Das relativistische Zwillingsparadoxon

[Timm]

Zitat von Marco Polo

Genau diese entsprechen doch der Eigenzeit, oder nicht?

Die Zeit, die für einen mitbewegten Beobachter vergeht, ist seine Eigenzeit. Was aber eigentlich trivial ist. Vielleicht meinst Du es anders.

[Marco Polo]

Zitat von Timm

Die Zeit, die für einen mitbewegten Beobachter vergeht, ist seine Eigenzeit. Was aber eigentlich trivial ist. Vielleicht meinst Du es anders.

Ich meinte es nicht anders. Des mitbewegten Beobachters Eigenzeit entspricht des beobachteten Objektes Eigenzeit.

[Slash]

Zitat von Ich

Du gibst z.B. jedem die gleichen Beschleunigungsphasen, wobei die Umkehrbeschleunigung doppelt so stark ist wie die Auswärtsbeschleunigung. Dann dauert das Zurückfliegen genauso lange wie das Rausfliegen.
Der eine startet ganz am Anfang und kehrt zur Hälfte der Zeit um.
Der andere startet nach 98% der Zeit und kehrt nach 99% um.
Dann vergeht für den einen bei weitem weniger Zeit als für den anderen. Und daran ändert sich auch nichts, wenn du ihn betragsmäßig aufintegriert etwas mehr oder weniger beschleunigen lässt als den anderen.

Hallo,

ja, ich hatte mir nun auch Gedanken gemacht.

Es gibt ja schon Verfahren und teilweise auch belegte Sätze in der Regelungstechnik, z.B. wie man von A nach B in kürzester Zeit oder mit geringster Stellleistung (Antrieb einer Roboterachse, etc.) kommt.

Um aber die Problemstellung anhand dieser Verfahren "einfach" lösen zu können, wären zumindest noch weitere Randbedingungen erforderlich, z.B. ob die Zwillinge beim Start v= 0 zueinander haben und ob sie auch beim Wiedersehen v=0 wieder haben sollen, sonst wird es denke ich wirklich unübersichtlich.

Außerdem müsste auch eine Beschleunigungsgrenze (z.B. maximale Schubkraft eines Triebwerks) definiert werden, um das noch übersichtlich lösen zu können.

Wenn all dies der Fall ist, dann gilt - denke ich - in der Tat der Satz von Feldbaum, der verkürzt lautet: Gib Vollgas bis zur Mitte, bremse dann bis zum Schluss, so kommst du am weitesten in vorgebener Zeit, dann für den Rückweg natürlich das Gleiche, wobei man am Ende stillsteht.

Zitat von Ich

Mal ein kurzer Ausflug in höhere Gefilde (ich habs aber schon mal angesprochen): Wenn du schon mit Beschleunigung argumentieren willst, dann in beschleunigten Bezugssystemen. Die dort wirkenden Scheinkräfte bewirken "gravitative" Zeitdilatation bzw. -kontraktion. Die ist proportional zum Produkt aus Abstand und Beschleunigung - im Erdschwerefeld z.B. g*h genannt. Und das musst du integrieren, um den gravitativen Anteil an der Zeitdilatation zu bekommen.

Nein, danke, mir reicht die Betrachtung im 3D-Raum !!

Aber stimmt, das könnte man bestimmt auch gut simulieren.

VG
Slash

[Marco Polo]

Zitat von Slash

Um aber die Problemstellung anhand dieser Verfahren "einfach" lösen zu können, wären zumindest noch weitere Randbedingungen erforderlich, z.B. ob die Zwillinge beim Start v= 0 zueinander haben und ob sie auch beim Wiedersehen v=0 wieder haben sollen, sonst wird es denke ich wirklich unübersichtlich.

Nein, es wird nicht unübersichtlich. Es spielt qualitativ keine Rolle für den Zeitversatz, welche Relativgeschwindigkeit beim Start und Wiedersehen beider Zwillinge berücksichtigt wird.

[TomS]

Zitat von Slash

Es handelt sich um eine kreisförmige Bewegung.

Bezeichnet delta * v(t) eine tangentiale Beschleunigung bzw. den Anteil der zur tangentialen Geschwindigkeit aufgrund einer (tangentialen) Beschleunigung hinzuaddiert wird?

Zunächst ja. Man könnte das Argument natürlich auch auf nicht-kreisförmige Bewegungen verallgemeinern.

