SCR's "Standardmodell"

[SCR]

Hallo eigenvector,
irgendwo sehe ich da jetzt nicht ganz den Widerspruch:

Zitat von eigenvector

Dass man die vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die die Raumzeit beschreibt, i.A. nicht als Produkt aus einer eindimensionalen und einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit darstellen kann.

Mit "i.A." meinst Du wahrscheinlich mathematisch betrachtet - Kein Widerspruch meinerseits.
Aber wir sind hier in der Physik - Wir beschäftigen uns mit Dingen, die wir anfassen können (Also auch nicht immer - Aber das ist ein anderes Thema).
Und da dient die Mathematik als Hilfsmittel. Als ein exzellentes und unabdingbares Hilfsmittel - Trotzdem nur als Hilfsmittel.
"Im Allgemeinen" gibt's es zwischen den Dimensionen einer Mannigfaltigkeit keine Abhängigkeiten. Oder?
Bei der Raumzeit zumindest schon: c.
Und deshalb kann man z.B. als Produkt schreiben: c=Raum/Zeit, Zeit=Raum/c, ...

Zitat von eigenvector

Zum Beispiel darüber, dass für den metrischen Tensor i.A. gilt, dass die 4,4-Komponente (angenommen, dass x⁴=ct) sich in Abhängigkeit der räumlichen Koordinaten ändert.

Also Abhängigkeiten zwischen den Dimensionen - Und zwar von dreien auf der einen und einer auf der anderen Seite. Ersichtlich am Vorzeichen. Oder?
Um irgendetwas näher zu analysieren betrachtet man üblicherweise (egal in welchem Themengebiet) entsprechende Extrema - Hier z.B. bietet sich ein Photon an.
Für dieses ist der Raum definiert aber nicht die Zeit.
Kannst Du mir im Sinne des anderen Extrems etwas nennen, für das die Dimension Zeit definiert aber nicht der Raum?
Also ich kenne da nichts. ->
Die Dimension Raum ist folglich als die übergeordnete Dimension anzunehmen (da immer definiert), die Zeit als die abhängige Dimension (da nicht immer definiert).

Und Du hast diese Aussage im Endeffekt oben auch stehen - eben nur allgemeiner formuliert (und dadurch mußt Du auch noch nicht zwingend zum gleichen Detail-Ergebnis kommen wie ich).
Egal wie: Genau eine solche Abhängigkeit zwischen Raum und Zeit meinte Minkowski - Und nichts anderes.

Nebenbei: Man hat immer Eigenzeiten (ja: Ich meine konkret die Eigenzeiten. Das ist schließlich das einzige, was Du zeitlich messen kannst) -
Hast Du da als Pendant schon einmal etwas von Eigenräumen gehört?
Also ich nicht
-> Die Raumdimensionen gelten global, die Zeitdimension hat jeder individuell "in der Tasche".

Wie siehst Du das?

P.S.: Sicher - Ich bin kein "Main-Stream". Ich stelle logische Überlegungen auf Basis des Standardmodells an und da kommt eben sowas bei raus.

[eigenvector]

Zitat von SCR

Hallo eigenvector,
irgendwo sehe ich da jetzt nicht ganz den Widerspruch:

Mit "i.A." meinst Du wahrscheinlich mathematisch betrachtet - Kein Widerspruch meinerseits.
Aber wir sind hier in der Physik

Nein, meine ich nicht.
Es gibt spezielle Fälle, in denen die Zeit unabhängig ist vom Raum. Ein Beispiel: Die Minkowski-Raumzeit. Den dabei beschriebenen Raum kann ich problemlos als Produkt zweier Mannigfaltigkeiten auffassen, die einzelnen Dimensionen haben keine Abhängigkeit voneinander.
In anderen physikalischen Beispielen sieht das anders aus (Schwarzschild-Metrik?).
Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob du verstanden hast, was ich damit meine, dass eine Mannigfaltigkeit als Produkt zweier Mannigfaltigkeiten aufgefasst werden kann.

Zitat von SCR

Um irgendetwas näher zu analysieren betrachtet man üblicherweise (egal in welchem Themengebiet) entsprechende Extrema - Hier z.B. bietet sich ein Photon an.
Für dieses ist der Raum definiert aber nicht die Zeit.

