Math - Einheitskugel

[Hermes]

Hallo zeitgenosse, Danke für die Erläuterungen!

Dieses Maximum bei n=5 beim zahlenmäßigen Betrag des Volumens finde ich auch sehr seltsam...
Vermutlich wäre es offensichtlich zu erkennen, warum das so ist, wenn man solche Objekte tatsächlich mit der Vorstellung oder sogar sinnlich fassen könnte. So bleibt es eine mysteriöse Information, die wohl einfach ihre Richtigkeit hat, ohne daß man es irgendwie wirklich verstehen kann....

[Sino]

Ja, interessant ist es schon. Denk nun auch schon 10 Minuten darüber nach, was das bedeuten kann.
Aber im Moment überleg ich, ob das überhaupt was bedeuten muss, also aus physikalischer Sicht.

Die Volumina wären doch physikalisch nicht vergleichbar durch den Dimensionsunterschied.
Das Verhältnis V/r ist beim 2-d Gebilde (Kreisfläche) eine Länge, bei der normalen Kugel eine Fläche, beim 4-d Fall ein Volumen usw.

( Da fällt einem automatisch wieder das Urknall-Luftbalon-Aufblas-Modell ein. Der Radius des Balons ist die Zeitachse, die Oberfläche der Raum. Eine Dimension höher gedacht, 4D-Raumzeit, Zeitachse ist wieder Radius, hinter dem Quotienten aus Volumen und Radius steckt dann ein 3-dimensionaler Raum. )

Also, was ich ja eigentlich meinte, ist dass man irgendwie in meinen Augen schlecht Verhältnisse von Volumen und Radius verschiedendimensionaler Hyperkugeln vergleichen kann. Die sind nur zufällig reelle Zahlen, weil man die Beträge genommen hat. Normalerweise sind sie gerichtete Grössen verschiedener Dimensionalität.

( Da lob ich mit wieder die geometrische Algebra. Wenn ich da V/r schreibe, dann kann ich das direkt mit gerichteten Grössen machen und dann kommt da das wirkliche geometrische Objekt raus. Da kann man immer noch den Betrag nehmen, wenn man sich dafür interessiert. edit: ok, hier ist es auch mit Vektorrechnung sichtbar, da hier bei V die Richtung nicht interessiert. )

Aber vielleicht überseh ich auch etwas und die Quotienten bedeuten doch irgendwas ausserhalb des Objektes, auf das sie sich beziehen.

[Hermes]

Je länger ich als Nichtmathematiker (im Vergleich zu einigen hier) darüber nachdenke desto klarer wird es mir.
Nein, vorstellen kann ich mir das nicht, aber ich bin mir sicher, daß es einen schlichten geometrischen Grund gibt. Damit meine ich wenn wir dieses höherdimensionale Gebilde sinnlich erfassen könnten wäre diese Eigenschaft auf die gleiche Art und Weise einleuchtend und selbstverständlich wie man eben die Eigenschaften einer normalen Kugel oder den Umgang mit Perspektive im gewohnten Raum versteht.
Wenn man diese Wahrnehmungsmöglichkeit hat, ergibt sich ein Verstehen davon von selbst. Ein Neugeborenes befindet sich noch im 'dimensionalen Chaos' und erlernt den Umgang mit Raum und Zeit erst noch, so könnten wir das vielleicht auch mit weiteren Dimensionen, wenn es uns gelänge, bewußten Zugang zu finden. (Teil davon sind wir ja sowieso schon!)

Das ist jetzt natürlich spekulativ oder zumindest subjektiv meinerseits.
Kennt jemand eine Animation zu einer in unserem Raum rotierenden 4D-Kugel ähnlich wie den bekannten Tesserakt?
http://www.youtube.com/watch?v=l_jKXFSgZAQ

Frage mich ob das wohl schlichter als der Würfel einfach eine auftauchende, wachsende und wieder schrumpfende Kugel ist.

[zeitgenosse]

Im Kontext interessant ist die Keplersche Vermutung (dichteste Kugelpackung im euklidischen 3-Raum), erfüllt durch kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Packungen (Beweis von Hale, 1998). Dabei tritt die sog. Kusszahl in Erscheinung, also diejenge Zahl der maximalen Anzahl von Kugeln im euklidischen Raum, welche die zentrale Einheitskugel ohne Überschneidungen berühren. In Dimension 3 sind es zwölf Kugeln (wie schon Newton richtig vermutete).

Gr. zg