Das Kontinuum-eine Paradoxie?

[Knut Hacker]

Zu dem hier diskutierten Verhältnis von Mathematik und „Realität“:
Interessant ist ja hier in diesem Zusammenhang zum Beispiel die Wick-Rotation mit Hilfe der imaginären Einheit i.Dieser mathematische „Trick“ führt zu verblüffenden Perspektiven bei der Lösung des Singularitätsproblems .
Stephen Hawking schreibt hierzu. „Aus positivistischer Sicht lässt sich jedoch nicht bestimmen, was real ist. Wir können lediglich nach den mathematischen Modellen suchen, die das Universum beschreiben, in dem wir leben. Wie sich herausstellt, sagt ein mathematisches Modell, das die imaginäre Zeit einbezieht, nicht nur Effekte voraus, die wir bereits beobachtet haben, sondern auch solche, die wir noch nicht haben messen können, von deren Vorhandensein wir aber aus anderen Gründen überzeugt sind.“

[Bauhof]

Zitat von George

Eine interessante Idee. Dennoch sehe ich sie zum Teil problematisch. Wenn man eine gleichförmig bewegte Masse beschreiben will, dann wird es noch Sinn ergeben. Sobald man aber eine Beschleunigung beschreibt, fällt der Imaginärteil weg. Eine Darstellung der Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit wäre dann unmöglich.

Hallo George,

warum fällt bei einer Beschreibung einer gleichförmig bewegten Masse der Imaginäteil nicht weg, hingen bei der Beschreibung einer beschleunigt bewegten Masse schon?

Was spricht dagegen, Bewegungen (beschleunigt und unbeschleunigt) in Abhängigkeit von einer imaginären Zeit zu beschreiben?

M.f.G. Eugen Bauhof

[George]

Hallo Bauhof,

Zitat von Bauhof

Hallo George,

warum fällt bei einer Beschreibung einer gleichförmig bewegten Masse der Imaginäteil nicht weg, hingen bei der Beschreibung einer beschleunigt bewegten Masse schon?

Was spricht dagegen, Bewegungen (beschleunigt und unbeschleunigt) in Abhängigkeit von einer imaginären Zeit zu beschreiben?

M.f.G. Eugen Bauhof

Ein kleiner Fehler meinerseits: Der Imaginärteil bleibt bestehen, aber die imaginäre Einheit i fällt weg. In einer gausschen Zahlenebene wäre dann aber das Ergebnis reell, was völliger Quatsch wäre.

Wir nehmen mal an, unsere Zeit t= Re(t)+ i Im(t) ist rein komplex mit Re(t)= 0. Wenn man nun eine Geschwindigkeit beschreiben will, so rechnet man
x´(t)= dx/ dt
= x/t= x/[i Im(t)]

Will man die Beschleunigung, so ergibt sich
x´´(t)= d²x/dt²
= x/[i Im(t)]²= - x/Im(t)²

Er erscheint mir zumindest schleierhaft, wie man dieses Ergebnis geometrisch deuten sollte.

Viele Grüße,
George

[richy]

Hi

die Frage, was Null und Unendlich nun "tatsächlich" darstellen, stellt sich m.E. gar nicht. Beide Begriffe sind nur Produkte des menschlichen Geistes, wie alle übrigen mathematischen Begriffe.

Ja, man sollte sich immer darueber im klaren sein, dass dies zwei Bereiche sind. Wahrscheinlich entdecken wir viele mathematische Gesetzt nur. Genauso wie physikalische Gesetze. Das kann man aber nicht verallgemeinern. Manche Dinge scheinen tatsaechlich reines Menschenwerk. Aber wenn eine solche Hilfkonstruktion notwendig ist um die Natur zu beschreiben, dann ist sie in dieser auch in irgendeiner Form enthalten. Ansonsten wuerde man die Hilfskonstrukton nicht benoetigen. Jetzt kann man argumentieren : Die Mathematik ist somit kein universales Werkzeug. Sie ist zum Teil ungeeignet die Realitaet darzustellen.
Da wuerde ich dagegen halten : Mag sein. Aber wir haben (neben Emotionen und Experimenten) eben nur dieses Werkzeug. Einstein auesserte schon dass Mathematik und Physik scheinbar immer so gut zusammenpassen. Ich meine nicht, dass dies ein Zufall ist. Denn beides orientiert sich aneinander.
Und egal wie die Wirklichkei aussieht. Es kann doch nicht sein, dass Infinitesimalrechnung oder irratonale Zahlen ein Fehlschritt waren. In einer Welt in der diese nicht notwendig waeren wuerden dessen Bewohner doch gar nicht auf solche angeblichen "Konstrukte" kommen.
Mir faellt zu einer rein menschlichen Erfindung uebrigends nur das bewegliche Rad auf einer Achse ein.

