Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[Hawkwind]

Zitat von richy

Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein.

Ist auch ohne Polarform easy.
Gesucht sei die komplex Zahl z, die erfüllt:

(0) z = sqrt(i)

also ist Erfüllung der quadrierten Gleichung notwendige Bedingung:
(1) z*z = i

Nun stellen wir die unbekannte komplexe Zahl z durch ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y dar: z = x + i*y und setzen in (1) ein:

(2) x^2 - y^2 + 2*i*x*y = i

Zerlegung dieser Gl. in 2 Gleichungen für Real und Imaginärteil:

(2a) Realteil: x^2 - y^2 = 0 (Realteil von i ist ja 0)
(2b) Imaginärteil: 2*x*y = 1 (Imaginärteil von i ist 1)

Das sind 2 Gleichungen für die 2 reellen unbekannten x und y. Eine der Lösungen ist die von richy und benjamin angegebene. Eine 2. erhält man, da man bei Auflösung von (2a) vor Einsetzen in (2b) auch die negative Wurzel ziehen kann.

eine Lösung:
x = 1/sqrt(2),
y = 1/sqrt(2)
also z = 1/sqrt(2) + i/sqrt(2)

Bei den weiteren Lösungen mass man a bisserl aufpassen, nur die mitzunehmen, die auch Gl. (0) erfüllen. Durch das Quadrieren von Gl. (0) ist Gl. (1) nicht mehr äquivalent zu Gl. (0), sondern enthält weitere Lösungen, nämlich auch die für z = -sqrt(i).

Das ist übrigens reine Mathematik und hat nichts mit dem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Minkowskiraum zu tun.

[SCR]

Hallo zusammen,

die Fragestellung lautete: Lösung von sqrt(-2*i)

MEINE "Lösung" (auch wenn sie den mathematischen Anforderungen hier womöglich nicht genügen sollte):

i*i=-1

Wir nehmen für/statt i einmal x=+1 und einmal x=-1 an: sqrt(-2*x) mit ...

1.) x=+1: sqrt(-2*x) = sqrt(-2)
Lösung 1:
1.1.) -1,414... * +1,414... = -2
1.2.) +1,414... * -1,414... = -2

2.) x=-1: sqrt(-2*x) = sqrt(+2)
Lösung 2:
2.1.) +1,414... * +1,414... = +2
2.2.) -1,414... * -1,414... = +2

Feststellung:
Die beiden Vorzeichen treten bei der in dieser Form durchgeführten vollständigen Enumeration in exakt gleicher Häufigkeit auf, keine der obigen Lösungen ist dabei in irgendeiner Art und Weise ausgezeichnet.
-> Die Lösung von sqrt(-2*i) ist die Zahl 1,414... mit gleichberechtigtem Vorzeichen Plus und Minus (bzw. alternativ "mit uneindeutigem Vorzeichen").

Alles andere ist zwar in meinen Augen denkbar - Wäre dann aber "eine erzwungene Lösung" bzw. "als willkürliche Festlegung" zu betrachten (-> 'deutsche', 'internationale', ... 'Auslegung'?). IMHO.

Zitat von richy

Wurzel(-1) ist in England, Amerika gleich dem Vorzeichen von Null?

Da -0 = +0 erscheint mir DAS ehrlich gesagt noch als die zielführendste Definition des Vorzeichens von i.

Unabhängig von "meiner Lösung" - Ich hätte eine Frage an Dich, richy:
Wie habe ich Deiner Einschätzung nach (vor dem Hintergrund des aktuellen Sachstands) folgende Aussagen Einsteins zu beurteilen?

Zitat von SCR

Siehe hierzu auch Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 49; 1916; Albert Einstein:

sowie (aus anderen Quellen)

Zitat von Einstein

Wählt man das Koordinatensystem in gewohnter Weise von vorneherein so, daß √g=1 ist, [...]

bzw.

Zitat von Einstein

[...] so zeigt unser letztes Ergebnis doch, daß der Koordinatenwahl gemäß der Bedingung √-g=1 eine tiefe physikalische Berechtigung zukommt.

