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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #21  
Alt 03.04.13, 21:32
Benutzerbild von Marco Polo
Marco Polo Marco Polo ist offline
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Standard AW: Lorentz-Transformation (Herleitung)

Hallo Gwunderi,

wir können ja mal als Einstieg die Formel für die Längenkontraktion anhand einer quer liegenden Lichtuhr herleiten.

Dazu betrachten wir zwei Inertialsysteme. Das S-System und das S'-System.

Im S'-Sytem ruht diese quer liegende Lichtuhr parallel zur x'-Achse.

Bei t'=0 und x'=0 startet jetzt ein Photon dieser Lichtuhr und bewegt sich in Richtung der positiven x'-Achse zum anderen Ende dieser Lichtuhr.

Ein Beobachter in diesem System, also dem S'-System, möchte jetzt die Länge l' dieser Lichtuhr ermitteln. Wie macht er das?

Er misst die Laufzeit t' des Photons vom linken zum rechten Ende der Lichtuhr und zurück.

l'=0,5 * ct'

0,5 deswegen, weil er bei der Messung von t' durch das hin und zurück "zweimal" die Länge l' berücksichtigt hat. Und wir wollen ja nur "einmal" die Länge von l' wissen.

Die Lichtuhr bewegt sich im anderen System, dem S-System, mit der Geschwindigkeit v in Richtung positiver x-Achse.

Im S-System hat die Lichtuhr aufgrund der Längenkontraktion die Länge l, die wir nun ebenfalls ermitteln möchten.

Da die Lichtuhr sich im S-System ja mit v bewegt, sollte klar sein, dass unser Photon jetzt für den Hin- und Rückweg innerhalb dieser Lichtuhr unterschiedlich lange Zeiten t1 und t2 benötigt. Ebenso sind natürlich die zurückgelegten Wege unterschiedlich lang. Nämlich:

l1=l+vt1 und l2=l-vt2 mit l1=ct1 und l2=ct2

daraus folgt:

t1(c-v)=l
t2(c+v)=l

Die Laufzeit t des Photons im S-System beträgt t1+t2.

t=t1+t2=l/(c-v)+l/(c+v)=(l(c+v)+l(c-v))/(c²-v²)

=2lc/(c²-v²)=2l/c *1/(1-v²/c²)

Wir haben jetzt so umgeformt, dass man schön das Quadrat des Gammafaktors sieht. Nämlich gamma²=1/(1-v²/c²).

Also ergibt sich für t:

t= gamma²*2l/c

Wir stellen nach l um und erhalten:

(1) l=ct/2gamma²

Die Länge im S'-System war ja

(2) l'=0,5 * ct'

Division von (1) durch (2) ergibt:

l'/l=gamma²*t'/t

l'/lgamma=gamma*t'/t mit t=t'*gamma

l'/lgamma=1

l=l'/gamma die bekannte Längenkontraktion


Man kann also mit Hilfe der Betrachtung eine quer liegenden Lichtuhr die Längenkontraktion herleiten.

Jetzt ist es nur noch ein kleiner Schritt zur Herleitung der Lorentz-Transformation aus ebendieser parallel liegenden Lichtuhr.

Super. Jetzt hab ich die 1. Halbzeit von Malaga-BVB verschlafen, fällt mir gerade auf. Mist.

Grüsse, Marco Polo
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  #22  
Alt 03.04.13, 22:39
Gwunderi Gwunderi ist offline
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Standard AW: Lorentz-Transformation (Herleitung)

Zitat:
Zitat von JoAx Beitrag anzeigen
Servus! Ja, dein Nick ist mir auch bekannt vorgekommen. Allerdings weiss ich nicht mehr, wo sich unsere Wege gekreuzt haben, bin nicht mehr so "weit" unterwegs im Web.
Ja das ist auch lange her, über zwei Jahre, da hatten wir über ein paar Monate hinweg intensiv über Bertelmanns Socken debattiert und gestritten. Hat mir persönlich sehr viel gebracht. Seither habe ich mich v.a. aus Zeitmangel nicht mehr beteiligt, aber die Physik bleibt halt meine grosse Liebe, und so werde ich mich wohl immer wieder ab und zu melden