Die Vorstellung von Unendlichkeiten (Absolutheiten), ob sie unendlich klein (nichts), räumliche und zeitliche Unendlichkeiten (Ewigkeit) oder Gott betreffen ist egal, sie gehören zur Denkwelt.

Aufpassen. Räumliche und zeitliche Unendlichkeiten sind bereits Umsetzungen in die physikalische Welt. Aber lassen wir die Groessen in der Beschreibung einfach mal weg. Unendlichkeit, Null, Infinitesimalrechnung, irrationale Zahlen, komplexe Zahlen ... Wir damit alles verstaendnisvoller ?
Ich meine auch eher, dass es in der Natur keine unbeschraenkten Groessen gibt. Aber dann muss ja ein Rand vorhanden sein. Das ganze muss sich im Nichts befinden. Und schon hat man wieder das selbe Dilemma. Und wie oben bemerkt. Ohne Grund wird die Menschheit wohl nicht auf solche Groessen gestossen sein. Und der koennte sein, dass wir uns prinzipiell nicht selbst vollstaendig beschreiben koennen.
Genau an diesem Problem wuerde ein moderner La Placescher Daemon aus heutiger Sicht scheitern. Wobei dies nicht besagt, dass die Welt determiniert sein muss.Sie koennte es sein.

Und auch die Mathematik selbst hat ein Dilemma mit der Unendlichkeit.
Bei Achilles Schildkrote existiert nur in deren Bezugswelt fuer den Ueberholpunkt eine Unendlichkeit. (Wer sich unkritisch in deren Welt begibt sieht darin ein Paradoxon) Fuer unsere Bezugswelt existiert der Unendlichkeitsbegriff der Schildkroete nicht. Und auf die selbe Weise laesst sich auch unser Unendlichkeitsbegriff eliminieren. Ueber ein uebergeordnetes Bezugssystem. Timm hatte dies in dem Beitrag zu geometrischen Reihen angesprochen. Penrose oder Barney betrachten die reelle Achse als einen unendlich grossen Kreis in der komplexen Ebene. Und auf diesem gibt es keinen ausgezeichneten Punkt dem man eine Unendlichkeit zusprechen koennte. Laeuft man von 0 bis 00 landet man bei -00 und erreicht von dort wieder 0. Man laeuft lediglich im Kreis. Es ist das allerselbe Verhaeltnis wie reale Welt/ Schiltkroetenwelt zu komplexwerteige Barney Welt/ reale Welt.

Und so wird Hawking auch das Problem vermeintlich geloest haben.
Das ist aber ein Trugschluss. Denn ich kann Barney fragen, was sich denn ergibt, wenn er auf seinem Kreis unendlich viele Umrundungen unternimmt. Da wird er vielleicht auf ein weiteres, nun ihm uebergeordnetes Bezugssystem hinweisen. Es gibt damit wohl unendlich viele Formen von Unendlichkeit. Und demnach auch keine letzte Form.

Zur imaginaeren Zeit :
Das war lediglich ein Vorschlag wie man sich komplexe Groessen physikalisch Veranschaulichen koennte. x4=i*C0*t ist dabei aber nicht die Zeit t selbst. Sondern ein Ort.
Wobei ich hier schon einen Zusammenhang zur Quantenmechanik sehe. Das Interferenzmuster auf dem Detektor ist gar kein reellwertiges Muster. Der Detektor sammelt Ereignisse verschiedener Zeitpunkte und damit verschiedener Realitaeten um sie dann in einer Realitaet darzustellen.

