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  #11  
Alt 17.08.07, 22:57
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Hi richy

Leider auch nicht richtig.

Kleine Hilfe: Wie berechnest du die Totalwahrscheinlichkeit, in max. drei Versuchen mit einem Würfel eine "Sechs" zu würfeln?

Grüsse, rene
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  #12  
Alt 18.08.07, 01:27
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Hi rene
Zitat:
Wie berechnest du die Totalwahrscheinlichkeit, in max. drei Versuchen mit einem Würfel eine "Sechs" zu würfeln?
1-drei mal keine sechs zu wuerfeln ?
drei mal keine sechs waere
5/6*5/6*5/6=125/216
1-125/216=91/216=0.421

Der Ansatz mit den Kombinationen war also falsch ?
Haette ich zunaechst fragen sollen und nicht gleich losrechnen.
Aber rein intuitiv, also wenn ich den Kandidaten b1,b2,b3 ...aufs Hemd male
schien mir das naehliegen.
Meine Wahrscheinlichkeiten der Gruppierungen sind also alle falsch ?

Im Moment stehe ich auch auf dem Schlauch mit der Hilfsfrage.
Na gut dann knoble ich mal weiter :-)
ciao

Geändert von richy (18.08.07 um 01:31 Uhr)
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  #13  
Alt 18.08.07, 01:45
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Hi rene


1-drei mal keine sechs zu wuerfeln ?
drei mal keine sechs waere
5/6*5/6*5/6=125/216
1-125/216=91/216=0.421
Genau.

Zitat:
Der Ansatz mit den Kombinationen war also falsch ?
Der Ansatz ist richtig. Wenn du nun die aus der hypergeometrischen Verteilung gewonnenen Einzelwahrscheinlichkeiten aus jeder Kombination für Leos Wahl wie oben im Würfelbeispiel berechnest, sollte das richtige Resultat herauskommen!

Ich war sehr überrascht, dass du den vergleichsweise schwierigen Teil meisterste, jedoch den leichteren Teil nicht.

Grüsse, rene
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  #14  
Alt 18.08.07, 03:10
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Hi rene
Ah, ich glaube mir daemmert es.
Leo wird nicht Prof wenn der oder der oder der Fall eintritt, sondern
der und der und der Fall nicht eintritt.
Addition von Wahrscheinlichkeiten ist meist verhaengnisvoll.
Manno dabei weiss ich das doch.

Ich finde den Raetselteil nicht wesentlich einfacher als die anderen Teile.
Man tappt hier doch schon leicht in die Falle.
Und die Berechnung der Kombinationen ist ja eher eine Fleissarbeit.

Die endgueltige Loesung ueberlasse ich mal den anderen Knoblern hier.
Dann haetten wir das gesamte Raetsel im dreier Team geloest.
Und Teamarbeit ist ja angesagt.

Hier nochmal das Zwischenresultat :

1)
Wahrscheinlichkeit der Gruppierung 7/462
Gewinnchance Ben :1/2
Gewinnchance Leo :1/2

2)
Wahrscheinlichkeit der Gruppierung 21/462
Gewinnchance Ben :1/2
Gewinnchance Leo :1/2

3)
Wahrscheinlichkeit der Gruppierung 84/462
Gewinnchance Ben :1/2
Gewinnchance Leo :1/2

4)
Wahrscheinlichkeit der Gruppierung 140/462
Gewinnchance Ben :3/4
Gewinnchance Leo :1/4

5)
Wahrscheinlichkeit der Gruppierung 210/462
Gewinnchance Ben : 1
Gewinnchance Leo : 0

Viele Gruesse
richy

Geändert von richy (18.08.07 um 03:34 Uhr)
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  #15  
Alt 20.08.07, 23:55
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Hi rene,

da ich mit hypergeometrischen Verteilungen bisher keine Bekanntschaft gemacht habe, wäre ich dir dankbar, mir die Lösung als PN zukommen zu lassen. Bin gespannt, ob Dan dabei eine Rolle spielt. Eigentlich müsste seine Chance bei Null liegen, oder?

Grüssle,

Marco Polo
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  #16  
Alt 21.08.07, 17:32
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

@Marco Polo

Dan spielt keine Rolle.
Die Hypergeometrische Verteilung ist nichts weiter als der Binominalkoeffizient.
Findest du auch im Pascalschen Dreieck. Hier schlummert sicherlich noch ein Puzzelstueck :-)
Die Zwischenloesung habe ich bischen schlampig angeschrieben. Eine ordentliche Darstellung waere in der Tat sinnvoll.
Das Raetsel solltest du jetzt mit der Zwischenloesung und renes Hilfskommentar loesen koennen.
p=1-na ?
ciao
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  #17  
Alt 21.08.07, 20:21
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Genau, richy. Die Hypergeometrische Verteilung ist nichts anderes als eine Verkettung von Binominalkoeffizienten mit n über k Parameter, deren Kombinationen jeder Teilmenge aus der Grundmenge multipliziert und ins Verhältnis zur Anzahl aller Kombinationen der Grundmenge gesetzt werden. Ich bringe das Erläuterungsbeispiel, das ich heute Morgen an Marco Polo per PN geschickt habe:

Aus einer Urne mit 5 roten, 3 blauen und 2 weissen Kugeln sollen 5 Kugeln zufällig ohne zurücklegen gezogen werden.
Es werden 3 rote, 1 blaue und 1 weisse Kugel gezogen:

p = (5 über 3) * (3 über 1) * (2 über 1) / (10 über 5)
p = 10 * 3 * 2 / 252 = 0.238

mit den Binominalkoeffizienten (n über k) = n! / (k! * (n-k)!)