Grüsslein, Gwunderi
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«Denn es ist ja in Wirklichkeit genau umgekehrt. Erst die Theorie entscheidet darüber, was man beobachten kann.» Albert Einstein zu Werner Heisenberg
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  #23  
Alt 03.04.13, 23:13
Gwunderi Gwunderi ist offline
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Standard AW: Lorentz-Transformation (Herleitung)

Hallo Marco,

Auch Dich "kenne" ich noch von den guten alten Zeiten - freut mich, wieder in Eurer Gemeinschaft zu sein

Habe mir Deine Formeln durchgeschaut, aber so auf die Schnelle nur die Hälfte nachvollziehen können. Sie sehen aber SEHR vielversprechend aus, denke, das wird tatsächlich des Rätsels Lösung sein. Muss mir eben alles nochmals selber aufschreiben, mit Skizzen und so, und es Schritt für Schritt nachrechnen (im PC kann man ja auch die Formeln nicht so schön darstellen).

Jetzt habe ich eben zwei arbeitsreiche Tage vor mir, da werde ich voraussichtlich abends total ausgelaugt sein, aber spätestens am Wochenende werde ich mir Deine Berechnungen wieder in Ruhe vornehmen. Ich danke Dir VIELMALS. Melde mich wieder wenn soweit.

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Super. Jetzt hab ich die 1. Halbzeit von Malaga-BVB verschlafen, fällt mir gerade auf. Mist.
Was war das? Ein Fussballspiel? So was von Langweiliges, und das nennst Du "verpasst"? Glaub mir, mir diese Formeln geliefert zu haben war viel sinnvoller, als einem dofen Ball hinterherzurennen ... (ist zumindest die Meinung einer Frau).

Grüsslein, Gwunderi
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  #24  
Alt 04.04.13, 11:27
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Solkar Solkar ist offline
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Standard AW: Lorentz-Transformation (Herleitung)

Hallo Gwunderi!

Haben die "2c/3" eigentlich ieine Sonderbedeutung für Deine Frage?

Falls nicht, möchte ich vorschlagen, dass wir erstmal die Betrachtung mit

|v_AQ| = |v_BQ| = c/2 = 0.5 c
und somit |v_AB| = 4c/5 = 0.8 c

betreiben; die Motivation liegt darin, möglichst einfach anzuschreibende Zahlwerte zu erhalten, und sich nicht unnötig um numerische Genaukeit sorgen zu müssen.

Grüsse, Solkar
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  #25  
Alt 04.04.13, 13:29
Gwunderi Gwunderi ist offline
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Standard AW: Lorentz-Transformation (Herleitung)

Zitat:
Zitat von Solkar Beitrag anzeigen
Hallo Gwunderi!

Haben die "2c/3" eigentlich ieine Sonderbedeutung für Deine Frage?

Falls nicht, möchte ich vorschlagen, dass wir erstmal die Betrachtung mit

|v_AQ| = |v_BQ| = c/2 = 0.5 c
und somit |v_AB| = 4c/5 = 0.8 c

betreiben; ...
Hallo Solkar,

Die 2c/3 waren nur ein Beispiel. In Deinem bewegen sich doch A und B parallel aber in entgegengesetzter Richtung mit 0.5 c von Q weg, wenn ich's richtig verstehe. Aber dann wäre ihre Relativgeschwindigkeit doch c; 1/2 + 1/2 gibt bei mir immer noch 1, oder?

(Habe mich kurz vom Geschäft ein eingeloggt.)

Grüsslein, Gwunderi
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  #26  
Alt 04.04.13, 14:16
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Solkar Solkar ist offline
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Hallo Gwunderi!

Zitat:
Zitat von Gwunderi Beitrag anzeigen
Aber dann wäre ihre Relativgeschwindigkeit doch c; 1/2 + 1/2 gibt bei mir immer
Nein. Die Relativgeschwindigkeit von A und B muss man dann relativistisch mittels des Additionstheorems errechnen.

Ich hab erst vorgestern für ein, zumindest formal ähnliches, Beispiel gezeigt
http://www.relativ-kritisch.net/foru...?p=50898#50898
dass bei der LT eben genau die so errechnete Relativgeschwindigkeit anzusetzen ist.