Was nicht definiert ist die Eigenzeit, dass das was anderes ist, hatte ich ja bereits erwähnt.

Zitat von SCR

Kannst Du mir im Sinne des anderen Extrems etwas nennen, für das die Dimension Zeit definiert aber nicht der Raum?

Dazu müsste man ja erst mal ein raumartiges Analogon zur Eigenzeit definieren. So etwas ist mir nicht bekannt, ich wüsste auch nicht, was man damit anfangen sollte.

[JoAx]

Zitat von eigenvector

Dazu müsste man ja erst mal ein raumartiges Analogon zur Eigenzeit definieren. So etwas ist mir nicht bekannt, ich wüsste auch nicht, was man damit anfangen sollte.

Wie wäre es mit Ruhelänge? Die gibt es doch in der SRT, oder irre ich mich da?

So hat ein Photon zwar eine Frequenz ~ Zeit, und Wellenlänge ~ Länge,
aber weder Eigenzeit noch Ruhelänge, würde ich jetzt mal meinen.

An dieser Stelle muss man vlt. wirklich vom Raum als 3D weg, hin zu - räumlicher Abstand als einzige Dimension. Etwa so:

s^2 = |r|^2 - (ct)^2

(?)
Dann verirrt man sich nicht darin, dass die räumlichen Richtungen untereinander unabhängig sind.
Genau so gut kann man auch Raum ... , nee, eben - Länge=c*Zeitmass - schreiben. Warum auch nicht?
Wählt man eine andere Notation, dann kann man auch so schreiben:

s^2 = (ct)^2 -|r|^2

Da kann man imho spielen, wie einem lüschtig ist.

Zitat von eigenvector

Den dabei beschriebenen Raum kann ich problemlos als Produkt zweier Mannigfaltigkeiten auffassen, die einzelnen Dimensionen haben keine Abhängigkeit voneinander.

Das habe ich jetzt nicht verstanden. Geben wir spasseshalber c einen anderen Wert, z.B. c=300m/s, dann hat es dirkte Folge auf den Winkel zwischen Lichtwegen und den Zeit-/Raumachsen im Minkowski-Diagramm, vorausgesetzt, wir ändern die Zeit- und Raummasstäbe an den Achsen nicht.


Gruss, Johann

[SCR]

Morgen zusammen,

ich hätte (wer hätt's gedacht ;-)) auch noch "Anmerkungen" - Ich würde aber vorschlagen zunächst auf JoAxs Punkte näher einzugehen ("First in / First out"):
Sie spiegeln ohnehin auch meine Einschätzungen wider.

[SCR]

Zitat von SCR

Das interessiert mich: Wie waren/sind Deine Gedankengänge diesbezüglich und vor welchem Hintergrund?

Die Pseudo-Euklidik der Minkowski-Metrik

Unterschiedliche Vorzeichen im metrischen Tensor unterscheiden eine Euklidik von einer Pseudo-Euklidik.

Eine analoge Darstellung eines vierdimensionalen Gebildes mit Hilfe räumlicher, also dreidimensionaler Modelle wäre zwar denkbar, aber die Rekonstruktion des vierdimensionalen Gebildes in unserer Vorstellung würde scheitern, weil wir uns eine vierte Dimension nicht vorstellen können.

Nun ja - Nichtsdestotrotz ist in meinen Augen zumindest der Rest sehr gut:

Doch selbst wenn wir uns mit der Darstellung von nur zwei Dimensionen (X und W) begnügen, gibt es eine weitere grundsätzliche Schwierigkeit:
Die XW-Ebene, die wir abbilden wollen, hat eine bestimmte pseudoeuklidische Metrik, während jede Ebene unseres Erfahrungsraumes, die wir zur Abbildung benutzen könnten, euklidisch ist. Daher wird auch jedes geometrische Gebilde, das wir in irgendeiner uns verfügbaren Ebene darstellen, diese euklidische Metrik besitzen und widerspiegeln. So wird zum Beispiel in einer euklidischen Ebene die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180° sein, und in einem rechtwinkligen Dreieck wird immer diejenige Seite die größte sein, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. In einer pseudoeuklidischen Ebene aber kann diese Seite sehr wohl die kleinste sein.

