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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 05.08.08, 20:54
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Standard Neue LSG zur logistischen Abbildung

Hi
Vorbemerkung
**********
Die logistische Gleichung ist der einfachste Prototy einer nichtlinearen Differenzengleichung-
y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k])
Die Gleichung ist fuer alle a analytisch unsloesbar. Fuer einen Speziallfall a=2
laesst sich die Gleichung jedoch loesen.

Der Loesungsweg ist hier dargestellt:
http://home.arcor.de/richardon/richy.../ana_index.htm

Skizze des Loesungsweges
********************
Dabei wird untersucht ob es einen Fall gibt in dem die veketteten Uebertagungspolynome eine einzige 2^n fache Nullstelle beim Schnitt mit dem invarianten Anfangswert aufweisen.
Es laesst sich ausnutzen, dass die Iteration der Umkehrfunktion genau den Nullstellen des n-fach verketteten Polynoms entspricht.
(Dieses Polynom stellt auch die Werte aller Anfangswerte im Schritt n dar )
Fuer den Parameterwert a=2 liegt tatsaechlich der Fall einer einzigen mehrfachen Nullstelle vor und damit laesst sich die Loeung der Gleichung sofort ermitteln.

Das selbe Verfahren soll nun auf die einfach verkettete logistische Gleichung angewendet werden. Diese erhaelt man, wenn man in der Gleichung
y[k+1]=a*y*(1-y)
y durch y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k])
ersetzt.
Anschaulich entspricht dies einer Zusammenfassung zweier Iterationsschritte der logistischen Gleichung.Man erhaelt die DZGL :

1) y[k+1]=a^2*y[k]*(1-y[k])*(1-a*y[k]*(1-y[k]))
***************************************

Diese Gleichung besitzt fuer a=2 dementsprechend die selbe Loesung wie die
logistische Gleichung. Im folgenden wird gezeigt, dass weitere Parameter a
auf eine einzige mehrfache Nullstelle des Uebertragumgspolynoms fuehren.
Jedoch erfuellt nur der Parameter 2 alle Loesungszweige.
Und daher laesst sich auf diesem einfachen Wegt keine neue Loesung ermitteln.
Ich lasse die Rechnung dennoch hier mal setehen.

Anmerkung
********
Es muessen in der Berechnung die Nullstellen von Polynome 4 ten Grades berechnet werden.
Weiterhin werden etwas laengere Terme auftreten, so dass die Berechnung nur mit einem
analytischen Hilfsprogramm (MAPLE) in akzeptabler Zeit (ein Nachmittag) moeglich ist.

Die Formeln im ASCI Code sind natuerlich recht unleserlich.
Dafuer koennen diese sofort in das Programm Maple uebertragen werden.
Da das Ergebnis nun doch positiv ausgefallen ist, werde ich diese in einer folgenden Version durch besser lesbare Grafiken ersetzen.

Geändert von richy (07.08.08 um 03:17 Uhr)
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  #2  
Alt 05.08.08, 20:55
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Standard AW: Neue LSG zur logistischen Abbildung

Grundgedanke:

Die Methode, mit der ich die logistische Gleichung fuer den Parameter a=2 loesen
konnte moechte ich nun auf die erste Verkettung der logistischen Gleichung anwenden.

Ausgangspunkt ist somit die DZGL:
1) y[k+1]=a^2*y[k]*(1-y[k])*(1-a*y[k]*(1-y[k]))
***************************************

Die DZGL ist erster Ordnung und die Uebertragungsfunktion ein Polynom 4 ter Ordnung.

Die Vorgehensweise zur Loesung der logistischen Gleichung fuer r=2 war folgende :

1) Bestimmen der invarianten Anfangswerte aus y[k+1]-y[k]=0
2) Bilden der Umkehrfunktion der Abbildung.
Diese stellen die Nullstellen des verketteten Polynoms beim Schnitt mit dem Anfangswert
dar. (Das wird noch naeher erklaert)
3) Lassen sich Bedingungen finden, dass die Nullstellen konstant sind, so bedeutet dieser
Fall, dass das Polynom eine einzige mehrfache Nullstelle aufweist.
Dies soll fuer ein festes a gelten.
Damit ist eine Loesung der logistischen Abbildung gefunden.

