Unendlicher Raum = Unendliche Größen bzw. Unendlichkeit in "beide" Richtungen?

[Geku]

Zitat von TomS

Anders ist das für gewisse nicht-kompakte Topologien mit k = -1 und -1/a² < 0. In Spezialfällen darf man sich im Grenzfall t → ∞ und a(t) → ∞ tatsächlich vorstellen, dass der hyperbolische Raum negativer Krümmung -1/a² → 0 in diesem Grenzfall in den euklidschen Raum übergeht.

Gilt das nicht auch für k=+1 ?

Dann wird bei unendlich großem Radius die Kugelobefläche euklidisch. Nur von der anderen Seite her. Die Krümmung ist dann in beiden Fälle null.

[Geku]

Zitat von TomS

Nein. Was ist denn der Radius eines unendlichen Universums?

Ich bin von einem endlichen Universum ausgegangen. Vor dem Urknall gab es keine Raumzeit. Der Radius des Universum war 0 und die Krümmung daher unendlich.

Was macht dich so sicher, daß das Universum unendlich groß ist und warum sollte sich ein unendlich großes Universum noch ausdehnen.

Beim Modell der flachen Gummihaut fehlt mir noch die Dimension der Zeit. Wo steckt die Krümmung, die Einstein in der ART erkannt hat. Diese Krümmung wird durch die Anwesenheit von Energie und Materie erklärt, die ihrerseits wiederum die Gravitation (gegeseitige beschleunigte Bewegung zueinander) erklärt.

Das Luftballonmodell erklärt uns den Urknall (alle Luft = Raumzeit draußen), was den Raum (unsere Gegenwart) begrenzt. Die Vergangenheit auf der Innenseite und die Zukunft auf der Außenseite der Ballonhaut sind die Begrenzungen, die von uns nicht zu überschreiten sind (wir bewegen uns mit der Gummihaut mit). Die Zeitachse steht orthogonal auf unseren Raumachsen und bilden gemeinsam die Raumzeit.

Nur Photonen sind wegen ihrer fehlenden Masse nicht an die "Gummihaut" gebunden und verlassen diese tangential (senkrecht zur Zeitachse) und daher bleibt für diese die Zeit stehen. Während der laufend ausdehnenden "Ballonhülle" werden immer weitere Gebiete ringförmig von der Wellenfront gequert. Der Schnittwinkel bestimmt die Rotverschiebung.

[Bernhard]

Zitat von Geku

Gilt das nicht auch für k=+1 ?

Dann wird bei unendlich großem Radius die Kugelobefläche euklidisch.

AFAIK ergibt sich bei den Friedmann-Modellen mit k=1 immer eine zyklische Zeitentwicklung. Der Radius oszilliert zwischen R=0 und R=R_max.

Insofern stellt sich diese Frage in der Kosmologie erst gar nicht und mathematisch gesehen geht wegen R -> infty der Parameter k auch nicht gegen Null.

[TomS]

Zitat von Geku

Gilt das nicht auch für k=+1 ?

Dann wird bei unendlich großem Radius die Kugeloberfläche euklidisch. Nur von der anderen Seite her. Die Krümmung ist dann in beiden Fälle null.

Auch wenn die Kugeloberfläche in diesem Grenzfall geometrisch euklidisch wird, wird sie nicht topologisch identisch zu einer flachen Ebene.

Um das zu verstehen, benötigt man die Topologie, in diesem Fall insbs. die sogenannten Homotopiegruppen, speziell die zweite Homotopiegruppe π₂ (da es um 2-dim. Flächen geht).

Wir zeigen im Folgenden, dass

π₂(S²) ≠ π₂(R²)

Wir betrachten zunächst die unendlich ausgedehnte euklidische Ebene R², z.B. aus sehr dünnem Hartgummi. Auf diese werfen wir eine unendlich ausgedehnte kugelflächenförmige Gummihaut, z.B. eine flexible Luftballonhaut, aus der wir jedoch zuvor die Luft rauslassen, so dass sie zunächst überall auf der Ebene aufliegt (an jedem Punkt natürlich zweimal). Nun schrumpfen wir die Gummihaut, z.B. durch Erwärmen wie bei einem Schrumpfgummi. Wir können die Gummihaut bis zu einem unendlich kleinen Gummiknäuel schrumpfen, sie wird sich dabei auf der euklidische Ebene R² zusammenziehen.

Nun betrachten wir eine beliebig große Kugelschale S², wieder aus sehr dünnem Hartgummi. Auch auf diese werfen wir die unendlich ausgedehnte kugelflächenförmige Gummihaut - Luft herausgelassen - so dass sie überall aufliegt, und schrumpfen sie durch Erwärmen. Wieder können wir die Gummihaut bis zu einem unendlich kleinen Gummiknäuel schrumpfen, sie wird sich auf der Kugelschale S² zusammenziehen.

Nun gehen wir anders vor, d.h. wir schneiden in die Gummihaut ein winziges Loch, stülpen sie über die Kugelschale aus Hartgummi, ziehen sie straff und verkleben das winzige Loch wieder; d.h. wir haben nun eine kugelflächenförmige Gummihaut einmal über die Kugelschale gezogen. Jetzt können wir die Gummihaut nicht mehr zu einem kleinen Knäuel zusammenschrumpfen.

Vorher hatten wir die kugelflächenförmige Gummihaut nur auf die Kugelschale geworfen und konnten sie zusammenziehen, d.h. sie war null mal über die Kugelschale gezogen.