z.B. der Satz von Thales "euklidisch vs. pseudoeuklidisch": http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/Ma...Cal/GeoCalE7x1 (IMHO schöne Applets)

Wie also sollten wir auf unserem »euklidischen« Zeichenpapier jemals Figuren oder Koordinatensysteme darstellen können, deren Eigenschaften einer pseudoeuklidischen Metrik entsprechen? Die Sache scheint zunächst aussichtslos zu sein. Jedoch zeigt sich bei genauem Hinsehen, dass die Lorentz-Transformationen eine gewisse formale Ähnlichkeit mit den Transformationsformeln der Analytischen Geometrie für den Übergang von einem rechtwinkligen zu einem schiefwinkligen Koordinatensystem in einer euklidischen Ebene haben. Diese Ähnlichkeit der Gleichungen kann man dadurch zu einer Identität machen, dass die Einheitsstrecken auf den Achsen des schiefwinkligen Systems in einem ganz bestimmten, von der Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme abhängigen Verhältnis verlängert werden. Dann werden bei der Abbildung alle im System S' gelegenen Strecken entsprechend verlängert. Unter dieser Bedingung kann dann ein in einer pseudoeuklidischen Ebene gelegenes, um den Winkel a gedrehtes rechtwinkliges Koordinatensystem in einer euklidischen Ebene durch ein schiefwinkliges Koordinatensystem dargestellt werden.

siehe z.B. auch http://homepage.univie.ac.at/Franz.E...keitsaddition/

Die Minkowski-Metrik ist ein Modell - ein sehr gutes, es bleibt aber dennoch nur ein Modell:

Man sollte sich beim Umgang mit diesen Darstellungen auch immer bewusst bleiben, dass es sich hier um einen Behelf handelt, um einen Trick, der zwar nützlich ist, unserer Vorstellungskraft, die auf die euklidische Metrik fixiert und begrenzt ist, physikalische Vorgänge in einem pseudoeuklidischen Raum plausibel zu machen, wenn auch um den Preis starker Verzerrungen.

Quelle: http://de.wikibooks.org/wiki/Speziel...eorie:_Teil_IV

Der Vorzeichen-Unterschied in der Grunstruktur der Metrik zeigt (zunächst einmal) die Abhängigkeit zwischen Raum und Zeit im Sinne Minkowskis - Und das eben im Sinne eines "Entweder-Oder" (IMHO). Und dazu kommen dann (zumindest) noch die oben angesprochenen "Verzerrungen".

P.S.:

Zitat von JoAx

An dieser Stelle muss man vlt. wirklich vom Raum als 3D weg, hin zu - räumlicher Abstand als einzige Dimension. [...] Genau so gut kann man auch Raum ... , nee, eben - Länge=c*Zeitmass - schreiben.

Ja, genau: Räumlicher und zeitlicher Abstand - Das sind eigentlich unsere betrachtungsrelevanten Dimensionen -> Klasse präzisiert / "in physikalische Worte" gefasst, JoAx.

[Hawkwind]

Zitat von eigenvector

Was nicht definiert ist die Eigenzeit, dass das was anderes ist, hatte ich ja bereits erwähnt.

Dazu müsste man ja erst mal ein raumartiges Analogon zur Eigenzeit definieren. So etwas ist mir nicht bekannt, ich wüsste auch nicht, was man damit anfangen sollte.

Gibt es doch schon: es geht doch wieder einmal um den invarianten Minkowskabstand. Wenn dieser zeitartig ist, dann nennt man ihn halt auch "Eigenzeit". Wenn er raumartig ist, dann definiert er den räumlichen Abstand 2er Ereignisse in dem System, in dem sie gleichzeitig sind - für materielle Objekte auch gerne "Ruhelänge" genannt.

[Bauhof]

Zitat von eigenvector

Dazu müsste man ja erst mal ein raumartiges Analogon zur Eigenzeit definieren. So etwas ist mir nicht bekannt, ich wüsste auch nicht, was man damit anfangen sollte.

