Neue LSG zur logistischen Abbildung

[richy]

Hi
Ich habe das ganze nochmals uebrprueft.
Leider scheint die Vorgehensweise nicht mehr so einfach zu funktionieren.
Vermutlich muss der Parameter a eines invarianten Anfagswerts in allen Loesungszweigen 1-4 erfuellt sein.Diese Bedingung erfuellt aber einzigst a=2
Schade
Mal sehen ob ich dazu noch eine Idee habe.

[Hamilton]

Hi,
ich hab mir das mal flüchtig angesehen.
Das Ganze ist jetzt viel übersichtlicher - trotzdem habe ich einige Einwände. Z.B. Was sind Übertragungspolynome? Das ist kein allgemeiner Begriff.

Wenn ich das richtig verstehe, willst du (oder hast schon) eine geschlossene Form für die Lösung der logistischen Gleichung finden, also eine DZGL umformen in eine Form, die nur vom Anfangswert x0 abhängt und sofort das n-te Glied der Folge ausrechnet, ohne sich durch die ganzen Zwischenglieder zu hängen?!
Diese Art Lösung würde ich eher "geschlossene Form" nennen, statt analytisch. Analytisch bedeutet streng genommen etwas anderes.

Zunächst die Gute Nachricht: Deine Formel für a=2 ist richtig.
Nun die schlechte: Du bist leider nicht der erste...

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

Stephen Wolfram hat das schon gemacht und auch schon Lösungen für a=-2 und a=4 angegeben.

Ich hab mal ein bisschen rumgerechnet: Zur besseren Darstellung hier x=x_n
x_n+1
= 2x(1-x) = 2 ( x-x²)
= -2( (1/2-x)²-1/4)
= -2( (1/2-x)² - 1/4 )
=-1/2(1-2x)²+1/2 = 1/2 - 1/2 (1-2x)²
der letzte Ausdruck ist deiner Formel schon sehr ähnlich. In der Tat stellt sich raus, dass:
x_n+2 = 1/2 - 1/2 [1 - 1 + (1 -2x)(1-2x) ][1 - 1 + (1 -2x)(1-2x) ]= 1/2-1/2(1-2x)^4 etc..
so dass sich durch jede Iteration die Form nicht verändert, nur der Exponent an der Klammer verdoppelt sich jedes mal.

So, aber nun würde ich gerne deine Herleitung verstehen.
Ich hab deine Seite http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/lsg3.htm
gelesen jedoch:
Ich hab Probleme mit deiner Vorgehensweise und den Vokablen, die Du verwendest.

Also, ich glaube Dir ja, dass du diese Formel tatsächlich selbst erarbeitet hast, aber der Artikel dazu / die Herleitung hat damit ja überhaupt nichts zu tun. Du schreibst was von irgendwelchen Polynomen, von denen keiner weiß, wie sie aussehen, berechnest deren Schnittpunkte mit einer Konstanten- warum sagst du nicht- dann legst du fest- weil es schon schön einfach ist- dass es nur einen Schnuttpunkt höherer Ordnung gibt und rätst irgendwelche Konstanten und zum Schluss steht die fertige Formel da?!
Richy, das ist nichts- mach das nochmal!

Außerdem:

Die richtigen Nullstellen des Polynoms, also p(n)=0 gefallen mir nicht so sehr.

Sorry, aber sowas zu schreiben ist wirklich bescheuert!
Entweder die Nst. der Polynome tragen zur Lösung bei, oder nicht. Wenn nicht, kannst Du solche Sätze weglassen.

Kannst Du diesen Artikel bitte mal überarbeiten!?
Wenn das meiner wär, würde das später etwa so aussehen:

Für die Logistische DZGL x_n+1 = rx(1-x) kann für r=2 eine Lösung in geschlossener Form gefunden werden. Um diese zu erlangen, bediene man sich folgender Gegebenheiten: -- Die sollten dann alle fein säuberlich aufgelistet sein --
Danach folgt der kommentierte Lösungsweg- und zwar konkret und nachvollziehbar!
Die Kommentare sollten enthalten, was du warum machst.
Im jetzigen Zustand ist dein Artikel jedenfalls katastrophal!

[richy]

Hi Hamilton
Erstmal vielen Dank fuer den Link :
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
(Ueber welche Stichwortehast du den gefunden ?)

