Ich weiss inzwischen, dass meine Monologe hier nur wenige verstehen. Weil hier keine Mathematiker unterwegs sind.
Daher poste ich mathematische Beitraege in der Plauderecke.
Zitat:
Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!
Fuer lineare DZGL's wird die Z Transformation angewendet
Mit nichtlineaeren DZGL's beschaeftigen sich nur wenige Mathematiker.
Verfiziere einfach meine Aussage :

Die DZGL :

z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m

hat die allgemeine Loesung :


Ich vermisse im Forum hier tatsaechlich einen mathematischen Spezialisten wie Ralf Kannenberg :-(

Ge?ndert von richy (22.10.10 um 23:50 Uhr)
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  #5  
Alt 13.09.10, 23:29
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richy richy ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

"Schnelltest" der Loesung ueber den Ausdruck z[t+1]*z[t]

z[t] ist eine Exponentialfunktion und daher fuehrt das Produkt z[t+1]*z[t] zu einer neuen Exponentialfunktion die die Summe der Exponenten von z[t+1] und z[t] enthaelt.
Der gemeinsame Nenner des Exponenten ist m^2+2*m+1

Betrachten wir zunaechst den Ausdruck (-m)^k des Zaehlers
Dieser ergibt in der Summe :
(-m)^k + (-m)^(k+1) = (-m)^k*(1-m)
Fuer m=1 werden diese Terme kompensiert. Daher erhielten wir die einfache Verifikation der DZGL y[k+1]=exp(t)/y[k]
y[k+1]/y[k]=exp(t)
Fuer m<>1 trifft diese Kompensation leider nicht mehr zu.

Die (-m)^k Teme bilden fuer m<>1 alternierende Faktoren :
(-m)^k*(1-m)
Trennen wir die Summanden dennoch nach ihrem (-m)^k Charakter.
Nach (-m)^k und den restlichen Summanden.
Die nicht (-m)^k Klasse im Zaehler besteht aus folgende Summanden :

a*t*m
a*t
-a

Diese Klasse K1 erzeugt im Zaehler von z[t+1]*z[t] folgenden Ausdruck :
K1=
a*t*m + a*(t+1)*m +
a*t + a*(t+1) +
-a -a

K1=
a*(2*t*m+m+2*t-1)

Die Klasse K2 wird in der Summe durch den alternierenden Faktor (-m)^k*(1-m) bestimmt. Sie ist fuer m<>1 schwieriger im Handling.
Fassen wir die Nenner Faktoren in der Loesung zusammen :

K2:

y(0)*m^2 +
2*y(0)*m +
a +
y0 + .....

dieser Stelle breche ich mal ab ...

Ge?ndert von richy (15.04.11 um 16:37 Uhr)
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  #6  
Alt 13.09.10, 23:30
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richy richy ist offline
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zttl hat mich leider aus meinem Konzept gebracht.
Ich kann es mir auch einfach machen
Die von mir angegebene Loesung der RAM DZGL ist korrekt.
Die DZGL

z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m

hat die allgemeine Loesung :


BASTA !!!

Ge?ndert von richy (23.09.10 um 02:59 Uhr)
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  #7  
Alt 14.09.10, 00:01
zttl zttl ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Ich frage dich ob dir deine Monologe nicht allmählich zu doof werden, gebe dir sogar noch einen Link für das deutschsprachige Mathematik Usenet an das du dich wenden könntest...

...und stattdessen regst du dich auf.

Ich werde deine Kreise nicht stören. Vergnüg dich schön mit deinen Monologen!
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  #8  
Alt 14.09.10, 01:47
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richy richy ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Zitat:
Ich werde deine Kreise nicht stören.
Das hast du bereits getan.
Natuerlich darfst du gerne anhand der bisherigen doch recht einfachen Vorgehensweise auch Fragen stellen.
Welche Fragen stellen sich fuer dich ?

Ge?ndert von richy (22.10.10 um 23:56 Uhr)
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  #9  
Alt 14.09.10, 02:49
zttl zttl ist offline
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Beitr?ge: 88
Standard AW: DGL versus DZGL

Zitat:
Zitat von richy
Du kleines A-rschloch. Das ist dir bestens gelungen.
Du hast deinen Text zu spät redigiert. Deswegen bist du u.a. auch aus dem AC rausgeflogen, weil du deine Kommentare mehrfach und sinnentstellend geändert hast.

Ich wollte dich wirklich nicht mehr stören, aber solche Nettigkeiten verdienen allemal eine gebührende Erwiderung!

Mein Hinterteil fühlt sich einigermaßen geehrt und richtet dir einen Gruß aus:

Ciao, piccolo stranzo

Zitat:
Natuerlich darfst du gerne anhand der bisherigen doch recht einfachen Vorgehensweise auch Fragen stellen.
Welche Fragen stellen sich fuer dich ?
Das ist widerliche A-rschkriecherei
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  #10  
Alt 14.09.10, 03:58
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richy richy ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Ich wollte meinen letzten Beitrag eigentlich noch um die persoenlichen Belange bereinigen. Du hast mich mit deinem Beitrag persoenlich angegriffen und daher habe ich zunaechst persoenlich reagiert.
Ich war bis 2001 in einem mathemathischen Forum unterwegs. chaostheorie.de. Kein hohes Niveau. Das Forum wurde von Spam Robots zerbroeselt. Ich muss wohl keine Rechenschaft darueber ablegen warum ich schliesslich bei quanten.de also in einem physikalschen Forum gelandet bin.
Aufgrund einer einfachen Frage meinerseits : Ist die Zeit quantisiert ?
Ich habe sehr viel von den Physikern hier gelernt. Auch viele Menschen hier schaetzen gelernt.
Aber vielleicht sollte ich mir deinen Rat zu Herzen nehmen. Das Forum hier verlassen und meine Ideen in einem Mathematik Forum vorstellen.
Da gibt es jedoch ein Problem. Ich bin kein Mathematiker. Ich wende nur Ingenieursmathematik an.
Ok, ich muss darueber nachdenken.
Letzendlich kann ich einfach die Ergebnisse auch auf meiner Webseite vorstellen.
Das ist allerdings ein wenig mehr muehsam als die Gedanken in ein Forum zu schreiben.
Und in einem Forum hat man auch einen groesseren Antrieb.
Auch darueber sollte ich nachdenken.

Ge?ndert von richy (22.10.10 um 23:51 Uhr)
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