Hallo Eigenvektor,

eine gute Veranschaulichung der Ruhelänge liefert das Raum-Zeit-Diagramm von Franz Embacher, siehe angehängte Grafik. Die "Eigenlänge" entspricht der Ruhelänge, so wie es Hawkwind bereits geschildert hatte. Die Eigenlänge (oder Ruhelänge) ist ein raumartiges Analogon zur Eigenzeit.

Die näheren Erläuterungen dazu findest du hier:
http://homepage.univie.ac.at/Franz.E...metrie.html#ra

M.f.G. Eugen Bauhof

[SCR]

Hi JoAx,

Zitat von SCR

Bestimmt! Vielleicht male ich Dir noch eins: Das wird aber dann vermutlich ein Minkowski-Diagramm, wie Du es noch nie gesehen hast. Da werden Dir die Tränen kommen. -> Willst Du das wirklich?

Dann sehen wir uns doch einmal tatsächlich eines der seltenen Minkowski-Diagramme von SCR an :

Die Interpretation des Minkowski-Diagramms

Das klassische Minkowski-Diagramm zeigt sich wie folgt:



Die blaue Linie stellt den Weg eines Photons aus Sicht eines Beobachters dar: Das Photon legt nur räumliche und keine zeitlichen Abstände zurück.
Die organgene Linie stellt den Weg eines Objekts, welches mit v=0,5c unterwegs ist, aus Sicht dessselben Beobachters dar:
Das Objekt legt genausoviele räumliche wie auch zeitliche Abstände zurück.


Würden wir das real vorliegende exponentielle Raumwachstum berücksichtigen wollen würde sich in der Minkowski-Darstellung eigentlich folgendes Bild ergeben:



Die "Originalwege" aus obigen Minkowski-Diagramm wurden in gestrichelter Form übernommen.
In den Phasen des Raumwachstums erfolgt eine instantane Abstandsänderung zwischen Beobachter und Photon bzw. Objekt: Die damit insgesamt festzustellenden realen Flugbahnen sind durch die durchgezogenen Linien dargestellt.
Es ergeben sich gemittelt Hyperbeln als reale Flugbahnen durch die Raumzeit (gepunktete Linien) -> Die Raumzeit ist hyperbolisch.

Dies ist (berechtigterweise) nicht die klassische Minkowski-Darstellung - Denn sie würde eigentlich eine exponentiell zunehmende Lichtgeschwindigkeit implizieren.
c bildet jedoch weiterhin die Naturkonstante hinsichtlich der "Wahlfreiheit" jedes Teilchens, (je Newton-Klick) entweder einen räumlichen oder einen zeitlichen Abstand zurückzulegen -> Die Eingangsgrößen (= zeitl. bzw. räumlicher Abstand) haben sich anzupassen.

Damit stellt c weiterhin (besser gesagt: immer) die Winkelhalbierende im Minkowski-Diagramm dar.
Geometrisch lässt sich aus obiger Darstellung leicht nachvollziehen, dass ein exponentieller Faktor benötigt wird, um die eigentlich hyperbolischen Flugbahnen "gerade zu ziehen": Dies bewerkstelligt der Lorentzfaktor.

Bzw. direkt auf die Dimensionen bezogen: Es ist für die grün unterlegten Bereichen entweder eine entsprechende Längenkontraktion (= Horizontale Stauchung) oder eine Zeitdilatation (= vertikale Streckung) erforderlich (@richy: Darauf wollte ich eigentlich mit dieser Fragestellung hinaus http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1730).

Diese Stauchungen/Streckungen können allerdings nicht die eigentlich mit den hyperbolischen Flugbahnen einhergehenden Drehungen "beseitigen" -> Es treten bei entsprechenden Lorentz-Transformationen "Pseudo-"Rotationen auf. Die Bezeichnung ist IMHO etwas irreführend: Es handelt sich um "echte" Drehungen.

BTW im zweiten Bild:
Die Differenzfläche der gestrichelten "Original-Flugbahnen" zu den durchgezogenen "Real-Flugbahnen" (bzw. den Hyperbeln) entspricht dem mit der Raumexpansion jeweils einhergehenden Energieverlust.

