Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[richy]

Die Motivation der komplexen Zahlen liegt allerdings nicht bei drehbaren Staeben sondern im Hauptsatz der Algebra :

Der folgende Satz von Gauss, auch als Hauptsatz der Algebra bekannt, gibt eine der grundsätzlichsten Motivationen zur Einführung der komplexen Zahlen:

Satz 1.12.1.1 Jedes Polynom vom Grad n>=1 über dem Körper K=C der komplexen Zahlen besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

http://www.iadm.uni-stuttgart.de/Lst...is/node59.html

Der Satz ist fuer praktische Anwendungen ungemein wichtig. Zunaechst ein einfacher Fall :
x^2-2*x+1=0 hat die Loesungen x1=1, x2=1
Man erwartet zwei Nullstellen aber diese fallen zusammen auf den Wert x=1.
Wenn man solch eine doppelte oder mehrfache Nullstelle als mehrere Nullstellen unterscheidet, dann lautet der Hauptsatz der Algebra :

Jedes Polynom vom Grad n weist (in C) n Nullstellen auf !
Und dann laesst sich jedes Polynom p(x,n) ungemein praktisch als Produkt darstellen :
p(x,n)=a*(x-x1)(x-x2)....(x-xn)
Wobei x1,x2....xn die Nullstellen sind.
Beispiel :
x^2-2*x+1=(x-1)*(x-1)

Der Satz sollte allgemein gueltig sein um ihn ohne irgendwelche Fallunterscheidungen, Einschraenkungen bequem anwenden zu koennen. Jetzt sagts du : "Hey stimmt doch alles gar nicht !"
"Schau dir mal die Funktion z^2+1=0 an ! (z=x+i*y) Die Funktion schneidet die x Achse nirgends und hat somit keine Nullstelle"

Abb1)

Yoh, tatsaechlich schneidet die Funktion die x Achse nirgends. So ein Mist. Damit wird das nix mit dem Hauptsatz. Oder doch ?
Die Nullstellen von z^+1=0 waeren Wurzel(-1) und -Wurzel(-1). Koennten wir mit diesen beiden irren Zahlen den Hauptsatz retten ? Probieren wir einfach mal aus :
(z- Wurzel(-1))*(z+ Wurzel(-1)) (dritte binomische) = z^2-(Wurzel(-1))^2
Wenn wir fuer Wurzel(-1) ein Symbol i festlegen fuer das gilt : i^2=-1, dann koenten wir unseren Produkt Nullstellensatz weiterhin anwenden.
z^2+1=(z-i)*(z+i)

Das ist super, aber wenn ich z^2+1 betrachte. Wo liegt denn dieses i ? Im Unendlichen ? oder ist es unscharf ? Es soll die x Achse schneiden. f(z)=0. Aber wo ?

EDIT:
Im weiteren betrachte ich aus Anschuungsgruenden |f(z)|=0.

Die Nullstelle liegt direkt vor deiner Nase, blos siehst du sie nicht. Weil Abb1) nur einen Schnitt durch die komplexe Ebene darstellt. Die Im-Achse steht wie eine zusaetzliche Dimension senkrecht auf der x Achse. Das hatten wir bereits gesehen. Sie zeigt somit in die Bildebene, den Monitor hinein.
Eine z-Achse gibt es nicht, denn z ist die komplexe Ebene selbst. f(z)=0 bedeutet somit den Schnitt der Funktion mit dieser Ebene. Praktisch dem Fussboden.
Ich habe mir mal die Muehe gemacht dies 3 D darzustellen :

Abb2)


Der Rahmen zeigt was wir in Abb1) gesehen haben. Lediglich einen Schnitt Im=0 durch die Funktion. Man sieht sehr schoen die Nullstellen (Schnit1 Schnitt 2), Schnitt der Funktion mit der Ebene f(z)=0
Der Schnittpunkt z=i schwebt in Abb1 somit vor dem Monitor und der Schnittpunkt z=-1 befindet sich dahinter
Abb2) sollte zu einem AHA Erlebnis fuehren.Mit der Vorstellung von etwas "Verschmiertem" wird das nix.


Gruesse