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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 17.02.11, 14:24
Amiga-Freak Amiga-Freak ist offline
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Beiträge: 10
Standard Addition von Drehimpulsen

Hallo,

ich lerne momentan für eine Klausur an der Uni und irgendwie macht mir die Addition von Drehimpulsen in der Quantenmechanik ein bißchen Probleme.

Nehmen wir mal ganz simpel an ich habe einen Spin mit Quantenzahl S = 1/2 und einen Bahndrehimpuls mit Quantenzahlen L = 1

Dann gibt es ja für den Gesamtdrehimpuls die möglichen Quantenzahlen J = 3/2 und 1/2

Gut...nun wird diese Addition in Lehrbüchern meistens durch eine Vektoraddition illustriert (z.B. Demtröder, Experimentalphysik 3).
Damit habe ich aber meine Probleme.

Der Vektor eines Drehimpulses j hat ganz allgemein den Betrag Sqrt[j*(j+1)]*h_quer

In diesem Fall hat der Bahndrehimpulsvektor L also den Betrag Sqrt(2)h_quer und S den Betrag Sqrt[1/2*(3/2)]*h_quer


In der erwähnten Vektoraddition wird der Fall daß sich die Drehimpulse zu J = 3/2 addieren dargestellt als die Addition zweier paralleler Vektoren (also L || S).
Wenn das stimmen würde, müßte man die Beträge aber direkt addieren können und damit den Betrag von J erhalten. Das geht aber nicht!
Denn: Sqrt(2)h_quer + Sqrt[1/2*3/2]h_quer ist nicht gleich
Sqrt[3/2*(5/2)]h_quer ! Und Letzteres wäre eben der Betrag von J.

Also kurz: Von zwei parallelen Vektoren kann ich normalerweise direkt die Beträge addieren. Bei der Addition von Drehimpulsen haut das aber nicht hin, da sich die Beträge aus den Quantenzahlen berechnen.

Steh ich hier irgendwie auf dem Schlauch oder ist die Darstellung durch Vektoraddition in den Büchern einfach Murks

Ich habe vage im Gedächtnis daß auch unser Prof mal was in dieser Richtung gesagt hat, aber ich kann mich nicht mehr wirklich erinnern.

Kann da irgendwie jemand für Aufklärung sorgen?

Gruß,
Amiga-Freak

Geändert von Amiga-Freak (17.02.11 um 14:52 Uhr)
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  #2  
Alt 17.02.11, 16:54
Benutzerbild von eigenvector
eigenvector eigenvector ist offline
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Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Die Addition von Drehimpulsen durch Vektoren darzustellen, halte ich für irreführend, da Drehimpulse in der Quantenmechanik keine Vektoren sind.

Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen
Der Vektor eines Drehimpulses j hat ganz allgemein den Betrag Sqrt[j*(j+1)]*h_quer
Naja, nee, das kann man so nicht sagen.
Richtig wäre: Es gibt Eigenfunktionen von j² zum Eigenwert j*(j+1)*ℏ².

Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen
In diesem Fall hat der Bahndrehimpulsvektor L also den Betrag Sqrt(2)h_quer und S den Betrag Sqrt[1/2*(3/2)]*h_quer
Und auch hier wieder, es gibt Eigenfunktionen ...

Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen
In der erwähnten Vektoraddition wird der Fall daß sich die Drehimpulse zu J = 3/2 addieren dargestellt als die Addition zweier paralleler Vektoren (also L || S).
Wenn das stimmen würde, müßte man die Beträge aber direkt addieren können und damit den Betrag von J erhalten. Das geht aber nicht!
Denn: Sqrt(2)h_quer + Sqrt[1/2*3/2]h_quer ist nicht gleich
Sqrt[3/2*(5/2)]h_quer ! Und Letzteres wäre eben der Betrag von J.
Und hier ist das Problem. Wenn ich die Eigenfunktionen zu L² und S² kombiniere, also eine Funktion auf dem Produktraum erhalte, dann ist das leider keine Eigenfunktion von J².
Da J ein Drehimpulsoperator ist, gibt es natürlich wieder Eigenfunktionen von J², die sehen aber komplizierter aus. Ich verweise da mal auf die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Ich hoffe das hilft ein wenig.
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  #3  
Alt 17.02.11, 17:03
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen

Gut...nun wird diese Addition in Lehrbüchern meistens durch eine Vektoraddition illustriert (z.B. Demtröder, Experimentalphysik 3).
Das ist eigentlich eine ganz gute Eselsbrücke, finde ich.


Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen
Damit habe ich aber meine Probleme.

Der Vektor eines Drehimpulses j hat ganz allgemein den Betrag Sqrt[j*(j+1)]*h_quer
Eigentlich geht es dabei mehr um den Erwartungswert des Operators L^2. Dieser ist wichtig bei der Festlegung einer eindeutigen Basis von Eigenfunktionen; man kann simultane Eigenfunktionen zu L^2 und einer ausgewählten Komponente (meist Lz) finden (die sog. Kugelflächenfunktionen Ylm). Wendet man auf diese den Operator L^2 an, so bekommt man merkwürdigerweise l*(l+1) statt l^2.

Nach meinem Verständnis hat der Operator L^2 aber kaum physikalische Bedeutung - er dient mehr oder weniger nur dazu, eine eindeutige Basis zu finden und sonst nichts. In Problemen des Physik (z.B. Spin eines geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld) spielt immer die Komponente des Drehimpulses in einer ausgewählten Richtung die wesentliche Rolle.

Ich würde vorschlagen, lass dich nicht von der merkwürdigen absoluten Länge des Drehimpulsvektors in der Quantenmechanik irritieren; sie ist eine Hilfsgröße ohne allzu viel Bedeutung.

So hat mein altersschwaches Gedächtnis das zumindest in Erinnerung.
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  #4  
Alt 17.02.11, 18:18
Amiga-Freak Amiga-Freak ist offline
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Beiträge: 10
Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Zitat:
Zitat von eigenvector Beitrag anzeigen
Die Addition von Drehimpulsen durch Vektoren darzustellen, halte ich für irreführend, da Drehimpulse in der Quantenmechanik keine Vektoren sind.
So wird es halt leider immer dargestellt...

Zitat:
Zitat von eigenvector Beitrag anzeigen

"Zitat von Amiga-Freak:
Der Vektor eines Drehimpulses j hat ganz allgemein den Betrag Sqrt[j*(j+1)]*h_quer"


Naja, nee, das kann man so nicht sagen.
Richtig wäre: Es gibt Eigenfunktionen von j² zum Eigenwert j*(j+1)*ℏ².
Wie gesagt, so liest man es nur in zig Büchern - oder auch auf Webseiten wie hier: http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC...V/Addition.htm
(Abbildung 1, gleich ganz oben links).

Also kann man im Prinzip sagen, was ich bereits in meinem ersten Posting vermutet habe: "Die Darstellung durch Vektoraddition in den Büchern ist einfach Murks" ?
(bzw. eine Eselsbrücke bestenfalls ?)

Gruß,
Amiga-Freak
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  #5  
Alt 17.02.11, 18:43
Benutzerbild von eigenvector
eigenvector eigenvector ist offline
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Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen
Wie gesagt, so liest man es nur in zig Büchern - oder auch auf Webseiten wie hier: http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC...V/Addition.htm
Interessant was die Theoretischen Chemiker dazu meinen.
Sieht man sich die ersten Zeilen so an, ist da zumindest noch der Versuch es richtig zu machen.
Es gibt ein y, das offenbar Eigenfunktion zu den z-Komponenten zweier Drehimpulse und deren Quadrat ist. Das gleiche y soll anscheinend Eigenfunktion zu der z-Komponente der Summe der Drehimpulse und dem Quadrat der Summe sein.
Ich behaupte mal, da ist was faul, so einfach ist die Berechnung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten dann doch nicht.
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  #6  
Alt 17.02.11, 19:14
Benutzerbild von EMI
EMI EMI ist offline
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Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen
Also kann man im Prinzip sagen...: "Die Darstellung durch Vektoraddition in den Büchern ist einfach Murks" ?
Sicherlich nicht Amiga-Freak,

es handelt sich dabei ja um quantenmechanische Vektoren und deshalb können gleichzeitig nur das Quadrat des Drehimpulses und eine Projektion z.B. auf eine physikalisch ausgezeichnete Achse eindeutig bestimmbar sein.

