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  #1  
Alt 01.11.08, 20:14
Benutzerbild von George
George George ist offline
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Registriert seit: 16.10.2007
Beiträge: 122
Standard Extremwertproblem

Hallo Allerseits,

Ich muss eine Extremwertproblem Aufgabe lösen, bei der ich nicht weiterkomme:

Bei einer Rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großen Inhalt herausgeschnitten werden.



a) wie ist der Punkt P zu wählen

Also an die Mathefreaks im forum: Bitte um Hllfe. Für zahlreiche Antworten danke schon mal im voraus

Mit Grüßen, George
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Friedrich Nietzsche
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  #2  
Alt 01.11.08, 21:22
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Extremwertproblem

Hi
Der Link funktioniert leider nicht.

Allgemeine Vorgehensweise.
Dieser Punkt P wird von den Koordinaten x,y abhaengen.
(Wenn man das Rechteck auch drehen kann einem Winke phi.)
Fuer diese Parameter ergeben sich unterschiedliche Rechtecke R.
Schwierigste Aufgabe wird es sein den Flaecheninhalt dieser Rechtecke als Funktion der Parameter x0,y0 zu ermitteln. Die Flaeche A(x0,y0)
Und diese Flaeche maximierst du dann mittels Differentialrechnung. Indem du nach x0,y0 ableitest.

Fuer einen Parameter gilt als Extremwert:
a) dA(x0)/dx0=0
Die Steigung auf der Bergspitze oder der Talsohle ist gleich Null.

Lauft man in ein Tal ist die Steigung erst kleiner Null, beim Verlassen groesser Null.
Die Ableitung reicht also von negativen Werten nach positiven Werten.
Die Ableitungsfunktion dA(x0)/dx0 selbst hat also eine positive Steigung.
D.h. die zweite Ableitung ist groesser 0

An der Bergspitze ist es Umgekehrt
D.h. die zweite Ableitung ist kleiner 0
Dass waere die zweite Bedingung , dass der Extremwert nach a) ein Maximum ist.

Fuer 2 Parameter schlaegt man die Ableitungsbedingungen am besten nach.
Ich hab sie grad nicht im Kopf.
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  #3  
Alt 01.11.08, 22:29
Benutzerbild von George
George George ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 16.10.2007
Beiträge: 122
Standard AW: Extremwertproblem

Hey Richy,

Hier einmal ein funktionierender Link:


Ja, P hägt von x und f(x) ab. Ich nehme 3 Punkte, P selbst (und bezeiche es als P3), und jeweils einen am ende der geraden (also P1 und P2) , auf der P liegt. Für die Fläche A= a*b habe ich dann eine Funktion:

A(x1,x3,y2,y3)= [80- (x1+ x3)]* [60-(y2-y3)]

ich wähle nun ein KOS, indem die linke Seite des rechtecks genau auf der y- Achse liegt. Es ergibt sich somit: x1= 0 und zusätzlich weiß ich, dass y2= 60 ist. In A(x) eingesetzt:

A(x,y)= (80-x3)* [60-(60- y3)]

Jetzt habe ich x3 und y3 als variable gewählt. Ich lasse nun durch P1 und P2 eine Funktion laufen (die also alle 3 punkte durchläuft). Für die erhalte ich

f(x)= 1,5x +30

ich kann diese in A(x) einsetzen und erhalte nach Umformen:

A(x)= 1,5x²- 150x+ 2400
A'(x)= 3x- 150

Hier einmal meine Überlegung Grafisch:


So brauch ich nicht mit 2 Variabeln zu rechnen. Für die notw. Bedingung A'(0) habe errechne ich

x= 50

Das kann aber nicht sein, denn bei x= 50 kann P garnicht liegen. Die Gerade, auf der P liegt ist für die Definitionsmenge als Df = [0;20] definiert. Nach x= 20 hat man ja gar keine Glasplatte mehr, die man schneiden könnte... Hier komm ich also nicht mehr weiter...

Gruß
Angehängte Grafiken
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  #4  
Alt 01.11.08, 23:09
Uli Uli ist offline
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Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von George Beitrag anzeigen
Hey Richy,
A(x)= 1,5x²- 150x+ 2400
A'(x)= 3x- 150
Gruß
Vorzeichenfehler ?

A(x,y)= (80-x)*y

Ich kriege nach Einsetzen
A(x) = (80-x)*(1.5x+30) = 120x + 2400 - 1.5x² - 30x = -1.5x² + 90x + 2400
A'(x) = -3x + 90
==> x = 30
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  #5  
Alt 02.11.08, 02:30
Benutzerbild von EMI
EMI EMI ist offline
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Ort: Dorsten
Beiträge: 2.564
Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von Uli Beitrag anzeigen
Vorzeichenfehler ?