(Anmerkung: Die Vorzeichen bei √-g=1 bzw. √g=1 wurden korrekt aus dem jeweiligen Original übernommen)

[richy]

Hi Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Ist auch ohne Polarform easy.

Deine Rechnung moechte ich nochmals durchgehen. Aber es werden sich wohl die beiden moeglichen Loesungen wie bei den Wikis ergeben :

Wiki deutsch

oder Restwiki

où le signe de la partie imaginaire de la racine est
si b <> 0 : le signe de b
si b = 0 et a < 0 : le signe +
si b = 0 et a >= 0 : pas de signe (le nombre est nul).

Beide Angaben implizieren einen speziellen Hautwert ein spezielles arg(z), csgn(z)
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein ! Weil ein eindeutiger Hauptwert festgelegt werden muss. Es steht nicht frei einen solchen offen zu lassen. Er muss festgelegt werden. Das habe ich gerade auch in der Wiki Diskussion angefuehrt :

Zitat von richy bei WIKI

Hi LutzL

Die Gleichung x^2-x0=0 hat genau zwei Loesungen und die Gleichung x=Wurzel(x0) hat genau eine Loesung ! Und wenn ich beide Loesungen betrachten moechte, dann muss ich dies Kennzeichnen: x12=(+ -)Wurzel(x0). In einem Algebraprogramm waere x nun ein Vektor ! Man kann eine Variable, Speicherzelle nicht mehrdeutig mit zwei Werten belegen. Es wurde doch in der Diskussion hier schon dargestellt, dass kein Mathematiker schreiben wuerde Wurzel(1)=-1 sondern Wurzel(1)=1. Weil die Bedeutung des Wurzelsymbols eindeutig (leider nur im Reellen) als (H) Wurzel() festgelegt wurde. Und der Hauptwert als positive Loesung. Darueber gibt es keinerlei Diskussion, denn ansonsten waere der Hauptsatz der Algebra verletzt. Es gab bei dieser Festlegung zwar die Freiheit welchen Hauptwert man fuer das Wurzelzeichen verwendet, aber es gibt wegen dem Hauptsatz der Algebra keinerlei Freiheit darin, dass dies festgelegt werden muss und symbolisch gekennzeichnet werden muss. Aber natuerlich in solch einer Form, dass dies trotz Erweiterund der reellen Zahlen z.B. im Schulunterricht verstaendlich bleibt. Leider hat man hier einen schlechten, zweideutigen Weg bestritten. Man schreibt dem Wurzelsymbol im Reellen und Komplexen zweierlei Bedeutungen zu. Gemaess der Definition steht es hier tastsaechlich fuer alle Loesungen, die man bei einer n-ten Wurzel auch gar nicht speziell am Symbol kennzeichnen kann. Stattdessen kennzeichnet man den Hauptwert zum Beispiel mit dem Zusatz (H)Wurzel() und ohne diesen Zusatz, mit Wurzel(),sollen alle Loesungen gemeint sein. Im krassen Widerspruch zum Reellen. Dort macht es jeder Schueler richtig indem er die mehrdeutige Loesung mit (+-) kennzeichnet. Und man haette dies nur uebernehmen muessen und fuer alle Loesungen einer n-ten Wurzel ein spezielles Zeichen einfuehren muessen. Z.B. (~) oder etwas aehnliches. Nochmal : Es steht frei welches Winkelargument ich fuer die Definition des Hauptwertes verwende. Es steht aber nicht frei, dass ein eindeutiger Hauptwert definiert werden muss ! Es muss ein wohldefinierter Hauptwert existieren, ansonsten ist der Hauptsatz der Algebra hinfaellig. Und wenn Wiki England schreibt = (H) Wurzel(1)=1 und Wiki Deutschland (H) Wurzel(1)=-1 dann ist eine der beiden Aussagen eindeutig falsch. Und unter diesem Aspekt ist der deutsche Wiki Eintrag schlichtweg falsch.