<Wie gehabt frei zum Verriss>

P.S.:

Zitat von Einstein

Statt √g wird im folgenden die Größe √-g eingeführt, welche wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kontinuums stets einen reelen Wert hat.

Das schreibt er in der ART. Nur als Nebensatz - ohne jede weitere Erläuterung. Ich habe da einen ganz leise Verdacht.
Dann wäre er entweder ein ausgemachter Halunke oder ein absolutes Genie - Je nach Sichtweise (Ich unterstelle er war beides).

[SCR]

Wer mir evtl. ansatzweise folgen konnte (?) sollte eigentlich ein Problem mit "Bild 2" haben - Denn "korrekt(er)" müsste es eigentlich so aussehen:



Problem: Diese komplexe Visualisierung hätte auf Anhieb vermutlich gar niemand verstanden.

Der Unterschied konkret:
Das Raumwachstum müsste sich ja aus der Beobachtersicht immer "gleichzeitig" auf alle beobachteten Objekte auswirken -> Für eine qualitative Darstellung müssen die "Wachstumsschübe" (Falls es überhaupt solche sind und nicht eher ein kontinuierliches Wachstum vorliegt - ich persönlich gehe sogar von letzterem aus) "zum gleichen Zeitpunkt ct" erfolgen.
Auf zu diesem Zeitpunkt räumlich nähere Objekte wirkt sich dann die Raumexpansion geringer aus als auf vom Beobachter weiter entfernte Objekte -> "Zunehmend stärkere Horizontalverschiebung mit zunehmendem räumlichen Abstand zum gleichen Zeitpunkt ct".
Und das aber in allen Fällen dann immer exponentiell -> "Zunehmend stärkere Horizontalverschiebung mit zunehmendem ct."

-> "Bild 2" von oben ist falsch, "Bild 3" hier unten gibt die Aspekte (in qualitativer Hinsicht) besser wieder.
"Bild 3" entspricht trotzdem nicht der Realität da wie gesagt c=const -> c als Winkelhalbierende / "Lorentzfaktor erforderlich".

Kernaussage zusammengefasst: Die exponentielle Raumexpansion bedingt den Lorentzfaktor und stellt so die Konstanz von c in der SRT sicher.

[Marco Polo]

Zitat von SCR

Das klassische Minkowski-Diagramm zeigt sich wie folgt:



Die blaue Linie stellt den Weg eines Photons aus Sicht eines Beobachters dar: Das Photon legt nur räumliche und keine zeitlichen Abstände zurück.
Die organgene Linie stellt den Weg eines Objekts, welches mit v=0,5c unterwegs ist, aus Sicht dessselben Beobachters dar:
Das Objekt legt genausoviele räumliche wie auch zeitliche Abstände zurück.

Au Backe SCR. Das kommt nun aber gar nicht hin.

Zunächst zu deinem Photon:

Beim Photon sprechen wir von einer sogenannten lichtartigen Weltlinie. 2 Ereignisse auf dieser Weltlinie nennt man lichtartig getrennt.

Sowohl der räumliche als auch der zeitliche Abstand zweier Ereignisse auf dieser Weltlinie sind gleich groß und das unabhängig vom Bezugssystem. Deswegen ist c ja auch bezugssysteminvariant.

Zu sagen, dass ein Photon oder eine elmag Welle aus Sicht eines Beobachters keine zeitlichen Abstände zurücklegt ist also falsch.

Nun zu deinem Objekt mit v=0,5c:

Auch hier liegst du falsch. Warum sollte dieses genauso viele räumliche wie zeitliche Abstände aus Sicht eines Beobachter zurücklegen? Das gilt nur für Licht. Bei deinem Objekt mit 0,5c ist selbstverständlich die zeitliche Entfernung zwischen 2 Ereignissen auf dieser Weltlinie grösser als ihre räumliche. Das gilt übrigens für alle Inertialsysteme. 2 Ereignisse auf dieser Weltlinie nennt man zeitartig getrennt.

Mein gutgemeinter und zudem kostenloser Rat:

Bevor du weiter bizarre Minkowski-Diagramme mit Raumexpansion hier einstellst, empfehle ich dir dringend noch mal über die Bücher zu gehen um die Grundlagen von Minkowski-Diagrammen kennenzulernen.