A(x,y)= (80-x)*y

Ich kriege nach Einsetzen
A(x) = (80-x)*(1.5x+30) = 120x + 2400 - 1.5x² - 30x = -1.5x² + 90x + 2400
A'(x) = -3x + 90
==> x = 30
Vorzeichenfehler ja, aber x=30 liegt immer noch außerhalb der Glasplatte.
Bis hierhin noch richtig:
A(x) = -1.5x² + 90x + 2400

Gruß EMI

PS: Die größte Fläche ergibt sich bei P2(x2=20, y2=60) = 60²
Die Verschnittflächen addieren und den Punkt P von deren Minimum ermitteln
__________________
Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.

Geändert von EMI (02.11.08 um 03:59 Uhr)
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  #6  
Alt 02.11.08, 10:37
Benutzerbild von George
George George ist offline
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Registriert seit: 16.10.2007
Beiträge: 122
Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von EMI Beitrag anzeigen
PS: Die größte Fläche ergibt sich bei P2(x2=20, y2=60) = 60²
Die Verschnittflächen addieren und den Punkt P von deren Minimum ermitteln
Was meinst du mit "Verschnittflächen addieren"? Wie komm ich auf 60²?...
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  #7  
Alt 02.11.08, 11:30
Uli Uli ist offline
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Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von EMI Beitrag anzeigen
Vorzeichenfehler ja, aber x=30 liegt immer noch außerhalb der Glasplatte.
Quatsch - die Platte ist doch 80 cm breit: meine Lösung stimmt.

Edit: hast ja doch irgendwie recht damit (s.u.)

Geändert von Uli (02.11.08 um 11:50 Uhr)
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  #8  
Alt 02.11.08, 11:38
Benutzerbild von George
George George ist offline
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Registriert seit: 16.10.2007
Beiträge: 122
Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von Uli Beitrag anzeigen
Quatsch - die Platte ist doch 80 cm breit: meine Lösung stimmt.
Kann man hier denn nicht mal 'ne "Pipi-Aufgabe" vorrechnen, ohne dass wer es besser weiß ?
EMI hat schon recht... Es geht ja nicht um die ganze Platte, sondern um das Stück, wo die Abgebrochen ist, wo der Punkt P liegt. Wenn man ein Koordinatensystem wählt, wo also mein P1 die koordinate x=0 hat, so ergibt sich ein Maximales ergebnis für x bei 20 (80- 60, also die länge der platte unten minus der oberen länge).. Ich muss irgendwo die 20 herholen..

Vielleicht sollte ich so tun, als hätte ich falsch gerundet

gruß
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  #9  
Alt 02.11.08, 11:47
Uli Uli ist offline
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Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von George Beitrag anzeigen
EMI hat schon recht... Es geht ja nicht um die ganze Platte, sondern um das Stück, wo die Abgebrochen ist, wo der Punkt P liegt. Wenn man ein Koordinatensystem wählt, wo also mein P1 die koordinate x=0 hat, so ergibt sich ein Maximales ergebnis für x bei 20 (80- 60, also die länge der platte unten minus der oberen länge).. Ich muss irgendwo die 20 herholen..

Vielleicht sollte ich so tun, als hätte ich falsch gerundet

gruß
Naja, das Extremum wäre bei x=30. Der Bruch endet aber schon bei x=20. Also ist x=20 dem Extremum am nächsten und somit die Lösung. So würde ich argumentieren.
Bei x=20 verschwindet natürlich keine Ableitung; das ist einfach der Rand des Definitionsbreiches; und dort ist die Fläche am größten.

Geändert von Uli (02.11.08 um 11:49 Uhr)
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  #10  
Alt 02.11.08, 19:27
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richy richy ist offline
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Standard AW: Extremwertproblem

Habs auch grad nachgerechnet :
A(x,y)=(80-x)*y
y laesst sich ueber x ausdruecken
y=30+30/20*x fuer 20>x>0
Setzt man ein erhalet man die bereits genannte Funktion
A(x)=2400+90*x-3/2x^2
Deren Maximum liegt bei x=30 also nicht im Intervall [0..20]

Die Ableitung ist im Intervall stets positiv. Es reicht dies fuer einen Punkt darin zu zeigen zum Beispiel fuer 0. Denn 30 ist ja das einzigste Extremum :
Laesst man sich die Funktion ausdrucken, so sieht man auch dass sie monoton steigend ist.

Deren Maximum liegt also beim maximalen x=20
So wie Uli auch argumentiert hat. Es ist ein Randmaximum.
Fuer x>20 ist die Funktion nicht mehr
y=30+30/20*x
sondern konstant
y=60

Wuerde ich x noch weiter erhoehen, so wurde sich y nicht mehr aendern und die Flaeche wieder schrumpfen, da (80-x) kleiner wird.
y ist eine unstetige Funktion damit auch A(x,y).
Man koennte
A=(80-x)*(30+30/20*x) fuer 20>x>0
A=(80-x)*60 fuer 80>x>20
darstellen. Dann wuerde man das Maxiumum besonders gut sehen.

Geändert von richy (02.11.08 um 19:56 Uhr)
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