Nochmals zusammengefasst :

Die missglueckte Symbolkonvention :

Wurzel() steht im Reellen fuer den Hauptwert

Wurzel() steht im Komplexen fuer alle Loesungen

+- Wurzel() steht im Reellen fuer beide Loesungen

(H) Wurzel() steht im Komplexen fuer den Hauptwert

Wenn man unter dieser Konvention die Wiki Eintraege zu komplexen Zahlen und Funktionen ueberpruefen wuerde, waere sicherlich jeder fehlerhaft.

@SCR
Die Sachlage ist ganz klar. Es muss ein Hauptwert, ein arg(z), ein csgn(z), fuer eine komplexe Wurzel festgelegt werden. Man kann dies verschieden ausdruecken und es ist eine reine Konvention, die aber zwingend durchgefuehrt werden muss. Neu Gedanken in deiner Form helfen hier wahrscheinlich wenig weiter. Ok man koennte sich danach richten welche Vereinbarung im physikalischen Bereicht oefters sinnvolle Aussagen ergibt. Es bleibt dennoch eine reine Definitionsangelegenheit und die kannst weder du noch ich fuer alle Mathematiker vereinbaren. Wobei die Vereinbarung laengst getroffen ist. Denn MAPLE stellt wie der Bronstein einen Standard dar. WIKI dagegen nicht.

Und damit ist folgendes per Definition falsch :
a) Wurzel(1)=-1
b) (H) Wurzel(-2*i)=-1+1
c) Wurzel(-2+i)=1-i, denn richtig waere [1-i,-1+i]

Und hier zeigt sich das Dilemma, denn a und b widersprechen sich weil das Wurzelsymbol im Komplexen so verwendet wird, dass es schizophren ist

Zu "Per Definition" :
Wenn mit dem Zeichen ">" eine spezielle logische Aussgae definiert ist, dann ist die Aussage 1>3 falsch. Nun kann ich festlegen, dass dieses Symbol bedeutet, 1 kleiner 3. Man koennte ueber jede mathematische Arbeit zunaechst schreiben, dass man das Groesser und Kleinerzeichen vertauscht definiert. Waere das sinnvoll ?

Gruesse

[Bauhof]

Zitat von richy

Und wenn Wiki England schreibt = (H) Wurzel(1)=1 und Wiki Deutschland (H) Wurzel(1)=-1 dann ist eine der beiden Aussagen eindeutig falsch. Und unter diesem Aspekt ist der deutsche Wiki Eintrag schlichtweg falsch.

Hallo Richy,

nicht nur die vorstehende Bemerkung ist für mich einsichtig, sondern auch dein gesamtes Zitat aus dem Wiki-Forum. Unter welchem Link ist dieses Zitat im Wiki-Forum finden, so dass man die dortige Diskussion verfolgen kann? Ich kenne das Wiki-Forum bislang noch nicht.

M.f.G. Eugen Bauhof

[richy]

Hi Eugen
Zu jedem Wiki Artikel gibt es eine Diskussionsseite. Einfach oben in der Leiste neben ARTIKEL die Flaeche DISKUSSION anklicken :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel
Direkter Link :
http://de.wikipedia.org/wiki/Diskuss..._Wurzel.28z.29

Das geht auch ohne Wiki Anmeldung. Jeder kann einen Wiki Artikel sofort aendern, aber natuerlich wird die Aenderung nicht gleich sichtbar. Sondern sie muss zuerst freigegeben werden. Dafuer gibt es spezielle Pesonen in einer besonderen Hirarchie. Wie diese genau aufgebaut ist weiss ich nicht. Die Qualitaet der Wiki Artikel haengt somit von diesem Personenkreis ab. Im Grunde kann man froh ueber Wiki sein und die Qualitaet ist schon ok. Aber Ausrutscher gibt es dennoch. Z.B gibt es auch im Artikel ueber Hammond Orgeln einen gravierenden Fehler bezueglich der angeblichen absoluten Phasenempfindlichkeit des Gehoers. Eine solche gibt es gar nicht.
Ich bin mal gespannt ob man den Artikel aendern wird. Und der aus Wiki Ungarn ware auch betroffen.
Gruesse

[EMI]

Zitat von richy

Ich bin mal gespannt ob man den Artikel aendern wird. Und der aus Wiki Ungarn ware auch betroffen.