Damit sind :
- In der Umkehrfunktion fuer y die invarianten Anfangswerte einzusetzen
- Unter dieser Voraussetzung die Funktion konstant zu halten.
(Es gibt weitere Moeglichkeiten identische Nullstellen zu erzeugen ! )
Diese solllen gesondert untersucht werden.

************************************************** *
Dass die Inverse Rekursion der Abbildung die Nullstellen des verketteten
Polynoms darstellen wird hier gezeigt :
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/lsg1.htm

************************************************** *

Bestimmen wir also zunaechst die invarianten Anfangswerte der Gleichung 1
y[k+1]=a^2*y[k]*(1-y[k])*(1-a*y[k]*(1-y[k]))

Aus y[k+1]-y[k]=0 erhalten wir die Bestimmungsgleichung fuer diese :
a^2*x-a^3*x^2+2*a^3*x^3-a^2*x^2-a^3*x^4-x = 0
Ein Polynom 4 ter Ordning, dass wir mit MAPLE loesen :

Wir erhalten fuer die Iteration folgende invariante Anfangswerte :
Zitat:
0
i) (a-1)/a,
ii) (1/2*a+1/2+1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a,
iii) (1/2*a+1/2-1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a
(Formel als Grafik folgt noch)

Nun bestimmen wir die Nullstellen des veketteten modifizierten Polynoms :
Dazu muessen wir die Umkehrfunktion eines Polynoms 4 ter Ordnung bilden und erhalten
4 Loesungszweige :
Es waere auch moeglich die Rueckwaertsiterrierte einfach zu verketten:

1) lsg1=y[k+1]=1/2*(a^2+(a^2*(a^2-2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2
2) lsg2=y[k+1]=1/2*(a^2-(a^2*(a^2-2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2
3) lsg3=y[k+1]=1/2*(a^2+(-a^2*(-a^2+2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2
4) lsg4=y[k+1]=-1/2*(-a^2+(-a^2*(-a^2+2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2

Diese Loesungen stellen Iterationen dar, die die Nullstellen erzeugen.
Damit diese Konstant bleiben sind fuer y[k] jeweils die ermittelten Attraktoren einzusetzen und unter dieser Bedingung alle Ausdruecke unter der Wurzel gleich 0 zu setzen.
(Formel als Grafik folgt noch)
Wir erhalten somit ohne die Null 12 Bestimmungsgleichungen fuer a:
(3 invariante Anfangswerte fuer 4 Gleichungen )
deren Loesungen fuer a hier angegeben sind. Fuer diese Werte von a laesst sich die
verkettete logistische Abbildung analytisch Loesen :

1,i) a=0,0,2
1,ii)a=0, 0, 1+(1-4*I)^(1/2), 1-(1-4*I)^(1/2)
1,iii)a=0,0
2,i) a=0,0,2
2,ii) 0, 0, 1+(1-4*I)^(1/2), 1-(1-4*I)^(1/2)
2,iii) a=0, 0
3,0) a=0,0,4
3,i) a=0, 0, -2, 2
3,ii) a=0, 0, 1+(1+4*I)^(1/2), 1-(1+4*I)^(1/2)
3.iii) a=0, 0, 1-5^(1/2), 5^(1/2)+1 (Die zugehoerige Nullstelle lauten 1/2)
4,i) a=0, 0, -2, 2
4,ii) a=0, 0, 1+(1+4*I)^(1/2), 1-(1+4*I)^(1/2)
4,iii) a= 0, 0, 1-5^(1/2), 5^(1/2)+1

Zusammenfassung der Ergebnisse im naechsten Thread.