Stell dir nun vor, wie du einen Gummiring verdrehst und zum Beispiel über eine Papierrolle wie ein Poster oder eine Rolle Geschenkpapier ziehst, um sie zusammenzuhalten; insbs. kannst du den Gummiring auch mehrfach verdrehen. Genauso kannst du auch (mathematisch) die kugelflächenförmige Gummihaut mehrfach, d.h. n mal über die Kugelschale stülpen; und du kannst unterscheiden, wie rum du sie verdrehst, rechts- oder linksherum, d.h. n = 0, ±1, ±2 ... (versuche nicht, dir das wirklich vorzustellen).

Während du also bei einer unendlich ausgedehnten Ebene R² die Gummihaut exakt null mal über die Ebene stülpen kannst und sie immer zusammenziehbar ist, d.h. π₂(R²) = 0, kannst du die Gummihaut n ∈ Z mal über die Kugelschale aus Hartgummi stülpen, d.h. π₂(S²) = Z = {0, ±1, ±2 ...}.

Egal, wie du die Gummihaut über die Kugelschale aus Hartgummi gestülpt hast, außer für n = 0 kannst du sie nicht zusammenziehen. Wenn du nun die Kugelschale aus Hartgummi auch noch beliebig aufblasen könntest, diese Zahl n bleibt immer gleich; egal wir groß die Kugelschale wird, außer für n = 0 kannst du die Gummihaut nie zusammenschrumpfen.

Diese Eigenschaft ist eine topologische Invariante, d.h. sie bleibt immer erhalten, egal wie du Ebene oder Kugelschale verformst.

Und damit bleibt auch eine unendlich große Kugelschale eine Kugeschale und wird nicht zu einer Ebene;

π₂(S²) = 0 ≠ π₂(R²) = Z

[TomS]

Zitat von Bernhard

AFAIK ergibt sich bei den Friedmann-Modellen mit k=1 immer eine zyklische Zeitentwicklung. Der Radius oszilliert zwischen R=0 und R=R_max.

Das muss mathematisch nicht so sein.

Stell dir einfach ein S³ Universum mit k = +1 vor, in dem es phasenweise eine exponentielle Expansion gibt, z.B. durch Einsetzen der Inflation oder eine kosmologische Konstante.

Dass der Radius oszilliert und das Universum nicht ewig bzw. mit unbegrenztem Skalenfaktor expandiert, ist eine spezielle Eigenschaft der Dynamik und der enthaltenen Materie und folgt nicht aus der Geometrie.

[TomS]

Zitat von Geku

Was macht dich so sicher, daß das Universum unendlich groß ist und warum sollte sich ein unendlich großes Universum noch ausdehnen.

Man muss beides - endlich und unendlich - betrachten. Insbs. können wir durch Beobachtung eines endlichen Teils des Universums nie sicher zwischen beiden Möglichkeiten unterscheiden.

Zitat von Geku

Beim Modell der flachen Gummihaut fehlt mir noch die Dimension der Zeit.

Nö. Du betrachtest einfach die Gummihaut zu zwei verschiedenen Zeiten

Zitat von Geku

Wo steckt die Krümmung, die Einstein in der ART erkannt hat.

Wir sprechen hier von der mittleren Krümmung im Großen; diese ist eben durch k/a² gegeben (im Kleinen hast du lokale Dichtefluktuation wie Galaxien und dabei lokal selbstverständlich eine Krümmung)

Zitat von Geku

Das Luftballonmodell erklärt ... Die Vergangenheit auf der Innenseite und die Zukunft auf der Außenseite der Ballonhaut sind die Begrenzungen, die von uns nicht zu überschreiten sind (wir bewegen uns mit der Gummihaut mit). Die Zeitachse steht orthogonal auf unseren Raumachsen und bilden gemeinsam die Raumzeit.

Das ist irreführend, wie du hier merkst.

Du musst dir die Zeit nicht als orthogonale Richtung vorstellen.

[Bernhard]

Zitat von TomS

Das muss mathematisch nicht so sein.

Die Friedmann-Modelle, die hier wohl stillschweigend gemeint sind, setzen das kosmologische Prinzip voraus. Ich dachte, dass daraus für k=1 (dh genügend Materie) dann schon ein oszillierendes Universum (Inflationsphase inbegriffen) folgt.

[TomS]

Zitat von Bernhard

Die Friedmann-Modelle, die hier wohl stillschweigend gemeint sind, setzen das kosmologische Prinzip voraus. Ich dachte, dass daraus für k=1 (dh genügend Materie) dann schon ein oszillierendes Universum (Inflationsphase inbegriffen) folgt.

Ich sehe nicht, wie das ohne weitere Annahme folgen kann.

2.4.2 in https://arxiv.org/pdf/1803.00070.pdf

[Bernhard]

Zitat von TomS

2.4.2 in https://arxiv.org/pdf/1803.00070.pdf

Interessant. Man findet auf Seite 33 unten aber auch:

The de Sitter universe [de Sitter, 1917], [de Sitter, 1918c], [de Sitter, 1918b], [de Sitter, 1918a] is eternal with no Big-Bang (i.e. when a = 0) for K = 1. Here we have rather a bounce at the minimum value a0 for the scale factor.

Müsste man sich mal genauer ansehen.

Laut Link kann man als Gegenbeispiel auch das statische Einstein-Universum nehmen.

[TomS]

das bedeutet, dass man t bis minus unendlich fortsetzen kann; der cosh() ist ja symmetrisch in t.