Das Proton im H-Atom

[Hawkwind]

Zitat von Benjamin

Ja, das stimmt, wenn gleich dem Potential ein Teilchen zugeordnet wird.



Das stimmt ebenso. Nur - wie auch du schon sagtest - bleibt an den Schwerpunktskoordinaten die qm Unschärfe haften, an den Relativ-Koordinaten aber nicht. Man tut sozusagen so, als ob der Abstand zwischen Proton und Elektron wohldefniert ist. Das Potential hängt schließlich von ihren Abstand ab. Der Abstand definiert sich über die Ortsvektoren. Die Ortsvektoren für sich unterliegen der Heissenbergschen Unschärfe. Der Abstand unterliegt ihr aber nicht. Warum?

Ich weiss nicht, ob du da nicht einen Denkfehler machst.

Die Ortsunschärfe eines Quants erhältst du doch erst aus der Lösung eines Problems. So ergibt sich die Ortsunschärfe des Elektrons beim H-Atom aus der Energie-Eigenfunktion und hängt vom Orbital ab.
Du willst nun von vorn herein eine Unschärfe schon bei der Formulierung des Problems berücksichtigt wissen?
Wenn du nun die Lösung rücktransformierst ins Schwerpunktsystem, müsstest du die Ortsunschärfe des Protons im jeweiligen Zustand ableiten können. Interessiert aber eigentlich weniger - man will ja die Orbitale und v.a. die Energie-Eigenwerte dieser.

Einen Fehler macht man m.E. schon durch Einführung des elektrostatischen Coulomb-Potentials. Selbst wenn man die Dirac- statt der Schrödingergleichung löst (um relativistische Effekte und Spin zu berücksichtigen), so wäre doch eine quantenfeldtheoretische Formulierung (QED) angemessener. Deren Effekte berücksichtigt man dann störungsthoretisch (Lamb-Shift etc.).

Als nullte Näherung ist die Schrödingergl. im Coulomb-Potential aber sicher sehr brauchbar; es zeigt sich ja, dass die Korrekturen klein sind.

[eigenvector]

Zitat von Benjamin

Das stimmt ebenso. Nur - wie auch du schon sagtest - bleibt an den Schwerpunktskoordinaten die qm Unschärfe haften, an den Relativ-Koordinaten aber nicht. Man tut sozusagen so, als ob der Abstand zwischen Proton und Elektron wohldefniert ist. Das Potential hängt schließlich von ihren Abstand ab. Der Abstand definiert sich über die Ortsvektoren. Die Ortsvektoren für sich unterliegen der Heissenbergschen Unschärfe. Der Abstand unterliegt ihr aber nicht. Warum?

Nein, nein, nein.
Also nochmal:
Man kann das Problem in den Ortskoordinaten beider Teilchen behandeln. Die sind dann unscharf.
Man kann das Problem auch in Relativ- und Schwerpunktskoordinate behandeln. Die sind dann immer noch unscharf. Beide.

Es ist aber nicht so, dass die Relativ- und die Schwerpunkskoordinate und dann auch noch das Potential (in der Relativariablen) unscharf wäre. Das wäre redundant.

[Benjamin]

Ich habe leider nur wenig Zeit. Ich werde versuchen noch auf eure Beiträge einzugehen. Nur vorher eine Frage, die die Problematik eventuell besser zum Vorschein bringt: Wie sieht die Ortswellenfunktion des Protons im H-Atom aus?

[Benjamin]

Zitat von eigenvector

Man kann das Problem in den Ortskoordinaten beider Teilchen behandeln. Die sind dann unscharf.
Man kann das Problem auch in Relativ- und Schwerpunktskoordinate behandeln. Die sind dann immer noch unscharf. Beide.

Na ja... Ich würde sagen, wir haben uns beide etwas ungeschickt ausgedrückt. Hawkwind hat es bereits richtig angedeutet. Den Koordinaten selbst eine Unschärfe zuzusprechen ist irreführend. Das könnte den Eindruck erwecken, r in Psi(r,t) wäre irgendwie unscharf. Das stimmt freilich nicht. Erst die aus dem Problem ergebende Lösung zeigt uns die Unschärfe in Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf.

In dem Sinne sind natürlich die Aufenthaltsorte beider Teilchen, also Proton und Elektron, unscharf. Meine Kritik bestand jedoch darin, dass diese Unschärfe nicht ins Potential einfließt.

Es ist aber nicht so, dass die Relativ- und die Schwerpunkskoordinate und dann auch noch das Potential (in der Relativariablen) unscharf wäre. Das wäre redundant.

Und doch genau das ist das Potential, unscharf. Die SG ist in der Tat unbefriedigend in Hinblick darauf, was sich physikalisch wirklich abspielen dürfte. Es gibt keinen wohldefinierten Ort der Teilchen, genauso wenig wie es einen definierten Ort gibt, an dem sich die Ladung aufhält.

Die Ortswellenfunktionen (nicht die Energieniveaus!) der Elektronen im Atom führen meines Erachtens nur deshalb zu brauchbaren Ergebnissen, weil das Proton um das fast 2000-fache schwerer ist und es daher als ruhend angenommen werden kann. Die Ortswellenfunktion des Protons gleicht somit in guter Näherung einem freien Teilchen. Es ist insofern wohl auch nicht zweckmäßig nach Energieniveaus für das Proton zu suchen, weil es kaum vom Elektron beeinflusst wird. Umgekehrt gilt das natürlich nicht. Das Elektron kann auf viele verschiedene Arten "um das Elektron kreisen", sodass es viele verschiedene Energieniveaus gibt.

