Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum - Seite 9

zeitgenosse · #81 25.03.10, 21:18

Zitat:

Zitat von SCR

Frage zum Fundamentaltensor im Minkowskiraum: ---+ oder +++-
- Wo liegt denn da der Unterschied?

Es ist dies nur eine Frage der Konvention an, ob ich für den metrischen Tensor diese oder jene Signatur verwende.

Dabei handelt es sich um die Diagonalelemente, in der SRT meist {1, -1, -1, -1}:

In der ART auch {-1, 1, 1, 1}:

Die Signatur (Überschuss an positivem oder negativem Vorzeichen bei der Summenbildung der Diagonalelemente) ist dann entweder -2 oder +2.

Gr. zg

zeitgenosse · #82 25.03.10, 21:57

Zitat:

Zitat von zeitgenosse

Wie man's nimmt...

In der englischsprachigen Wiki ist erheblich mehr Information zum Thema vorhanden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox

Auch Kaluza's "hyperbolic plane" kommt zum Zuge.

Wie ging es danach weiter?

Zitat:

Offenbar dachten jetzt viele, dass man das Ehrenfest-Paradoxon genügend diskutiert habe und kümmerten sich nicht mehr darum. Nur Henri Bequerel, der Entdecker der Radioaktivität, schoss noch einmal dazwischen und argumentierte, Ehrenfest habe Recht, nicht aber Einstein. Danach wurde das Ehrenfest-Paradoxon, ohnehin eines der schwarzen Schafe in einer sich rechtschaffen dünkenden Familie, endgültig als Teilgebiet der Mathematik ausgelagert. Paul Ehrenfest und sein Paradoxon, das die Studenten ja nur verwirrt hätte, verschwand aus den seriösen Lehrbüchern der Physik.

Gut, ein einfaches Thema ist es nicht gerade. Sollen sich doch die Mathematiker die Köpfe heiss machen.

Gr. zg

zeitgenosse · #83 25.03.10, 22:10

Zitat:

Zitat von Jogi

Ich dachte da bspw. an Kohlefaser.

Anisotrope Carbonfasern sowie KEVLAR® (Aramidfasern von Du Pont) als auch Verbundwerkstoffe sind in Betracht zu ziehen.

Es ist zudem immer eine Frage der Kosten.

Gr. zg

SCR · #84 25.03.10, 22:19

Hallo zg,

Raum und Zeit sind also immer "invers" ... Hmm

Und es ist korrekt +--- / -+++ und nicht wie von mir geschrieben +++- / ---+ ... Sonst würden die Vorzeichen am Ende nicht stimmen (?) ...

Hat diese "Wahlmöglichkeit der Signatur" in irgendeiner Art und Weise hiermit zu tun?

(Obwohl ich von diesem wiki-Artikel nicht viel verstanden habe)

zeitgenosse · #85 25.03.10, 23:19

Zitat:

Zitat von SCR

Hat diese "Wahlmöglichkeit der Signatur" in irgendeiner Art und Weise hiermit zu tun?

Mit dem Trägheitssatz von Sylvester? Ich glaube nicht.

Ich muss hier sowieso ersteinmal auf gewisse Literaturbezüge verweisen:

Bär, Elementare Differentialgeometrie (de Gruyter)

Klotzek, Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien (VHD)

Nur, damit wir uns richtig verstehen.

Im Vorbeitrag ging es ja um die Signatur der Raumzeit bzw. deren Metrik. Hat diese die Signatur 2, spricht man auch von einer Lorentz-Signatur.

Meist haben wir es in der Physik bekanntlich mit einer Zeit- und drei Raumkoordinaten zu tun:

ds² = c²(dt)² - (dr)²

Im Minkowski-Raum gilt für den (kontravarianten) Vierer-Ortsvektor:

In der älteren Literatur finden wir häufig folgende Notation in Minkowski-Koordinaten vor: {x, y, z, ict}. Mittels der imaginären Zeitkoordinate erreicht man eine formale Gleichstellung von Raum und Zeit. Man muss dabei aber aufpassen: Was sich im Minkowski-Raum bei einer Koordinatentransformation dreht, dreht sich nicht unbedingt auch im euklidischen Ortsraum. Das haben viele bis heute noch nicht richtig begriffen.

Zurück zum Kernthema:

Daraus folgt dann für den metrischen Tensor (= Minkowski-Tensor):

Wegen der vier Weltdimensionen schreibt sich dieser als 4x4-Matrix. Das ist gut zu begreifen. Und weil es sich um einen symmetrischen Tensor handelt, reduzieren sich die 16 Tensorelemente auf deren zehn unabhängige Komponenten. Auf der Hauptdiagonalen finden sich {1, -1, -1, -1}. Somit ist die Signatur {-2}.