Gruß EMI

PS: Ich habe, aus alten Zeiten, im Archiv auch noch einige 3,5 Zoll Disketten mit Amigaspielen rumliegen.
__________________
Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.
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  #7  
Alt 19.02.11, 14:29
Amiga-Freak Amiga-Freak ist offline
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Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Hmm...also irgendwie haben mir die bisherigen Antworten nicht so wirklich weitergeholfen. Vielleicht erkläre ich nochmal genauer was mein Problem ist.

Die folgenden Abbildungen stammen aus "Experimentalphysik 3" von Wolfgang Demtröder






Man hat da also zwei Elektronen mit der Spinquantenzahl 1/2.
Im Fall Ms = 0 steht da, der Betrag der Summe der beiden Vektoren sei Sqrt(2)*h_quer. Also eben Sqrt(S (S+1))h_quer mit dem Gesamtspin S = 1

Allerdings ist auch in den beiden Fällen (oben drüber) mit Ms = +1 und Ms = -1
der Gesamtspin ja S = 1 und der Betrag damit ebenfalls Sqrt(2)*h_quer.

Das passt aber ja einfach nicht mit der Darstellung als Vektoraddition zusammen.
Die einzelnen Vektoren sollen angeblich den Betrag Sqrt(3/4)*h_quer haben und die Summe dann den Betrag Sqrt(2)*h_quer.
Das ist halt einfach falsch. Denn Sqrt(3/4) + Sqrt(3/4) ist nicht gleich Sqrt(2).


Ich hab den Eindruck man hat mit gutem Grund in der Grafik, nur im Fall Ms = 0 den Betrag tatsächlich hingeschrieben und bei den beiden anderen Fällen nicht. Sonst wäre das gar zu auffällig.

Also: Ich würde sagen diesen Vektoren die "Länge" Sqrt(s(s+1))*h_quer "anzudichten" kann nicht richtig sein.

Schönen Gruß,
Amiga-Freak
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  #8  
Alt 19.02.11, 14:41
Amiga-Freak Amiga-Freak ist offline
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Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Zitat:
Zitat von EMI Beitrag anzeigen
PS: Ich habe, aus alten Zeiten, im Archiv auch noch einige 3,5 Zoll Disketten mit Amigaspielen rumliegen.
Ich hab einen A1200, der an meinem DSL-Router hängt. Unten ein Screenshot von meiner Workbench und dem Forum hier in "IBrowse 2.4"

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  #9  
Alt 19.02.11, 16:20
Benutzerbild von Marco Polo
Marco Polo Marco Polo ist offline
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Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Zitat:
Zitat von Amiga-Freak Beitrag anzeigen
Ich hab einen A1200, der an meinem DSL-Router hängt. Unten ein Screenshot von meiner Workbench und dem Forum hier in "IBrowse 2.4"

Ist schon witzig. Selber habe ich noch einen A500 in meinem Mottenschrank. Der liegt da seit gefühlten 25 Jahren.

Ich kann mich noch sehr gut an die durchgezockten Nächte mit der Weltraumhandelssimulation "Elite" erinnern. Das waren noch Zeiten.

Da ist man von Planet zu Planet mit illegalen Waren geflogen. Ständig auf der Hut vor dem Militär. War man erfolgreich, dann gabs Kohle für Extraausrüstung wie Andockcomputer und seitlichen Laser. Hahahaha...
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  #10  
Alt 19.02.11, 16:41
Eyk van Bommel Eyk van Bommel ist offline
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Registriert seit: 08.07.2007
Beiträge: 3.364
Standard AW: Addition von Drehimpulsen

Ich kann mich noch sehr gut an die durchgezockten Nächte mit der Weltraumhandelssimulation "Elite" erinnern.
Das war eins der besten Spiele überhaupt! Marco mach dich bereit zur Ladung Augen zu machen.

Nur noch „The Bard’s Tale“ hatte mich noch mehr gefesselt

Gruß
EVB
__________________
Phantasie ist wichtiger als Wissen, denn Wissen ist begrenzt. A.E
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