Abgleich meines Wissens

[Marco Polo]

Zitat von Marcus Ulpius

Bernd ist eigentlich egal. Es geht um die Welt in der er lebt.

Hab gerade ein paar Clips angeschaut. Da war ein Wetterstudio und Bernd als Kommentator. Ausserdem ein Regisseur, der immer "leicht" entnervt dazwischengefunkt hat.
Ein echt starkes Programm.

Die Welt, in der er lebt, scheint also ein Fernsehstudio zu sein?

Wie bringt mich das jetzt weiter in Bezug auf das Erlernen der richtigen Herangehensweise an physikalische Themen?

Möglicherweise muss ich mir noch mehr dieser Clips anschauen um ein abschliessendes Urteil fällen zu können. Aber so toll sind die dann auch nun wieder nicht.

Grüsse, MP

[amc]

Zitat von Marcus Ulpius

Faul darf man sein (das hat sogar einige äusserst positive Effekte) - Aber zu helfen muss man sich wissen (Da musst du besser werden! :-)): Für was gibt es heue youtube?

Faulheit meinte ich nicht. Hab mir eben drei clips angesehen und mir erging es wie Marco, was ich vorhergesehen habe.

Grüße, amc

[Marcus Ulpius]

Hallo ihr beiden,

wir wollen hier Physik betreiben - Der Inhalt der Sendung ist eher sekundär.

Wir konzentrieren uns auf die Topologie:
Der Fernsehbildschirm stellt eine 2-Mannigfaltigkeit dar - In dieser lebt Bernd.

Wenn er die Bildschirmanzeige in keine der Richtungen rechts/links/oben/unten verlassen könnte wäre diese 2-Mannigfaltigkeit endlich und berandet.
Man kann eine solche 2-Mannigfaltigkeit mittels eines Blatts Papier DIN-A-4 darstellen.

Könnte Bernd in jede der genannten Richtung endlos geradeaus weiterlaufen ohne jemals am selben Ort ein zweites Mal vorbeizukommen würde er in einer unberandeten unendlichen 2-Mannigfaltigkeit leben (entsprechend einem unendlich großen, randlosen Blatt Papier).

Trifft eines der beiden (euklidischen) Szenarien auf Bernds Welt zu? Lebt Bernd in einer "trivialen Topologie"?
Oder ist euch "zufälligerweise" eine "Besonderheit" aufgefallen?

(Anmerkung: Im Rahmen der ART betrachtet man "üblicherweise" unberandete Mannigfaltigkeiten)

wkr
Marcus

[Marco Polo]

Juten Abend.

Zitat von Marcus Ulpius

Wir konzentrieren uns auf die Topologie:
Der Fernsehbildschirm stellt eine 2-Mannigfaltigkeit dar - In dieser lebt Bernd.

Nicht, wenn ich mir die Sendung in 3D anschaue.

Wenn er die Bildschirmanzeige in keine der Richtungen rechts/links/oben/unten verlassen könnte wäre diese 2-Mannigfaltigkeit endlich und berandet.
Man kann eine solche 2-Mannigfaltigkeit mittels eines Blatts Papier DIN-A-4 darstellen.

Könnte Bernd in jede der genannten Richtung endlos geradeaus weiterlaufen ohne jemals am selben Ort ein zweites Mal vorbeizukommen würde er in einer unberandeten unendlichen 2-Mannigfaltigkeit leben (entsprechend einem unendlich großen, randlosen Blatt Papier).

Trifft eines der beiden (euklidischen) Szenarien auf Bernds Welt zu? Lebt Bernd in einer "trivialen Topologie"?
Oder ist euch "zufälligerweise" eine "Besonderheit" aufgefallen?

Es gibt noch ein drittes Szenario: Bernd könnte zum linken Bildschirmrand laufen und am rechten wieder erscheinen. Oder unten verschwinden und oben wieder erscheinen. So wie bei Pac-Man. Das wäre eine endliche aber unberandete 2-Mannigfaltigkeit so wie bei einer Sphäre.

