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  #1  
Alt 07.06.12, 02:39
Physikus Physikus ist offline
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Standard Math-Gedankenexperiment Unendlichkeit

Hey,

in einer Diskussionsrunde entstand folgene Frage:

was ist wenn man sich in irgend einer Form Undenlichkeit vorstellt..würde diese Fähigkeit denn nicht ein unendlich großes Gehirn voraussetzen?

Warum können wir uns totzdem einen unendlichen Raum vorstellen?
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  #2  
Alt 07.06.12, 03:50
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Physikus Beitrag anzeigen
in einer Diskussionsrunde entstand folgene Frage:

was ist wenn man sich in irgend einer Form Undenlichkeit vorstellt..würde diese Fähigkeit denn nicht ein unendlich großes Gehirn voraussetzen?

Warum können wir uns totzdem einen unendlichen Raum vorstellen?
Wir können uns eigentlich auch keinen unendlich grossen Raum vorstellen. Zumindest nicht bildlich. Also ich kanns zumindest nicht.

Z.B. bei einer offenen Zahlenreihe weiss ich, dass diese unendlich sein muss. Es gibt ja keine grösste Zahl. Es gibt immer noch eine, die grösser ist usw..

Dieses Wissen befähigt mich aber nicht, mir diese unendliche Zahlenreihe in seiner Gesamtheit vorzustellen. Das hat einen Grund:

Es gibt nämlich keine klare Vorstellung von dieser Gesamtheit, also keinen exakten Wert, da dieser ja stets übertroffen werden kann.

Nimm unendlich und multipliziere mit dem Faktor 2. Das ist unendlich. Multipliziere unendlich mit unendlich und es ergibt sich unendlich. Oder teile unendlich durch 2. Ergibt unendlich.

Unendlichkeit ist nun mal prinzipiell ein unzugänglicher Begriff, auch wenn man weiss, dass es diese gibt.

Gute Nacht, Marco Polo
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  #3  
Alt 07.06.12, 10:00
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Physikus Beitrag anzeigen
Hey, in einer Diskussionsrunde entstand folgene Frage: was ist wenn man sich in irgend einer Form Undenlichkeit vorstellt..würde diese Fähigkeit denn nicht ein unendlich großes Gehirn voraussetzen? Warum können wir uns totzdem einen unendlichen Raum vorstellen?
Hallo Physikus,

es gibt in der Mathematik zwei Formen von Unendlichkeiten: das "aktual Unendliche" und das "potentiell Unendliche". Georg Cantor hat den Begriff des "aktual Unendlichen" eingeführt. Das aktual Unendliche ist zwar mathematisch fassbar, aber nicht gedanklich vorstellbar. Deshalb können wir uns auch nicht einen unendlichen Raum als Ganzes vorstellen, denn dieser würde unter den Begriff "aktual Unendlich" fallen.

Hingegen das potentiell Unendliche ist auch gedankliche vorstellbar. Zum Beispiel kann man sich die unendliche Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ..., n gedanklich in der Form erzeugen, indem man zur vermeintlich größten Zahl n die Zahl 1 addiert: n := n + 1.

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #4  
Alt 07.06.12, 10:51
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Bauhof Beitrag anzeigen
es gibt in der Mathematik zwei Formen von Unendlichkeiten: das "aktual Unendliche" und das "potentiell Unendliche". Georg Cantor hat den Begriff des "aktual Unendlichen" eingeführt. Das aktual Unendliche ist zwar mathematisch fassbar, aber nicht gedanklich vorstellbar. Deshalb können wir uns auch nicht einen unendlichen Raum als Ganzes vorstellen, denn dieser würde unter den Begriff "aktual Unendlich" fallen.

Hingegen das potentiell Unendliche ist auch gedankliche vorstellbar. Zum Beispiel kann man sich die unendliche Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ..., n gedanklich in der Form erzeugen, indem man zur vermeintlich größten Zahl n die Zahl 1 addiert: n := n + 1.
Hi Eugen,

ich sehe da keinen Unterschied. Ob jetzt ansteigende Zahlenreihe oder immer grösserer Raum bis hin zur Unendlichkeit.

Die Zahlenreihe ist doch nur ein eindimensionales Analogon zu der Vorstellung, dass auch dem Raum (wie bei der Zahlenreihe) immer noch einer draufgesetzt werden kann.

Genauso wie es keine grösste Zahl gibt, gibt es auch keinen grössten Raum. Es ist halt immer noch eine grössere Zahl/ein grösserer Raum denkbar.