Grüsse, rene

Geändert von rene (21.08.07 um 20:23 Uhr)
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  #18  
Alt 21.08.07, 21:58
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Hi rene MP
Die Kombinatorik ist ueberhaupt wichtigster Teil der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Eine Wahrscheinlichkeit berechnet sich ja immer ueber der Anzahl der "guenstigen" Falle / allen Faellen. Und die Anzahl der Faelle ergibt sich eben aus Ueberlegungen der Kombinatorik. In meiner Studienzeit fiel mir dieses Thema immer schwer, denn es ist eine Thematik die nicht zu unserem evolutionaeren Erfahrungsraum gehoert. Man verschaetzt sich hier nur allzuleicht.

Dementsprechend hatte ich auch einen Merkzettel mit Beispielen zur Kombinatorik.
Eine gute Morglichkeit ist es auch zunaechst experimentell (Blatt Papier) das Prinzip der Moeglichkeiten zu erkennen. Aber statt alle Faelle durchzuspielen, geht man dann ueber in die allgemeine Formulierung. Das spart Unmengen von Papier, bedarf aber etwas Erfahrung.

Ein schoenes einfachstes Beispiel ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit eines Sechsers im Lotto.
(Eine natueliche Herleitung des Binominalkoeffizienten)
****************************************
Ausgangspunkt :
Ich habe sechs Kugeln (Chancen) auf meinem Lottoschein getippt, im Ziehungsgeraet liegen 49 Kugeln.

1.Ziehung
*******
49 Moeglichkeiten gibt es. 6 sind fuer mich guenstig :
p1=6/49

2.Ziehung.
********
Es verbleiben noch 48 Kugeln im Geraet. Also 48 Moeglichkeiten.
Da ich einen 6-er tippen will, wurde auch eine meiner Tippzahlen bereits
in der ersten Ziehung "verbraucht". 5 stehen mir noch zur Verfuegung.
Die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Ziehung ist somit :
p2=5/48

Und jetzt sollte man das Prinzip schon erkannt haben:
p1=6/49
p2=5/48
pn=(6-n+1)/(49-n+1)

Damit ich einen 6 er getippt habe muessen diese Wahrscheinlichkeiten sequenziell a priori erfuellt werden. Man merke sich einfach, dass die Wahrscheinlichkeiten dann miteinander multipliziert werden:

Einschub:
Die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander a priorio eine 3 zu wuerfeln ist auch 1/6*1/6. Man sieht schoen. Habe ich bereits eine 3 gewuerfelt ist die Wahrscheinlichkeit 1/6. Das nennt man a posterio.
Und erklaert, warum es zwecklos ist beim Roulette zu warten bis oftmals rot gefallen ist und dann schwarz zu setzen :-)

a) p(sechser) = p1*p2..p6 = 6/49*5/48*4/47*3/46*2/45*1/44
b) p(sechser) = 1/13983816 etwa eins zu 14 Millionen

Wie kann man Ausdruck b noch beschreiben ?
Im Zaehler steht Z= 1*2*3*4*5*6 = 6! (sechs Fakultaet, gebongt :-)
Im Nenner steht N= 49*48*47*46*45*44
Das sind 6 Elemente, Zahlen.
49 ! waere 49*48*47*46*45*44*(43*42*41 ....2*1)
Wenn ich 49 ! mit 43 ! kuerze erhielte ich genau N
Warum 43 ! ? Weil 6 Elemente vorkommen. Es ist somit klar :
N=49 ! / (49-6) !

Die Chance einen Sechser zu Tippen ist somit Z / N = 6!*(49-6)! / 49!
( Ein 3 er ist weitaus schwieriger zu berechnen, aber )

Dieser Ausdruck sollte einem bekannt vorkommen. Es ist der Kehrwert des
Binominalkoeffizienten (6 ueber 49) (6|49) also (49 ueber 6) (49|6)
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
Das Pascalsche Dreieck laesst also auch beim Lotto Gruessen :-)

JGC reduziert seine Weltanschauung meist auf eine longitudinale Welle :-)
Wie kann ich jetzt also meine belaechelten Parallelwelten, G4 Hintergrundraum,
informatorische, organistaorische Kanaele,morphologische Felder und Burkhard Heims
sechsdimensionalen Hyperraum (meine Welt) hier noch einbringen ?
Zum Beispiel in der Form :
( Tatsaechlich eine gute Uebung zur Kombinatorik )
**************************************
Lassen wir Herrn Heim beiseite und betrachten "einfach" mal einen sechsdimensionalen Hyperwuerfel. Was ein Wuerfel ist solte bekannt sein. Der hat 6 Seitenflaechen.
god does not play dice !
Naja lassen wir ihn mal mit einem 6-D Hyperwuerfel das Spiel spielen.
Nennen wir die Seitenflaechen dieses Wuerfels METRON !