Zitat von Slash

Wie behandelst du die Beschleunigung zum Mittelpunkt der Flugbahn für die Zwillinge?

Gar nicht; sie ist irrelevant (siehe Herleitung im ersten Beitrag)

Zitat von Slash

Dass für in die Formel für die Zeitdilatation nur die Geschwindigkeit eingeht habe ich (hoffe ich) nicht bestritten ...

Stimmt, hast du nicht.

Zitat von Slash

... aber dass letzten Endes für die Weglänge und die Bedingung des gemeinsamen Starts und Wiedersehens eine Beschleunigung diese beeinflusst, sowie die Geschwindigkeit ist doch offensichtlich.

Stimmt, das ist auch offensichtlich. Eine andere Beschleunigung ergibt eine andere Bahnkurve - aber nicht unbedingt eine andere Eigenzeit.

Zitat von Slash

Insofern weiß ich nicht, um was es dir genau geht.

Es geht genau darum, dass die Beschleunigung nicht eingeht. Bereits dass die Geschwindigkeit eingeht, ist eine rechentechnische praktische, jedoch prinzipiell unnötige Vorgehensweise. Im ersten Beitrag habe ich das auch zu Beginn so nicht eingeführt.

1)
Von München nach Hamburg sind's (laut Google Maps) 775 km.
Von München nach Berlin und dann nach Hamburg sind's 584 km + 288 km.
Die zweite Route ist länger als die erste.
Ende der Information.

2)
Alternativ gebe ich dir zwei (vektorwertige) Funktionen a(t) und fordere dich auf, die entsprechenden Reiserouten zu vergleichen. Du stellst nach längerer Rechnung fest, dass sie unterschiedlich lang sind, dass sie jedoch - bei identischem Startpunkt - auch identischen Zielpunkt haben.
Wiederum ist die zweite Route länger als die erste.

Warum ist es von München über Berlin nach Hamburg weiter als direkt von München nach Hamburg? Weil das aus einer komplizierten Berechnung mittels der Beschleunigungen folgt? Inkl. Abbremsen, Beschleunigen, Tankstopps, Anhalten zum Kaffeetrinken, Stau, ...? Oder einfach weil die Strecke länger ist? Wie würdest du argumentieren, wenn jemand dich fragt, welche Strecke länger ist? Im Atlas nachmessen? Oder die beiden Funktionen a(t) integrieren?

Ich würde nachmessen und konstatieren, dass die Strecke über Berlin weiter ist, unabhängig davon, wie schnell ich fahre oder wie ich beschleunige und abbremse. Insbs. weiß ich, dass eine derartige Reise für alle gleich lang ist, unabhängig davon, wie schnell sie fahren oder wie sie beschleunigen. Analog ist das mit den Eigenzeiten bzw. Längen der Weltlinien (außer dass der Entfernungsbegriff in der Minkowsi-Geometrie anders definiert ist).

[Ich]

Zitat von Slash

Um aber die Problemstellung anhand dieser Verfahren "einfach" lösen zu können, wären zumindest noch weitere Randbedingungen erforderlich, z.B. ob die Zwillinge beim Start v= 0 zueinander haben und ob sie auch beim Wiedersehen v=0 wieder haben sollen, sonst wird es denke ich wirklich unübersichtlich.

Ich habe OBdA mal angenommen, dass sie am Anfang in Ruhe zueinander sind und sich nach Ablauf einer gesetzten Zeit mir beliebiger Geschwindigkeit wieder treffen.

Außerdem müsste auch eine Beschleunigungsgrenze (z.B. maximale Schubkraft eines Triebwerks) definiert werden, um das noch übersichtlich lösen zu können.

Derlei Grenzen musst du nicht der Übersichtlichkeit halber einführen, sondern um überhaupt eine Lösung, wie speziell auch immer, zu erhalten. Weil der von dir postulierte Zusammenhang mit der Beschleunigung nicht existiert.

Wenn all dies der Fall ist, dann gilt - denke ich - in der Tat der Satz von Feldbaum, der verkürzt lautet: Gib Vollgas bis zur Mitte, bremse dann bis zum Schluss, so kommst du am weitesten in vorgebener Zeit, dann für den Rückweg natürlich das Gleiche, wobei man am Ende stillsteht.

Ja schön, hilft aber nicht wirklich für die Problematik. Zwei solche Profile zusammengesetzt würden wohl tatsächlich eine extremale Zeitdilatation unter den gegebenen Randbedingungen liefern, aber danach hat niemand gesucht. Die Frage war, ob das Beschleunigungsintegral auf die Zeitdilatation schließen lässt, und das ist nicht der Fall.

