Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

[Zweifels]

Ich mach das jetzt mal auf eine andere Weise, und zwar mit meinem vorher definierten Funktionsvektor.
Ich nehme ein Dreidimensionales Koordinatensystem mit den Achsen x,y und z und beschreibe darin eine halbe Kugeloberfläche mit einem Radius r folgendermassen:
x = Wurzel (r²-z²)
y = Wurzel (r²-z²)
z := r = Wurzel (x²+y²+z²)
Ich nehme also erst zwei Koordinatensysteme an (xz und yz) und beschreibe mit allen möglichen z jeweils einen Halbkreis.
Dann nehme ich ein xyz Koordinatensystem an. Ich weiss, dass darin ein Punkt auf der Halbkugel auch r von z=0 entfernt liegt. Weiterhin weiss ich, dass ein Punkt P im xy Koordinatensystem P = Wurzel (x²+y²) vom Ursprung entfernt liegt. Wenn dieser Punkt P aber auf der Halbkugel liegen soll, muss er noch in z-Richtung eine Entfernung haben, die aber durch den Radius r definiert wird.
Dann leite ich alle Funktionen nach z ab und bekomme meine Mannigfaltigkeit.

Wer von euch könnte überprüfen, ob das stimmt und in wie weit stimmt es mit unsere Mathematik überein?