So schnell wohl nicht.

Zitat von Antwort von Wiki

Hi Richardon, nimm' Dir bitte ein nettes Analysis-I-Buch und ein Buch zur Funktionentheorie. Die reelle Wurzelfunktion ist sehr wohl eindeutig definiert, auf dem positiven Halbstrahl mit positiven Werten (und Null). Und nur in diesem Fall wird das Wurzelsymbol(korrekterweise) verwendet. Das heißt, das Wurzelsymbol ist für komplexe Zahlen überhaupt nicht definiert und wird, außer fälschlich bei Anfängern, nicht mit komplexen Zahlen verwendet. Auch nicht auf dem Hauptzweig.
ist ein Fehler, den man wohlwollend als eine der Lösungen von z² = 1 − i interpretieren kann, aber nicht muss.
Nochmals: Die einzig diskutierwürdige Frage ist, welche Halbebene üblicherweise genommen wird, all Deine anderen Einwände sind keine (1=-1) bzw. haben nichts mit dem Thema zu tun (Fundamentalsatz der Algebra).--LutzL 18:01, 20. Jun. 2011 (CEST)

Gruß EMI

[richy]

Hi Emi
Auch im Bronstein wird der Ausdruck Wurzel(1-i) verwendet. Ich bin mal gespannt wie Herr Lutzl reagiert, dass er implizit Herrn Bronstein als einen Anfaenger der Mathematik bezeichnet hat.
http://de.wikipedia.org/wiki/Taschenbuch_der_Mathematik

Lutzl hat insofern recht, dass das Wurzelzeichen im komplexen eine andere Bedeutung hat. Es meint in der Tat alle Loesungen. Und das steht im Widerspruch zur Konvention im Reellen. Jetzt kann ich nicht immer dazuschreiben ob ich eine reelle oder komplexe Zahl meine. Es ist tatsaechlich so, dass hier eine Schreibreform notwendig waere. Fuer das Wurzelzeichen oder dessen Bedeutung. Und die wird sich aufgrund der Algebraprogramme wie MAPLE ergeben. Und dieses gibt vor, dass Wurzel(z) kompatibel zu Wurzel(x) den Hauptwert meint. Und das wird sich auch gegenueber der bisherigen Kovention durchsetzen. Weil dies im Gegensatz zur alten Konvention konsistent ist. LutzL meint aus diesem Grund gar Bronstein waere ein Anfaenger. Er denkt es gaebe gar kein Symbol fuer eine Wurzel im Komplexen. Das muss man sich mal geben.
Ich habe eine nichtlineare Wuzelkennlinie eines Filters. Schicke ein komplexwertiges Signal durch. Das darf es nicht geben ?

Ebenso stammt der definierte Ausdruck csgn() von MAPLE. Und daher gibt es im Grunde keinerlei Diskussion mehr wie der Hauptwert von Wurzel(-2*i) festgelegt ist.
Ich denke nicht dass bei Wiki Interesse an einem Nationalhauptwert einer komplexen Wurzel besteht. An einer deutschen Nationalwurzel. :-) In der Praxis ist die rechte Halbebene doch laengst festgelegt. Das hat sich lediglich bis zu manchen Theoretikern noch nicht herumgesprochen. Den Fehler arg(z)=[0..2Pi] findet man daher auch bevorzugt auf Mathematikseiten !
Gruesse

[Bauhof]

Zitat von richy

Hi Eugen
Zu jedem Wiki Artikel gibt es eine Diskussionsseite. Einfach oben in der Leiste neben ARTIKEL die Flaeche DISKUSSION anklicken :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel
Direkter Link :
http://de.wikipedia.org/wiki/Diskuss..._Wurzel.28z.29

Hallo richy,

danke für den Hinweis, ich las soeben die Antwort von "Lutzl", dass die Wurzel aus einer komplexen Zahl überhaupt nicht definiert sei Diese Behauptung erscheint mir sehr befremdlich. In meinem Bronstein aus dem Jahre 2001 existiert auf Seite 38 folgendes Kapitel:

1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl

Dort ist u.a. definiert:
z^1/n = n-te Wurzel aus z mit n>0, ganz.
Dazu eine geometrische Interpretation für n=6.
Allerdings ist vermerkt, dass das Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl stets n verschiedene Lösungen liefert. Die Wurzel-Operation ist also nicht eindeutig. Vielleicht meint "Lutzl" das mit "nicht definiert".