Nein, danke, mir reicht die Betrachtung im 3D-Raum !

Das ist auch 3D-Raum. Nur eben ein beschleunigtes Bezugssystem. Ich fasse das Ergebnis nochmal zusammen, dann muss man sich die Details nicht antun:
Wenn man die Bezugssysteme der beiden Zwillinge betrachtet, dann ist das eine ein Inertialsystem, das andere ist beschleunigt.
In inertialen Systemen gibt es nur die kinematische Zeitdilatation (von Geschwindigkeit herrührend, das, wovon wir hier immer reden). In beschleunigten Systemen gibt es zusätzlich gravitative Zeitdilatation.
Die kinematische Dilatation ist im wesentlichen gleich für beide Zwillinge. Nach ihr geht die Uhr des jeweils anderen langsamer. Das ist hübsch symmetrisch, und wenn das alles wäre, gäbe es ein Paradox.
Die gravitative Zeitdilatation im beschleunigten System aber bewirkt, dass am Schluss sich doch beide einig sind, wessen Uhr nachgeht: Die des Reisenden nämlich.

[Marco Polo]

Zitat von TomS

Ich würde nachmessen und konstatieren, dass die Strecke über Berlin weiter ist, unabhängig davon, wie schnell ich fahre oder wie ich beschleunige und abbremse. Insbs. weiß ich, dass eine derartige Reise für alle gleich lang ist, unabhängig davon, wie schnell sie fahren oder wie sie beschleunigen. Analog ist das mit den Eigenzeiten bzw. Längen der Weltlinien (außer dass der Entfernungsbegriff in der Minkowsi-Geometrie anders definiert ist).

Genau das ist der Kern der Problematik. Keine Ahnung, wie man das anders sehen kann.

[Slash]

Zitat von Marco Polo

Genau das ist der Kern der Problematik. Keine Ahnung, wie man das anders sehen kann.

Ich weiß ja nicht, ob du mich damit meinst, aber ich habe das auch nie bestritten.

Gegen was reagiert "man" denn hier so allergisch, nur weil einem das Wort Beschleunigung im Zusammenhang mit dem Zwillingsparadoxon nicht passt?

Und dass mindestens einmal ein Zwilling eine Geschwindigkeitsrichtungsänderung durchmacht ist in der Aufgabenstellung nunmal angelegt.

Es will doch niemand die Formel der Zeitdilatation in Frage stellen in diesem Kontext. Ich jedenfalls nicht, das kann ich gar nicht.

VG
Slash

[Marco Polo]

Zitat von Slash

Ich weiß ja nicht, ob du mich damit meinst...

Indirekt vielleicht schon.

Gegen was reagiert "man" denn hier so allergisch, nur weil einem das Wort Beschleunigung im Zusammenhang mit dem Zwillingsparadoxon nicht passt?

Ich habe nicht den Eindruck, dass auf die Beschleunigungsgeschichte hier allergisch reagiert wird. Eher sachlich.

Und dass mindestens einmal ein Zwilling eine Geschwindigkeitsrichtungsänderung durchmacht ist in der Aufgabenstellung nunmal angelegt.

Das bestreitet ja auch niemand.

Es will doch niemand die Formel der Zeitdilatation in Frage stellen in diesem Kontext. Ich jedenfalls nicht, das kann ich gar nicht.

Natürlich nicht.

[Slash]

Zitat von Ich

Die Frage war, ob das Beschleunigungsintegral auf die Zeitdilatation schließen lässt, und das ist nicht der Fall.

Mein Gedankengang war lediglich, dass ich einen Zusammenhang zwischen Beschleunigungsintegral und Weglänge herstellen will / wollte und das ganz einfach mit den üblichen Gleichungen der Technischen Mechanik, fertig.

Alles andere habe ich nicht behauptet und würde da um ein bisschen Fairness bitten.

Aber ich habe ein Wenig den Eindruck, dass man ein bisschen Spaß darain findet, andere misszuverstehen. Der kann auch falsch sein.

Bzgl. der anderen Aussagen wäre ich mir nicht so sicher. Die Herleitung des Satzes von Feldbaum ist meines Wissens nach sehr kompliziert und das Ergebnis sehr einfach. Mit offenen Randbedingungen geht es sicherlich auch.

VG
Slash