Gruesse

[pflanzenfreak]

[/quote Gegeben sei eine Gerade von 10 Zentimetern Länge.
Gesucht ist derjenige Punkt der Geraden, der diese in zwei Hälften, also in zwei Teile von je 5 Zentimetern Länge trennt. /quote]

Hallo Knut Hacker,

eine kleine Anmerkung zu deiner ursprünglichen Fragestellung.
Ich sehe es so, das dieser Punkt weder zur Geraden noch zu den Teilstücken gehört, ja sogar nur bedingt diesem Universum zugehörig ist.
Den es ist nur ein imaginärer Punkt in deinem Kopf. http://www.quanten.de/forum/images/smilies/wink.gif
Messe so gut du es vermagst und teile die Strecke und du wirst niemals feststellen können welches Teilstück länger ist, weil Unschärfe und Fluktuationen immer dafür sorgen werden das du dich etwas verzählen wirst. http://www.quanten.de/forum/images/icons/icon12.gif

Vieleicht strebst du in deinen Überlegungen eine Genauigkeit an welche das Universum nicht zuläst?

Grüße an alle!http://www.quanten.de/forum/images/icons/icon7.gif

[Knut Hacker]

Pflanzenfreak,
ich wollte mit meinem Threadöffner gerade die Unschärfe unserer Begriffswelt veranschaulichen. Begriffe sind immer Abstrahierungen.Ab wievielen Bäumen beginnt ein Wald?
Aber auch die Natur ist wohl zu komplex, um "genau" zu sein.Es gibt wohl ein Prinzip der Unschärfe. Wir kennen die Unschärferelationen in der Quantenphysik. Wir kennen die Kopiefehler bei der Reproduktion der DNS. Wir kennen die Symmetriebrechungen. Usw.
Philosophisch gesehen wäre es eine Katastrophe für uns Menschen, wenn die Welt in unserem Kopf Platz fände.

[Knut Hacker]

Ich fasse meinen Threadöffner noch einmal in der Frage zusammen:
Wo sind fünf Zentimeter einer 10 Zentimeter langen Geraden zu Ende und wo beginnt der sechste Zentimeter? (Die Frage stellt sich natürlich die alle Punkte einschließlich der des Anfangs und des Endpunktes)

[richy]

Du faltest die Gerade in zwei gleiche Teile und schneidste sie durch.
Es gibt keinen Grund warum einer der beiden Schnitte laenger sein sollte oder der Schnitt eine Ausdehnung.

[Knut Hacker]

Ich glaube, ich gebe es auf, mich verständlich zu machen.Ich will nicht ständig wiederholen, dass es sich nicht um ein mathematisches Problem handelt, auch nicht um ein praktisches, sondern um ein logisch-begriffliches: mit Begriffen können wir nichts begreifen. Das von mir angeschnittene Problem ist das gleiche wie die Frage: Ab wievielen Bäumen beginnt der Wald.
Wenn ich die Gerade in der Mitte zerschneide: dann sage man mir bitte wo? Wo genau ist die Mitte?es gibt sie nicht, sie ist ein null-dimensionaler Punkt. Heisenbergs Unschärferelation lässt grüßen.

Das Problem lässt sich auch spaßig beschreiben:
Es ist vollkommen ausgeschlossen, geboren worden zu sein. Denn wäre man geboren worden, müsste es einen letzten Augenblick gegeben haben, in dem man noch nicht geboren war, und einen ersten Augenblick, in dem man bereits geboren war. Beide Augenblicke müssten sich unterschieden haben und daher voneinander getrennt gewesen sein. Sie können aber nicht getrennt gewesen sein, da jeder noch so kleine Zwischenraum entweder zum letzten Augenblick des Noch-nicht-geboren-Seins oder zum ersten Augenblick des Bereits-geboren-Seins gehört haben müsste. Denn während dieses Zwischenraumes kann man nicht gleichzeitig. ungeboren und geboren und auch nicht weder ungeboren noch geboren gewesen sein .
Ebenso ist es vollkommen ausgeschlossen, zu sterben.Denn stürbe man, müsste es einen letzten Augenblick geben, in dem man noch lebt, und einen ersten Augenblick, in dem man bereits tot ist. Beide Augenblicke müssten sich unterscheiden und daher voneinander getrennt sein. Sie können aber nicht getrennt sein, da jeder noch so kleine Zwischenraum entweder zum letzten Augenblick des Noch-Lebens oder zum ersten Augenblick des Bereits-tot-Seins gehören müsste. Denn während dieses Zwischenraumes könnte man nicht gleichzeitig lebendig und tot und auch nicht weder lebendig noch tot sein.

[Knut Hacker]

Nochmals:
das Problem ist bekannt als sogenanntes Teilungsparadoxon. Ich habe es unter dem Thread: "Paradoxien" hier im Forum ausführlich abgehandelt , auch unter dem Aspekt der Quantenphysik und der Relativitätstheorie sowie der Mathematik