Vielleicht liegt wieder mal nur grandioses Vorbeireden vor.

M.f.G. Eugen Bauhof

[richy]

@Eugen
Hast du alle Buecher im Regal oder wie kommst du an den Bronstein ?

[richy]

Vielleicht liegt wieder mal nur grandioses Vorbeireden vor.

Nee, die Angelegenheit ist nun mal leider etwas verzwickter.

Allerdings ist vermerkt, dass das Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl stets n verschiedene Lösungen liefert. Die Wurzel-Operation ist also nicht eindeutig.

Genau. Die komplexe Wurzel ist ueber die Gleichung z^2=z0 definiert. Im Reellen ist die Wurzelfunktion aber eindeutig. Per Definition nicht die mehrdeutige Umkehrfunktion von x^2=x0.



Das hatte ich in der WIKI Diskussion tatsaechlich falsch formuliert. Und alleine die Abbildung oben zeigt den vermeintlichen Unterschied zwischen komplexer Wurzel und reeller Wurzel. Der voellig unnoetig waere, wenn man wenigstens fuer die komplexe Quadratwurzel ebenso wie im reellen eine eindeutige Vereinbarung treffen wuerde. Die lautet im Reellen : Der Hauptwert ist positiv.
Und da gibt es nichts dran zu ruetteln. Fehlt in der Grafik nicht der Ast mit den negativen Funktionswerten ? Per Definition : Nein !
Letzendlich fasst man die Grafik oben in einem Symbol oder einer Schreibweise zusammen : Wuzelzeichen, Wurzel(x), sqrt(x)
Dann ist im Reellen alles klar oder ?
Versuch nun mal alle Eigentuemlichkeiten des komplexen Falls auf den reellen Fall zu uebertragen. Dann zeigt sich am deutlichsten wo das Grunduebel liegt. An der fehlenden Festlegung eines eindeutigen Hauptwertes. Der muss festgelegt werden. Und das ist wie bei Wurzel(1) natuerlich sehr wohl moeglich.

Jetzt will man auch die Umkehrabbildung im Falle der komplexen Zahlen mit einem Symbol ausdruecken.Es waere quatsch zu sagen, dass hierfuer kein geeignetes Symbol existiert. Und nun ist den Mathematikern anscheinend ein kleiner Fehler unterlaufen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_...mplexen_Zahlen

Als die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl a in C bezeichnet man die Lösungen der Gleichung
z^n = a.

Alles schoen und gut, aber wie stellen wir diese mehrdeutige Funktion in einem Symbol dar ? Der Anfaenger Bronstein zeigt wie das geht. Genauso wie man +-Wurzel() schreiben kann waehlt er nun aber die Konvention, dass Wurzel() alle Loesungen meint und (H) Wurzel() den Hauptwert. Sehr sehr ungeschickt. Anfaenger eben :-)

Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) n-te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:

Und man koennte noch mehr tun. Wie im Reellen per Definition diesem (H) Quadrat Wurzelsymbol eindeutig einen der beiden moeglichen sinnvollen Werte zuschreiben. (Bei z^1/n, n>2 waere es evtl nicht einfach moeglich) Ein csgn(z) festlegen. Oder ein fest vorgeschriebenes arg(z). Beides fuehrt auf das selbe.
Und um das geht es gerade. Welchen der beiden moeglichen Hauptwerte nehmen wir ?

Nun wollte sich niemand so recht entscheiden was zu tun ware. Und darum haben die Praktiker, spaeter die Algebraprogrammhersteller diese Aufgabe uebernommen.

Thats all, Gruesse