Wenn ich das richtig verstehe, willst du (oder hast schon) eine geschlossene Form für die Lösung der logistischen Gleichung finden, also eine DZGL umformen in eine Form, die nur vom Anfangswert x0 abhängt und sofort das n-te Glied der Folge ausrechnet, ohne sich durch die ganzen Zwischenglieder zu hängen?!

Genau. Ich will einfach eine analytische Loesung der DZGL finden.
Und klar.Fuer a=2 habe ich wie Wolfram die Loesung schon gefunden.
Aber auf einem sehr viel einfacheren Weg.
Mit analytisch wollte ich aiudruecken, das es keine numerische Loesung sein soll.
Denn eine solche stellt die Iteration selbst schon dar,
Mach WIKI ist der Begriff in diesem Zusammenhang korrekt:

Die Lösung eines Problems wird als analytisch bezeichnet, wenn sie – im Gegensatz zu numerischen Lösungen – in Form von bekannten Funktionen, Konstanten etc. angeschrieben werden kann.

Der Ausdruck "geschlossene Loesung" bedeutet das selbe.

Nun die schlechte: Du bist leider nicht der erste...

Naja warum schlecht ? Die Seite die du gepostet hast ist klasse.
Ich war halt ein Jahre zu spaet dran. Meine Loesung ist von 2003
Ich dachte eher daran, dass irgendein Mathematiker oder Amateur schon sehr viel frueher den selben Loesungsansatz hatte.
Wolfram hat wohl einen komplizierteren Weg gewaehlt, aber das Ergebnis ist natuerlich das gleiche.
Denn exp(2^n*ln(g(x)))=g(x)x^(2^n)

Der Satz ist natuerlich besonders hilfreich :

R. Germundsson (pers. comm., Apr. 25, 2002) has proved that no other solutions of this form are possible.

Hmm was meinst du ?
Heist dies die Gl ist sonst tatsaechlich unsloesbar oder nur mit dieser Methode nicht.

Und die Loesung fuer 4 ist super !
Haette ich nie fuer moeglich gehalten, dass es die gibt. *bin begeistert


Auch ueber den Loesungsansatz.

Wolfram scheint diesen postuliert zu haben.
Waere interessant zu wissen wie er darauf gekommen ist.

Was sind Übertragungspolynome?

Die Iteration hat eine Uebertragungsfunktion und diese stellt in der logistischen GL. ein quadratisches Polynom dar. Wolfram nennt die Polynome x(n)
Die verketteten Polynome x(x(x(x()))) vom Grad 2^n bilden den Schluessel zur Loesung der DZGL.
.
Ich habe x(n) als p(n) bezeichnet. p wegen "Polynom" und n gibt den Grad der Verkettung an.
Das habe ich sehr ausfuehrlich hier erklaert.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/ana6.htm

AUf der Mathworld Seite wird die verkettete Funktion auch benutzt :

Aehnliche Bilder findest du auch auf meiner Seite. r entspricht meinem a.
Jede Farbe steht fuer einen anderen Grad der Verkettung, Grad des Polynoms,Zeitschritt n.
Du siehst also die Entwickluung aller Anfamgswerte x in den Grafiken.
Der Fall =2 wird spaeter noch interessant. Leider ist in den Zeichnungen der Attaktor (r-1)/r
nicht eingezeichnet.

Diese Polynome haben ganz erstaunliche charateristische Eigenschaften.
Nicht nur dass sie die Loesung im n.ten Iterationsschritt derstellen.
Auf oben genannter Seite habe ich einige wichtige Eigenschaften genau erklaert.
Fuer meinen Loesungsweg braucht man die aber nicht einmal. Nur fuer meine anderen
analytischen Berechnungen.(Die alle nichts neues darstellen)
Die Mathworld Seite beschaeftigt sich mit diesen Berechnungen der Birfukationsstellen.
Es gibt viele weitere interessante Eigenschaften dieser Polynome

So, aber nun würde ich gerne deine Herleitung verstehen.

