Neue LSG zur logistischen Abbildung

[richy]

Hi
Vorbemerkung
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Die logistische Gleichung ist der einfachste Prototy einer nichtlinearen Differenzengleichung-
y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k])
Die Gleichung ist fuer alle a analytisch unsloesbar. Fuer einen Speziallfall a=2
laesst sich die Gleichung jedoch loesen.

Der Loesungsweg ist hier dargestellt:
http://home.arcor.de/richardon/richy.../ana_index.htm

Skizze des Loesungsweges
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Dabei wird untersucht ob es einen Fall gibt in dem die veketteten Uebertagungspolynome eine einzige 2^n fache Nullstelle beim Schnitt mit dem invarianten Anfangswert aufweisen.
Es laesst sich ausnutzen, dass die Iteration der Umkehrfunktion genau den Nullstellen des n-fach verketteten Polynoms entspricht.
(Dieses Polynom stellt auch die Werte aller Anfangswerte im Schritt n dar )
Fuer den Parameterwert a=2 liegt tatsaechlich der Fall einer einzigen mehrfachen Nullstelle vor und damit laesst sich die Loeung der Gleichung sofort ermitteln.

Das selbe Verfahren soll nun auf die einfach verkettete logistische Gleichung angewendet werden. Diese erhaelt man, wenn man in der Gleichung
y[k+1]=a*y*(1-y)
y durch y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k])
ersetzt.
Anschaulich entspricht dies einer Zusammenfassung zweier Iterationsschritte der logistischen Gleichung.Man erhaelt die DZGL :

1) y[k+1]=a^2*y[k]*(1-y[k])*(1-a*y[k]*(1-y[k]))
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Diese Gleichung besitzt fuer a=2 dementsprechend die selbe Loesung wie die
logistische Gleichung. Im folgenden wird gezeigt, dass weitere Parameter a
auf eine einzige mehrfache Nullstelle des Uebertragumgspolynoms fuehren.
Jedoch erfuellt nur der Parameter 2 alle Loesungszweige.
Und daher laesst sich auf diesem einfachen Wegt keine neue Loesung ermitteln.
Ich lasse die Rechnung dennoch hier mal setehen.

Anmerkung
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Es muessen in der Berechnung die Nullstellen von Polynome 4 ten Grades berechnet werden.
Weiterhin werden etwas laengere Terme auftreten, so dass die Berechnung nur mit einem
analytischen Hilfsprogramm (MAPLE) in akzeptabler Zeit (ein Nachmittag) moeglich ist.

Die Formeln im ASCI Code sind natuerlich recht unleserlich.
Dafuer koennen diese sofort in das Programm Maple uebertragen werden.
Da das Ergebnis nun doch positiv ausgefallen ist, werde ich diese in einer folgenden Version durch besser lesbare Grafiken ersetzen.