Die Signatur wird folglich durch die Eigenwerte des Fundamentaltensors bestimmt. In einem euklidischen Raum hätten wir nur positive Eigenwerte zu verzeichnen. Deshalb bezeichnet man den Minkowski-Raum auch als "Raum mit pseudoeuklidischer Signatur".

Sehr gut beschrieben sind diese Zusammenhänge m.E. bei:

Schmutzer, Grundlagen der theoretischen Physik (4 Bnd, Wiley-VCH)

Wenn es dein Geldbeutel erlaubt. :-)

Gr. zg

Uli · #86 26.03.10, 06:18

Zitat:

Zitat von SCR

Hallo zg,

Raum und Zeit sind also immer "invers" ... Hmm

Und es ist korrekt +--- / -+++ und nicht wie von mir geschrieben +++- / ---+ ... Sonst würden die Vorzeichen am Ende nicht stimmen (?) ...

Hat diese "Wahlmöglichkeit der Signatur" in irgendeiner Art und Weise hiermit zu tun?

(Obwohl ich von diesem wiki-Artikel nicht viel verstanden habe)

Es hängt einfach davon ab, wie du deine Koordinaten numerierst:
wenn die Zeit n=0 und der Raum n=1,2,3 ist , dann ist

-1,+1,+1,+1 oder - je nach Konvention +1,-1,-1,-1

okay.

Vorwiegend in älteren Notationen hat man oft
Zeit: n=4 und Raum n=1,2,3

dann wäre
-1,-1,-1,+1 oder +1,+1,+1,-1 okay.

Die Zeit-Koordinate braucht halt ein anderes Vorzeichen als die Raumkoordinaten; dann ergibt sich automatisch die Minkowskimetrik.

Eine noch andere Möglichkeit ist es, die Zeit auf die imaginäre Achse zu legen t=ict' oder so; dann sorgt die imaginäre Einheit für die Minkowski-Metrik und das Skalarprodukt selbst sieht formal wie im Euklidischen aus.

Gruß,
Uli

SCR · #87 26.03.10, 08:44

Hi zg, Hi Uli,

Danke Euch erst einmal.

Zur Verbesserung/Absicherung meines Basisverständnisses:

Der metrische Tensor (= Fundamentaltensor, Metriktensor) in Einsteins Schreibweise:
gμν

Es ist ein Tensor zweiter Stufe (erkennbar an den Indizes)
- Index μ: Spalte der Matrix
- Index v: Zeile der Matrix

Es handelt sich um eine 4x4 Matrix -> Eigentlich 16 Einträge

Indizes stehen unten: Es handelt sich hierbei um einen kovarianten Tensor
kovariant: Basisvektoren/Achsen zweier Systeme stehen aufeinander senkrecht

Indizes stehen oben (bzw. würden oben stehen): kontravarianter Tensor
kontravariant: Basisvektoren/Achsen zweier Systeme sind zueinander parallel

Die zwei Systeme - Es handelt sich im Falle des Fundamentaltensors um die Raumzeit im Sinne einer geometrischen Mannigfaltigkeit sowie der dazu gehörende Tangentialraum (Frage: bezeichnet man den im Falle Kovarianz auch so?) - Der Tangentialraum kann sich außerhalb der Mannigfaltigkeit befinden / liegt in der Regel außerhalb.

Korrekt?

zeitgenosse · #88 26.03.10, 09:29

Zitat:

Zitat von SCR

Zur Verbesserung/Absicherung meines Basisverständnisses

Bei einem Tensor unterscheidet sich die kovariante Form (Indizes tiefstehend) von der kontravarianten (Indizes hochstehend) dadurch, dass die Transformationsmatrizen invertiert sind.

Zum tieferen Verständnis betrachten wir auf der Mannigfaltigkeit den Tangentenvektor an einem Punkt P. Die Tangentenvektoren im Punkt P bilden die kontravariante Basis. Als Tangentialraum bezeichnet man sämtliche kontravarianten Vektoren an P. In der Regel liegt der Tangentialraum nicht mehr in der Mannigfaltigkeit selbst. Demgegenüber besteht die kovariante Basis aus darauf senkrecht stehenden Vektoren. Beide Basen sind an sich gleichwertig.

Bei einem Tensor 2. Stufe (A_ik) gibt der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte der entsprechenden Komponente in einem m x m Matrixschema an. Lateinische Buchstaben laufen von 1 bis 3, griechische von 1 bis 4.

Gr. zg