Oder unterliege ich da jetzt einem Denkfehler?

Grüsse, MP
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  #5  
Alt 07.06.12, 13:04
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Hi Eugen, ich sehe da keinen Unterschied. Ob jetzt ansteigende Zahlenreihe oder immer grösserer Raum bis hin zur Unendlichkeit. Die Zahlenreihe ist doch nur ein eindimensionales Analogon zu der Vorstellung, dass auch dem Raum (wie bei der Zahlenreihe) immer noch einer draufgesetzt werden kann. Genauso wie es keine grösste Zahl gibt, gibt es auch keinen grössten Raum. Es ist halt immer noch eine grössere Zahl/ein grösserer Raum denkbar.

Oder unterliege ich da jetzt einem Denkfehler? Grüsse, MP
Hallo Marc,

kein Denkfehler, sondern vermutlich nur Wissensdefizit. Es gibt gravierende Unterschiede zwischen "aktual Unendlich" und "potentiell Unendlich". Ich werde recherchieren und mich wieder melden.

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #6  
Alt 07.06.12, 13:50
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Bauhof Beitrag anzeigen
kein Denkfehler, sondern vermutlich nur Wissensdefizit. Es gibt gravierende Unterschiede zwischen "aktual Unendlich" und "potentiell Unendlich". Ich werde recherchieren und mich wieder melden.
Bin gespannt, wie du den Unterschied herausstreichen wirst. Da bleibe ich wie eine Klette dran.
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  #7  
Alt 07.06.12, 17:14
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Bin gespannt, wie du den Unterschied herausstreichen wirst.
Hallo Marc,

die "potentielle Unendlichkeit" ist eine werdende, sich entfaltende, aber nicht abgeschlossene Unendlichkeit, da sie kein letztes, abschließendes Element hat. Unter einer "potentiell unendlichen Menge" stellt man sich einen unbegrenzt fortschreitenden Prozess der Erzeugung bestimmter Objekte vor, mittels dessen man zu jeder noch so großen endlichen Anzahl von Elementen der betrachteten Menge ein bestimmtes weiteres Element der Menge erhalten kann.

"Aktual unendlich" bezeichnet die Auffassung einer unendlichen Menge als ein fertiges, vollendetes Ganzes. Die klassische Mathematik und gleichzeitig die überwiegende Mehrheit der heutigen Mathematiker akzeptiert das aktual Unendliche für alle Mengen, die sich auf der Grundlage der Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre definieren lassen: Das Unendlichkeitsaxiom liefert die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen, das Potenzmengenaxiom die der reellen Zahlen.

Ich kann mir das Universum zwar als potentiell unendlich vorstellen, aber nicht als aktual unendlich. Denn da müsste ich mir das Universum als "unendlich fertiges, vollendetes Ganzes" vorstellen. Das führt zu einen unendlichen Gedanken-Regress.

Javier de Lorenzo Martinez schreibt auf Seite 6 in [1] dazu folgendes:
Zitat:
Zwischen "beliebig viele" und "unendlich viele" besteht ein philosophisch entscheidender Unterschied. Diese Begriffe - das potenziell Unendliche und das aktual Unendliche - zu klären hat die Mathematiker über die Jahrhunderte viel Mühe gekostet. Aber sie wollen das Unendliche nicht missen, denn ohne diese Begriffe wäre die Mathematik viel schwieriger.
[...]
Gibt es nur ein aktual Unendliches, nämlich das der natürlichen Zahlen? Anders ausgedrückt: Gibt es nur eine transfinite Kardinalzahl? Wer soeben erst die Zaghaftigkeit des potenziell Unendlichen überwunden und sich mit dem aktual Unendlichen angefreundet hat, wäre froh, wenn dieser unheimliche Bereich wenigstens in dem Sinne übersichtlich wäre, dass es nur ein Unendliches gäbe. Cantor zerstörte diese Illusion, indem er nachwies, dass es eine ganze Hierarchie von unendlichen Mengen gibt. Er zeigte sogar auf, wie man von einer gegebenen Menge zu einer mit größerer Kardinalität kommt: Man nehme die Menge ihrer Teilmengen. Zum Beweis dient das berühmte Diagonalverfahren.
[...]
Das Unendliche in seinen beiden Aspekten beherrscht und strukturiert die mathematische Tätigkeit. Mathematik betreiben bedeutet, so meinte Poincare, Geschichten erzählen über das Unendliche, obwohl kein Mathematiker je einen unendlichen Beweis oder eine unendliche Berechnung durchgeführt hat noch jemals durchführen wird.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Martinez, Javier de Lorenzo
Die Wissenschaft vom Unendlichen.
Aufsatz in: Spektrum der Wissenschaft spezial: Das Unendliche.
Heidelberg, Mai 2001.
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Hermann Minkowski