Man kann auch eine Plausibilitätsüberlegung dazu anstellen; der Gammafaktor hat einen Pol bei v=c und bei v > c würde er imaginär.


Beste Grüsse, Solkar

Ge?ndert von Solkar (04.04.13 um 14:23 Uhr)
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  #27  
Alt 04.04.13, 15:46
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Zitat:
Zitat von Gwunderi Beitrag anzeigen
Hallo Solkar,

Die 2c/3 waren nur ein Beispiel. In Deinem bewegen sich doch A und B parallel aber in entgegengesetzter Richtung mit 0.5 c von Q weg, wenn ich's richtig verstehe. Aber dann wäre ihre Relativgeschwindigkeit doch c; 1/2 + 1/2 gibt bei mir immer noch 1, oder?

(Habe mich kurz vom Geschäft ein eingeloggt.)

Grüsslein, Gwunderi
Sagen wir mal so: wenn sich im Laborsystem Objekt A nach rechts mit c/2 und B nach links mit c/2 vom Beobachter entfernen, dann ändert sich ihr Abstand voneinander im Laborsystem mit der "Rate" c.

Die Spezielle Relativität ist da aber aus gutem Grund genauer als die nichtrelativistische Mechanik und bezeichnet solche "Abstandsänderungs-Raten" nicht als "Relativgeschwindigkeit": eine Relativgeschwindigkeit von A zu B ist die Größe, die A in seinem Ruhesystem für das Objekt B misst. Numerische Vorhersagen für solche Relativgeschwindigkeiten liefert die relativistische Geschwindigkeitsaddition, die aus der Lorentz-Trafo folgt.
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  #28  
Alt 04.04.13, 18:37
Gwunderi Gwunderi ist offline
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Hallo Solkar, hallo Hawkwind

Ja, habe mir noch nie überlegt, wie man die Relativgeschwindigkeit überhaupt misst. Soweit ich über die SRT gelesen habe, ist sie immer schon vorgegeben.

Wie soll man diese relativistische Geschwindigkeitsaddition durchführen, wenn sie erst aus der Lorentz-Trafo folgt? Für die Lorentz-Trafo brauche ich doch erst mal die Relativgeschwindigkeit?

Aber jetzt will ich erst mal Marco's Berechnungen nachvollziehen, und dann wieder auf Eure Aussagen zurückkommen, sonst verwirrt's mich nur im Moment.

@Solkar: Bei Deinem Link versteh ich eh nur "Bahnhof" bzw. "Main Station", und das liegt nicht am Englischen.

Aber danke für Eure Erklärungen, werde später darauf zurückkommen

Grüsslein, Gwunderi
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  #29  
Alt 04.04.13, 19:47
Gwunderi Gwunderi ist offline
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Hallo Marco

Habe fast bis zum Schluss alles nachvollzogen - schön wie man zum t1 + t2 = 2l/c * gamma^2 kommt!

In Deiner drittletzten Zeile habe ich jetzt aber einen Knopf:

l'/lgamma = gamma*t'/t (sehe ich)

Aber wie kommst Du auf "mit t = t'*gamma"?

Das würde gelten wenn (l*gamma)/l' = 1 (was ja auch richtig ist)

Aber wie/woher wissen wir das jetzt schon? Sehe das gerade nicht, bzw. komme da nicht weiter ...

Macht gar nichts, wenn Du heute nicht mehr dazu kommst, muss jetzt eh zwischendurch auch mal was essen ...

Danke Dir und Grüsslein
Gwunderi
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Ge?ndert von Gwunderi (04.04.13 um 21:09 Uhr)
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  #30  
Alt 04.04.13, 21:07
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Marco Polo Marco Polo ist offline
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Hi,

Zitat:
Zitat von Gwunderi Beitrag anzeigen
Aber wie kommst Du auf "mit t = t'*gamma"?
das ist die Formel für die Zeitdilatation, die ich eingesetzt habe.

Und die kannst du ja ganz einfach mit dem Pythagoras aus deinem Eingangsbeispiel bestimmen.

c²t²=v²t²+c²t'²
t²(c²-v²)=c²t'²
t²=t'²/(1-v²/c²)
t=t'/sqrt(1-v²/c²)
t=t'*gamma mit gamma=1/sqrt(1-v²/c²)

Grüsse, Marco Polo
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