Dazu solltest du auf meiner Seite zunaechst die Bausteine 1-4 lesen.
Da werden alle Begriffe genau definiert.
http://home.arcor.de/richardon/richy.../ana_index.htm

Dann der Baustein :
"Die Nullstellen einer iterativen Funktion (Konrad)"
der zunaechst kompliziert erscheint.
Der Link zeigt eine weitere Eigenschaft der Polynome ist. Dass man ihre Nullstellen durch die Umkehrfunktion von y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k] iterativ berechnen kann.
Man kann dies auch einfach als einen Satz betrachten.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/lsg1.htm

Damit wird die Loesung recht einfach. Reine Schulmathematik

Erkenntis 1 :
Die veketteten Polynome stellen in jedem Iterationsschritt n den aktuellen Wert ALLER Anfangswerte 0..1 dar.
(Es handelt sich fuer jedes a um eine Klasse von Polynomen p(n,x).)
=>
Wenn ich das Bildungsgesetz der Polynome fuer alle n geschlossen anschreiben kann, habe ich die DZGL geloest.

UEBERLEGUNG.
Ein Polynom wird durch seine Nullstellen beschrieben.Der Grad der verketteten Polynome waechst mit 2^n. Es kommen also immer neue Nullstellen hinzu.

Erkenntis 2 :
Kanne ich ein geschlossenes Bildungsgesetz (also nicht in Form einer Iteration) fuer die Nullstellen angeben, dann habe ich die DZGL gesloest.
Dabei genuegt es die Nullstellen des Schnitts von p(n) mit einer beliebigen Gerade
zu kennen. Denn aus p'(n,x)=p(n,x)-c=0 folgt p(n,x)=p'(n,x)+c
(In meiner oder Wolframs Loesung resultiert daraus der Ausdruck 1/2)

TRICK :
Oh wie wunderbar waere es wenn die Polynome fuer irgendein a genau eine 2^n fache
Nullstelle haetten ! Also eine einzigste Nullstelle.
Dann haette das Polynom p'(n,x) die Form (x-x0)^(2*n)
Und ich koennte die Aufgabe loesen.

Aber ich kann doch pruefen ob es diesen Fall gibt ! Anhand des iterativen Nullstellenbestimmers f-1(). Da muss ich nur den Ausdruck unter der Wurzel gleich Null setzen und erhalte eine Bestimmungsgleichung fuer a !
Die Iteration bleibt dann konstant und damit die Nullstellle.
Und diese sagt mir fuer a=2 bleiben die Nullstellen konstant
Eine einzige 2^ n fache Nullstelle ! Und sie lautet x=1/2
Die zugehoerige Schnittgerade ist (a-1/a)=1/2

Das pruefe ich natuerlich nach und sehe. Alles hat seine Richtigkeit.
Der anfaengliche Wunsch ging in Erfuellung.
Nun hat k*p'(x) die selben Nullstellen wie p'(x). Ich muss noch eine Konstante bestimmen.
Das ist weniger kniffelig und habe dann die DZGL geloest.

Die richtigen Nullstellen des Polynoms, also p(n)=0 gefallen mir nicht so sehr.

Sie gefallen mir nicht weil ich keine Bestimmunggleichnung dafuer habe.
Ich habe aber eine Bestimmungsgleichung der Nullstellen von
p'(n)=p(n)-(a-1)/a
Daher gefaelllt mir dieses Polynom sehr sehr viel besser

Ich weiss ich hab alles teilweise etwas naiv formuliert. Damit es eben jeder verstehen kann.
Zudem hab ich die Loesung im Chaostheorieforum zusammen mit Konrad erarbeitet.
Die Texte von dort als Vorlage kopiert.

Wuerde mich freuen wenn du den Loesungsweg erkennst. Waere echt super.
Und du haettest auch was davon.
Es muss nur ein einmal click machen Und danach fraegt man sich, warum man da nicht vorher drauf gekommen ist.

Schade dass auf der Mathworldseite auf die Loesungen von Wolfram nicht weiter eingegangen wird.