Und tatsächlich:

http://www.youtube.com/watch?v=ImQA3_2Bp5Q

Man beachte die Stellen bei Zeitpunkt 0:42 und 2:03.

Die Topologie scheint also nicht trvialer Natur zu sein.

Grüsse, MP

[Marcus Ulpius]

Absolut richtig, mp.

Zitat von Marco Polo

Nicht, wenn ich mir die Sendung in 3D anschaue.

:-D

Zitat von Marco Polo

Bernd könnte zum linken Bildschirmrand laufen und am rechten wieder erscheinen.

Man "verklebt" die rechte Seite des vor uns liegenden Blattes Papier mit seiner linken - Fertig ist die 2-Mannigfaltigkeit "Zylinder".

Zitat von Marco Polo

Oder unten verschwinden und oben wieder erscheinen.

Wenn man nur oben mit unten "verkleben" würde erhielte man ebenfalls einen 2-Zylinder.

Würde man beim "Verkleben" - egal ob beim ersten oder beim zweiten Fall - das Blatt in sich um 180° verdrehen erhielte man ein 2-Möbius-Band (*):
Bernd würde z.B. rechts aus dem Bild herauslaufen und "verdreht" links wieder erscheinen - Es würde in einer nicht-orientierten Mannigfaltigkeit leben
(Mit solchen beschäftigt man sich im Rahmen der ART "üblicherweise" nicht).

Zitat von Marco Polo

So wie bei Pac-Man.

Genau: Bei vielen Computerspielen "Verklebt" man das Blatt nicht nur links mit rechts sondern auch oben mit unten -
Und erhält als Ergebnis einen 2-Torus, eine geschlossene Mannigfaltigkeit.

Würde man das Blatt beim "Verkleben" sowohl in Links-/Rechts- als auch Oben-/Unten-Richtung um 180° "verdrillen" erhielte man die kleinsche Flasche.

Zitat von Marco Polo

Das wäre eine endliche aber unberandete 2-Mannigfaltigkeit so wie bei einer Sphäre.

Ebenfalls korrekt.
Im Gegensatz zur Sphäre sind aber sowohl Zylinder als auch Torus genauso euklidisch wie die ursprüngliche 2-Ebene/das ursprüngliche Blatt Papier:
Das Parallen-Axiom gilt genauso wie die anderen Kritieren (Winkelsumme Dreieck, Verhältnis Kreisumfang zu Radius,.).

Sphäre, Zylinder und Torus vereint die Eigenschaft geschlossene raumartige Kurven aufzuweisen: Man kann wieder an derselben Stelle vorbeikommen wenn man einer bestimmten Richtung immer geradeaus folgt.

Auch wenn wir noch nicht bei den 3-Mannigfaltigkeiten sind:
Nach solchen geschlossenen raumartigen Kurven sucht man in den WMAP-Daten (Stichwort "circles in the sky"), mit dieser Suche beschäftigt sich das von Ich verlinkte Papier. Bis jetzt hat man noch keine geschlossenen Kurven gefunden. Das bedeutet dass man für unser Universum bereits bestimmte Topologie-Größen-Kombinationen ausschliesen kann. Von PLANK erhofft man sich genauere Daten.

Ein Satellit fliegt immer geradeaus ("folgt seiner Geodäte") - oder immer im Kreis (gekrümmte Raumzeit). Eine reine Frage des Blickwinkels.

Sphäre und Torus weisen darüber hinaus ein endliches Volumen auf. Alle von uns betracteten 2-Mannigfaltigkeiten sind unberandet.