Aufgabe :
*******
Wieviele Seitenflaechen (METRONEN) hat ein sechdimensionaler Hyperwuerfel ?

Loesungsvorschlag : (ueber Bitcodierung der Seitenflaechen)
***************
( Topic kann man zu (i) springen.)

Ein D Dimensionaler Einheits Wuerfel besteht aus 2 hoch D Eckpunkten
Bsp: 3 Dimensional

0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

Enstpricht also genau der binaeren Codierung von 2 hoch D Zahlen
Dementsprechend besitzt ein Quadrat auch 2 ** 2 Ecken

Bsp: Flaechen eines 3 D Wuerfels
000 100 001 000 000 010
010 101 101 010 100 011
110 110 111 011 001 111
100 111 011 001 101 110

Man sieht: Bei der Flaeche eines 3 D Wuerfels definiert ueber dessen Ecken,
nimmt eine Dimension einen festen Wert 0/1 an. Dies kennzeichnet die Lage
der Flaeche. Waehrend die anderen Werte "variieren" 00 01 10 11
Das sind die Ecken des Quadrats
Jedes Variationspaar liefert 2**D/2**d =2**(D-d) Objekte.

************************************************** *****
JETZT KOMMT DER BINOMINALKOEFFIZIENT WIE BEI RENES RAETSEL INS SPIEL :
************************************************** ****
(i)
Wieviel Variationspaare gibt es ?
Beispiel D=4 d=2, v kennzeichnet die variierte Dimension
vv__
v_v_
v__v
_vv_
_v_v
__vv
Das ist die Kombination von d Elementen in D. Somit gibt es D ueber d
Variationspaare.
Ein D-dimensionaler Koerper besitzt also n,gemaess folgender Formel, d-dimensionale Raender:
*********************
n=D!/d!/(D-d)!*2^(D-d)
*********************
Damit besitzt ein 6 D Hyperwuerfel 240 Seitenflaechen !
*****************************************

Interessant ist hier die Variation, die auch in renes Raetsel auftritt :
Zitat:
2.
***
Gruppe A: 5xB;1xD
Gruppe B: 4xL;2xB,
Anhand Gruppe B:
(B1,B2),(B1,B3) .... 6 Moeglichkeiten
(B2,B3),(B2,B4) .... 5 Moeglichkeiten ... etc

6+5+4+3+2+1=21 Moeglichkeiten
oder kuerzer 7 ueber 2 = 7!/5!/2! = 6*7/2=3*7=21
M=21
Das ist die Struktur die zur Variation fuehrt.
Fuer Coder,Informatiker :

Schleife 1, a1 festhalten :
(a1,a2) (a1,a3) ... (a1,an)
Schleife 2, a2 festhalten :
(a2,a3) (a2,a4) ... (a2,an)
etc, weiter innere Scheife :
(a3,a4) (a3,a4) ... (a3,an)
....
(a(n-1),a(n))

Erkennt man diese Struktur, kann man sofort den Binominalkoeffizienten anschreiben.


@Marco
renes Raetsel ist noch nicht geloest ! :-)

Geändert von richy (22.08.07 um 16:11 Uhr)
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  #19  
Alt 21.08.07, 23:36
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
@Marco
renes Raetsel ist noch nicht geloest ! :-)
Äh, , leider habe ich mir die Lösung schon von rene schicken lassen.

Das Beispiel mit der Urne war besonders einleuchtend. Hatte das mit n über k nicht kapiert. In einem Mathebuch stand: n über k = n!/(k!(n-k)!

dabei muss es doch für n über k heissen:

(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1))/k!

übrigens: toll erklärt mit dem Lotto

Grüssle,

Marco Polo
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  #20  
Alt 22.08.07, 00:03
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Beiträge: 716
Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Hi

Lotto 6 aus 49:
Anzahl Komb: (49,6) = 13'983'816

Anzahl Komb. für 6 Richtige: (6,6)*(43,0) = 1
Anzahl Komb. für 5+ Richtige: (6,5)*(42,0) = 6
Anzahl Komb. für 5 Richtige: (6,5)*(42,1) = 252
Anzahl Komb. für 4+ Richtige: (6,4)*(42,1) = 630
Anzahl Komb. für 4 Richtige: (6,4)*(42,2) = 12'915
Anzahl Komb. für 3 Richtige: (6,3)*(42,3) = 229'600
Anzahl Komb. für 2 Richtige: (6,2)*(42,4) = 1'678'950
Anzahl Komb. für 1 Richtige: (6,1)*(42,5) = 5'775'588

Grüsse, rene
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