Das alles würde aber nicht so reibungslos funktionieren, wäre das Proton - sagen wir - nur 2-mal so schwer wie das Elektron. Ich vermute mal, die Energieniveaus ließen sich mit der 2-Körperlösung ermitteln. Aber wie würden die räumlichen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten aussehen? Die hübschen Orbitaldarstellungen aus den Physikbüchern würden nicht zutreffen, da eine nicht mehr zu vernachlässigende Bewegung des Protons, diese völlig verzerren täten. Folge dessen würde das auch die gesamte Molekülphysik um den Haufen werfen.

Apropos Molekülphysik: Dort wird sehr wohl dem Umstand Rechnung getragen, dass das Potential des Elektrons nicht scharf definiert über einen Ortsvektor r festgelegt werden kann. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung führt zu einer Art "Wechselwirkungswahrscheinlichkeit". Das H2-Molekül zB wird deshalb als bindend erklärt, weil eine deutliche Wahrscheinlichkeit besteht, dass das Proton des einen Atoms mit dem Elektron des anderen in Wechselwirkung tritt. Diese Wahrscheinlichkeit kommt beim Helium nicht zum Zug, hier überwiegt die Wahrscheinlichkeit einer Abstoßung aufgrund des Pauliprinzips, sollten sich die Atome zu nahe kommen. Deshalb gibt es auch kein He2-Molekül.
Letztlich fußt auch die QED auf solchen Wahrscheinlichkeitsannahmen bezüglich der em Wechselwirkung. Hier werden alle möglichen Abstände betrachtet, die die interagierenden Teilchen haben könnten, und daraus werden dann die Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die Ortsunschärfe fließt somit ins Potential ein! Sofern ich mich richtig erinnere gibt es dazu ja auch eine Herleitung der SG über Pfadintegrale nach Feynman.

[eigenvector]

Zitat von Benjamin

Die Ortswellenfunktionen (nicht die Energieniveaus!) der Elektronen [...]

Noch mal: Man betrachtet nicht die Ortswellenfunktion des Elektrons, sondern die Ortswellenfunktion der Relativkoordinaten.

[Benjamin]

Zitat von eigenvector

Noch mal: Man betrachtet nicht die Ortswellenfunktion des Elektrons, sondern die Ortswellenfunktion der Relativkoordinaten.

Ortswellenfunktion der Relativkoordinaten? Seit wann ordnet man Koordinaten eine Wellenfunktion zu? Du meinst wohl die Wellenfunktion eines sozusagen erfunden Teilchens mit der reduzierten Masse. Ja, dem bin ich mir natürlich bewusst, und war ich mir auch, als ich den obigen Beitrag schrieb.

[Hawkwind]

Zitat von Benjamin

Die Ortswellenfunktionen (nicht die Energieniveaus!) der Elektronen im Atom führen meines Erachtens nur deshalb zu brauchbaren Ergebnissen, weil das Proton um das fast 2000-fache schwerer ist und es daher als ruhend angenommen werden kann.

Das stimmt doch nicht: die Energieniveaus von Positronium z.B. werden mit genau derselben Schrödingergleichung berechnet wie die des Wasserstoffatoms. Und das ist auch okay so, wenn man die entsprechende "reduzierte Masse" verwendet, was in diesem Fall wegen der gleichgroßen Massen dann auch einen beträchtlichen Effekt ausmacht im Gegensatz zum H-Atom.

Positronium (Ps) is a system consisting of an electron and its anti-particle, a positron, bound together into an "exotic atom". Being unstable, the two particles annihilate each other to produce two gamma ray photons after an average lifetime of 142 ns in vacuum. The orbit of the two particles and the set of energy levels is similar to that of the hydrogen atom (electron and proton). However, because of the reduced mass, the frequencies associated with the spectral lines are less than half of those of the corresponding hydrogen lines.

aus
http://en.wikipedia.org/wiki/Positronium

[Benjamin]

Zitat von Hawkwind

Das stimmt doch nicht: die Energieniveaus von Positronium z.B. werden mit genau derselben Schrödingergleichung berechnet wie die des Wasserstoffatoms. Und das ist auch okay so, wenn man die entsprechende "reduzierte Masse" verwendet, was in diesem Fall wegen der gleichgroßen Massen dann auch einen beträchtlichen Effekt ausmacht im Gegensatz zum H-Atom.

Ich sprach von den Ortswellenfunktionen und den Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilungen. Und wie gesagt NICHT von den Energieniveaus, die ja augenscheinlich korrekt sind.

[Solkar]

Zitat von eigenvector

Nein, nein, nein.
Also nochmal:
Man kann das Problem in den Ortskoordinaten beider Teilchen behandeln. Die sind dann unscharf.
Man kann das Problem auch in Relativ- und Schwerpunktskoordinate behandeln. Die sind dann immer noch unscharf. Beide.

Es ist aber nicht so, dass die Relativ- und die Schwerpunkskoordinate und dann auch noch das Potential (in der Relativariablen) unscharf wäre. Das wäre redundant.

Zitat von Benjamin

Und doch genau das ist das Potential, unscharf. Die SG ist in der Tat unbefriedigend in Hinblick darauf, was sich physikalisch wirklich abspielen dürfte. Es gibt keinen wohldefinierten Ort der Teilchen, genauso wenig wie es einen definierten Ort gibt, an dem sich die Ladung aufhält.

Wie wär's denn, wenn Ihr mal die Kommutatoren anschriebet, mittels derer Berechnung Ihr zu Euren Schlussfolgerungen gekommen seid?


Grüsse, Solkar