Hinweis:
Bei all diesen Überlegungen solltet ihr weniger auf das am Ende "visuell vorstellbare Blatt-Äquivalent" achten als vielmehr wie man zu diesem gelangte (verklebt/nicht verklebt, beim Verkleben: verdrillt/nicht verdrillt).
Das braucht man dann spätestens beim Übergang zu 3-Mannigfaltigkeiten: Diese können wir uns gar nicht mehr anschaulich "von aussen" vorstellen.
Diese "äussere Vorstellung" hat aber bereits bei den 2-Mannigfaltigkeiten einen nicht ganz unerheblichen Haken: Solkar merkte es bereits an.
Wer hatte es mitbekommen? Und worum geht es?

Schönes WE
Marcus

(*):

Zitat von Marcus Ulpius

Die kleinsche Flasche und das Möbiusband sind nicht-orientierte 2-Mannigfaltigkeiten, das Möbiusband zudem berandet.......

Wie die Ausführungen hier zeigen: Das Möbiusband muss nicht berandet sein - Mehr noch: Es ist es nicht einmal "üblicherweise".
Meine eingestreute "falsche Feststellung" diente mir einer "kleinen Überprüfung".
Es beweist gleichzeitig: Man sollte jeder Aussage grundsätzlich misstrauisch gegenüberstehen.

[amc]

Zitat von Marcus Ulpius

Diese "äussere Vorstellung" hat aber bereits bei den 2-Mannigfaltigkeiten einen nicht ganz unerheblichen Haken: Solkar merkte es bereits an.

Was bedeutet das:

Zitat von Solkar

Wenn man diese Quotiententopologie
ℝ²/ℤ²
wirklich auch flach einbetten will, braucht man dafür den ℝ^4, da ist es dann allerdings fast trivial

f'(u,v) = (R_1 cos u, R_1 sin u, R_2 cos v, R_2 sin v),

und die Metrik ist const
g_ij = diag (-R_1², -R_2²),
und somit verschwinden alle Christoffel.

Worum gehts hier?

Grüße, amc

[Marco Polo]

Hallo MU,

Zitat von Marcus Ulpius

Sphäre und Torus weisen darüber hinaus ein endliches Volumen auf. Alle von uns betracteten 2-Mannigfaltigkeiten sind unberandet.

was muss man sich unter dem Volumen einer 2-Sphäre vorstellen?

Ist das so eine Art Kugelschale, oder ist es tatsächlich 4/3 pi r³? Momentan blicke ich es noch nicht so recht.

Grüsse, MP

[Marcus Ulpius]

Hallo Eugen Bauhof,

a. ich bringe jedem dieselbe Höflichkeit entgegen die er mir gegenüber zeigt.
b. wenn ich Spielregeln aufstelle nehme ich mich selbst nicht von diesen aus.

c. Was du als Nicklichkeit ansiehst sehe ich anders:Ich blicke der Realität ins Auge. Dass das manchmal (dem ein oder anderen) wehtut/wehtun kann - Unbestritten.
Böswilligkeit solltest du mir allerdings nicht unterstellen.

wkr
Marcus

[Marcus Ulpius]

Hallo ihr beiden,

Ihr misstraut mir offensichtlich :-D - Sehr sehr gut!

Zitat von Marco Polo

was muss man sich unter dem Volumen einer 2-Sphäre vorstellen?

Sehr gute Nachfrage: Eine 2-Sphäre besitzt einen Flächeninhalt - kein Volumen (!).

Zitat von Marco Polo

Ist das so eine Art Kugelschale, oder ist es tatsächlich 4/3 pi r³?

Wenn wir uns die 2-Mannigfaltigkeiten "als Körper im dreidimensionalen Raum" visualisieren dann ist stets nur deren Oberfläche relevant.
Alles andere ist für uns in diesem Sinne "Leerraum" - Auch das vom jeweiligen "Körper" (eventuell) umschlossene "Innere".