Viele Gruesse

[richy]

Beispiel der Nullstellen in der komplexen Ebene.
(Wobei hier alle Kombinationen der Loesungszweige berechnet wurden. Das muss nicht so zutreffen)
http://home.arcor.de/richardon/richy.../pole/pole.htm
Die Nullstellen bilden eine Juliamenge

[richy]

Und warum mache ich das eigetlich alles ?
Eigentlich schon immer.
Auch im Rahmen meiner Diplomarbeit.Da stiess ich auf die Methode von TAM.
Die das Gaussche Fehlerintergal. z.b Approximation ueber Potenzreihen mit den
Integraltansformationen ueber die Lagrange Methode verbunden hat.
Es ergab sich eine neue Approximationsmethode und die Ergebnisse waren fuer meine
Begriffe unschlagbar.
Ich habe dann 5 Jahre lang an der Uni gearbeitet. Die Algorithmen immer weiter und weiter
verbessert. bis mein Arbeitsvetrag schliesslich nicht mehr verlaengert wurde.
Ich war aber wie besessen !
Habe danach fuer mich zuhause immer noch weiter numerische Differentatoren und Integratoren entworfen. Fuer niemenden. Nur fuer mich.Wie ein Idiot.
Wohl auch ein psychologisches Problem.

Mein Erstkontakt mit der Verhulst Gleichung war 1985.
Diese unscheinbare Gleichung hat mich geradezu verrueckt gemacht.
Nach knapp 20 Jahren konnte ich der Gleichung endlich eine Loesung entreissen.

Es ist doch voellig egal ob jemand anderes, Herr Wolfram auf anderem Wege
ebenfals zu einer Loesung gelangt ist. Anscheinend sogar ein Jahr zuvor.
Das beeintraechtigt meinen Weg zur Loesung doch in keinster Weise.
Im Gegenteil.
r=4
Ich frag nich jetzt:
Wow , wie hat er diesen Fall konkret geloest ?

[Marco Polo]

Zitat von richy

Ich war aber wie besessen !
Habe danach fuer mich zuhause immer noch weiter numerische Differentatoren und Integratoren entworfen. Fuer niemenden. Nur fuer mich.Wie ein Idiot.
Wohl auch ein psychologisches Problem.

Hi richy,

nein. Das ist kein psychologisches Problem, sondern vielmehr eine bewundernswerte Eigenschaft, die ausschliesslich Personen auszeichnet, die einen inneren Drang verspüren, den Dingen auf den Grund zu gehen.

Ich kann nur sagen: Hut ab vor deiner Erkenntnisgeilheit. Die muss man auch haben, um sich den tumben Verlockungen der Medienwelt erfolgreich zu entziehen. Fernsehprogramm? Was ist das?

Genau das unterscheidet einen intelligenten von Wissensgier geprägten Menschen von der wie blind durch das Leben stampfenden Allgemeinheit.

Willkommen im Club der Idioten.

Gruss, Marco Polo

[richy]

@Marco Polo

Du weisst aber ganz ganau dass unsere Welt so NICHT funktioniert !

Jeder Mensch traegt die menschlichen Funktionsprinzipien in sich.
Das faengt schon beim ersten Tanzkurs an.
Es sind ganz spezielle Eigenschaften die sich dann auch im weitern Lebensverlauf,
dem vortgeschrittennen Tanzkurs bewaeheren.
Die verbissene Suche nach Loesungen gehoert nicht dazu.

BTW:

Fernseher hab ich verschenkt.

Du hast aber recht.
Alle diese Dinge zaehlen nicht.
Man muss sich staendig neu orientieren. Sich auch staendig neu in Frage stellen

Danke fur das Lob :-)

[Marco Polo]

Zitat von richy

Du weisst aber ganz ganau dass unsere Welt so NICHT funktioniert !

Ja. Leider ist das tatsächlich so.

Ich habe kein Prob mit Frauen.
Mich immer nur irgendwie durch die Welt gef....
Also vielleicht doch ein Problem von mir ?

Nö. So erging es mir auch und vielleicht den meisten...?

Fernseher hab ich verschenkt.

Ich hab 2 riesengrosse Falchbildglotzen. Die stehen aber nur blöd rum. Ausser für Fuppes und DVD´s.

Du hast aber recht.
Alle diese Dinge zaehlen nicht.
Man muss sich staendig neu orientieren. Sich auch staendig neu in Frage stellen

Nur dann bleibt man Mensch.

Das kann man so stehen lassen, denke ich. Oh nein... schon wieder 4:00 Uhr durch...

Hab ne Menge vor heute. Also guat´s Nächtle.

Marco Polo

[richy]

Hi Marco
Ich hab meinen Thread noch bischen editiert.
Man editiert ja staendig :-)
ciao
und gute Nacht