Ge?ndert von Bauhof (07.06.12 um 17:27 Uhr)
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  #8  
Alt 07.06.12, 19:29
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Ah ja. Danke Eugen. Ich denke ich habs verstanden.

Nehmen wir einfach unsere Zeit. Diese wäre demnach potentiell unendlich. Sie entwickelt sich ja noch in Richtung Unendlichkeit.

Ein unendlich vorgegebener Raum (er entwickelt sich ja nicht zur Unendlichkeit, da er dies bereits ist) wäre dann eben aktual unendlich.

Da gibt es tatsächlich einen Unterschied. Im ersteren Fall (potentielle Unendlichkeit) nehmen wir an dem Prozess hin zur Unendlichkeit teil, während wir im zweiteren Fall (aktuale Unendlichkeit), diese Unendlichkeit quasi vorgesetzt bekommen.

Jetzt stellt sich die Frage (und um die geht es), welche dieser beiden Unendlichkeiten vorstellbar ist.

Eindeutige Antwort: Es ist die potentielle Unendlichkeit.

Warum? Eben weil die potentielle Unendlichkeit immer von einem konkreten Wert +1 usw. ausgeht, während dies bei der aktualen Undendlichkeit nicht gegeben ist.

Um sich etwas vorzustellen, benötigen wir also immer etwas Konkretes auf dem wir aufbauen können.

Genau das geht der aktualen Unendlichkeit ab.

Danke für die Aufklärung.

Grüsse, Marco Polo
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  #9  
Alt 07.06.12, 20:06
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Jetzt stellt sich die Frage (und um die geht es), welche dieser beiden Unendlichkeiten vorstellbar ist. Eindeutige Antwort: Es ist die potentielle Unendlichkeit.

Warum? Eben weil die potentielle Unendlichkeit immer von einem konkreten Wert +1 usw. ausgeht, während dies bei der aktualen Undendlichkeit nicht gegeben ist.

Um sich etwas vorzustellen, benötigen wir also immer etwas Konkretes auf dem wir aufbauen können.

Genau das geht der aktualen Unendlichkeit ab.
Hallo Marc,

deiner Betrachtung stimme ich voll zu.
Als Georg Cantor das aktual Unendliche einführte, entbrannte leider ein böser Streit zwischen ihm und seinem Kollegen Kronecker. Das aktual Unendliche wollte Kronecker absolut nicht akzeptieren

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #10  
Alt 07.06.12, 20:38
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Standard AW: Gedankenexperiment Unendlichkeit

Zitat:
Zitat von Bauhof Beitrag anzeigen
Als Georg Cantor das aktual Unendliche einführte, entbrannte leider ein böser Streit zwischen ihm und seinem Kollegen Kronecker. Das aktual Unendliche wollte Kronecker absolut nicht akzeptieren
Das geht mir genauso wie Kronecker, Eugen. Ein Prozess hin zur Unendlichkeit (potentiell) scheint plausibel. Deswegen, weil diese potentielle Unendlichkeit zu jedem Zeitpunkt gar keine Unendlichkeit ist. Sie entwickelt sich ja erst in diese Richtung.

Aber eine aktuale Unendlichkeit übersteigt mein Vorstellungsvermögen. Die ist vielmehr völlig schwachsinnig, wenn du mich fragst. Man kann sich das einfach nicht vorstellen.

Diese aktuale Unendlichkeit muss ja irgendwo ihren Ursprung haben, würde ich fordern. Hat sie einen, wird sie aber automatisch zur potentiellen Unendlichkeit. Von einem Ursprung ausgehend, entwickelt sich eben alles immer nur hin zur potentiellen Unendlichkeit.

Nimm die Zeit. Bei der aktualen Unendlichkeit hätte diese weder Anfang noch Ende. Für mich unvorstellbar.

Da wird man bekloppt, wenn man sich die aktuale Unendlichkeit vorzustellen versucht. *verklärt guck*

Grüsse, Marco Polo
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