Folgende fünf euklidische Grundtypen von 2-Mannigfaltigkeiten unterscheidet man (auf Grundlage der beiden Prinzipien "Verkleben" und "Verdrillen") typischerweise:
a. triviale Fläche: "unverklebt" und "unverdrillt"
b. 2-Zylinder: "einfach verklebt" und "unverdrillt"
c. 2-Torus: "zweifach verklebt" und "unverdrillt"
d. Möbius-Band: "einfach verklebt" und "einfach verdrillt"
e. Kleinsche Flasche: "zweifach verklebt" und "zweifach verdrillt"

Legt man mehrere Flächen zugrunde kann man weitere euklidische 2-Mannigfaltigkeit schaffen:
Bernd ist dann aber im übertragenen Sinn nicht mehr nur auf einem sondern auf/in mehreren Fernsehschirmen zu Hause -
Wenn er einen links verlässt kommt er z.B. auf einem anderen von oben wieder herein.
Die Modellierungsmöglichkeiten sind im Prinzip unbegrenzt - Man kann mehrere Blätter eben sehr kreativ miteinander "verkleben" und "verdrillen".
In der Regel konzentriert man sich aber auf die o.g. fünf Grundtypen.

Es gibt daneben nur zwei nichteuklidische 2-Mannigfaltigkeiten (konstanter Krümmung):
a. die positiv gekrümmte 2-Sphere (Kugeloberfläche - Die Sphere ist unberandet und geschlossen).
b. der negativ gekrümmte 2-Hyperboloid (Sattelfläche, "Kühlturm" - Der Hyperboloid ist nicht kompakt)

(Zur Vertiefung der topologischen Begrifflichkeiten bitte einmal http://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A...8Mathematik%29 wenigstens kurz überfliegen)

Damit wären wir mit den sieben 2-Mannigfaltigkeiten, mit denen man sich "üblicherweise" beschäftigt, durch.

Zitat von Marco Polo

Momentan blicke ich es noch nicht so recht.

Wenn ich mir deine Rückfrage ansehe "blickst du es genau richtig".

@amc: Treffer!
Ich möchte das Thema aber im Moment "aus anderen Gründen" erst noch einmal zurückstellen - Ich hoffe du hast dafür Verständnis: Aufgeschoben ist nicht aufgehoben.

Schauen wir einmal wann ich etwas zum Ein-/Umstieg in/auf die 3-Mannigfaltigkeiten schreiben kann ... vorausgesetzt ihr habt akut keine weiteren Fragen zu den 2-Mannigfaltigkeiten.


wkr
Marcus

[Marco Polo]

Hallo MU,

bevor wir weitermachen hätte ich noch eine Frage.

Du schriebst, dass eine Sphäre ein endliches Volumen besitzt.

Das gilt dann aber scheinbar erst ab einer 3-Sphäre, da eine 2-Sphäre, wie du schriebst, kein Volumen hat, oder?

Hab mal kurz recherchiert und bin auf diese offensichtlich allgemeingültige Formel gestossen:

Vn=(2*pi^(n/2) * r^(n-1))/(gamma*n/2)

Auch wenn eine 2-Sphäre kein Volumen hat, setze ich jetzt einfach mal dummdreist ein:

Bei einer 2-Sphäre wäre n=2

Wir erhalten:

Vn=2*pi*r/gamma mit gamma(1)=1

Demnach wäre das Volumen einer 2-Sphäre:

V2=2*pi*r

2*pi*r ist aber der Umfang eines Kreises.

Jetzt bin ich gerade vollkommen ratlos.

Gilt die o.a. Volumenformel nicht für 2-Sphären? Kann ja eigentlich nicht, wenn eine 2-Sphäre kein Volumen hat. Oder habe ich falsche Werte eingesetzt?

Soviel dazu, dass ich es nicht geblickt habe.

http://de.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%...lt_und_Volumen

http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

Abgesehen davon bin ich natürlich auch der Meinung, dass eine 2-Sphäre kein Volumen hat. Es ist eine endliche unberandete Fläche.

Übrigens muss ich mir deinen Link noch näher anschauen. Gerade habe ich aber wenig Zeit.

Grüsse, MP

p.s. wofür steht deine Grussformel wkr?