Geändert von richy (06.08.08 um 17:19 Uhr)
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  #3  
Alt 05.08.08, 21:27
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Standard AW: Neue LSG zur logistischen Abbildung

MAPLE CODE DER BERECHNUNGEN
*************************

> restart;
> N:=5; y[0]:=x;
> # Iteratives Erzeugen der Verketteten Uebertragungsfunktion
> for i from 0 to N do
> y[i+1]:=a*y[i]*(1-y[i]);
> od:
>
> # Bestimmen der 2 Schritt invarianten Attraktoren
> yoi:=solve( y[2]-y[0]=0,x);
>
> #Bestimmen der inversen Funktion der 2-fachen Variante :
> #yo entspricht im vorherigen Text y[k]

> lsg:=(solve(y[2]=y0,x));

>
> # Im folgenden ist etwas Handarbeit erforderlich
> # Die invarianten Anfangswerte yoi[1..4] muessen
> # in die inverse Iterierte lsg[1..4] fuer y0 substituiert werden
> # Hier als Beispiel der 4 te invariante Anfangswert in den 4 ten Loesungszweig
> subs(y0=yoi[4],lsg[4]);

> # Man erhaelt einen laengeren Ausdruck in dem der Teil
> # nach dem ersten Additionszeichen im Zaehler zu Null
> # gesetzt werden muss, um zu gewaehrleisten, dass die
> # iterativ berechnete Nullstelle konstant bleibt.
> # Den Ausdruck kann man aus dem obigen Ergebnis kopieren
> # und in den folgenden Gleichungsloeser ensetzen :

> solve( kopierter Ausdruck=0,a);

> # Man erhaelt die Werte fuer a, die die vorausgesetzten
# Bedingungen erfuellen

Recht kurz oder ?
FERTIG :-)

Geändert von richy (05.08.08 um 21:29 Uhr)
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  #4  
Alt 05.08.08, 21:32
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Standard AW: Neue LSG zur logistischen Abbildung

Hi richy,

Du solltest unbedingt- bevor Du tonnenweise Krams postest- genau darüber Nachdenken:

Motivation:
-Was will ich zeigen? Wo will ich hin?
-Warum will ich das zeigen?

Methode:
-Mit welchen Methoden zeige ich das?
-Welche Annahmen mache ich?
-Welche Probleme treten auf?

Ergebnis:
-Was kommt raus?
-Entspricht das Ergebnis meinen Erwartungen?
-Kann man das noch verbessern?

Davon kann man ggf. abweichen, in jedem Fall ist eine Einleitung, wie etwa:
Zitat:
Die folgenden Berechnungen sind recht komplex. Es geht dabe um eine weitere Loesung der Verhulst Gleichung, logistischen Abbildung. Bzw um eine Variante dieser, die ch noch erlauetern werde.
ein förmlicher Rausschmiss.

Mach das lieber nochmal und erzähl was Du eigentlich machen willst und warum du es so machst, wie du es machst.
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman
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  #5  
Alt 05.08.08, 22:38
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CONCLUSION
**********
Die Methode funktioniert fuer die verkettete DZGL leider nicht, das keiner der Parameter a
alle Loesungszweige erfuellt.

Geändert von richy (07.08.08 um 03:21 Uhr)
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  #6  
Alt 05.08.08, 23:20
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Standard AW: Neue LSG zur logistischen Abbildung

Hi Hamilton

Ich verstehe deinen Einwand.
Zitat:
Du solltest unbedingt- bevor Du tonnenweise Krams postest- genau darüber Nachdenken:
Die Zusammenhaenge in meiner neuen Berechnung sind sehr komplex.
Es wundert mich daher auch nicht, dass du sie nicht verstehst.
Das ist mir aber eher egal, da es mir genuegt zu wissen was ich denn da mache.

Es ist kein Kram den ich hier poste, denn natuerlich habe ich mir zuvor
Gedanken ueber meine Vorgehensweise gemacht.
( Das habe ich auch in der Einleitung schon bemerkt )
Ausserdem ist "Kram" eine persoenliche Beleidigung, die ich dir aber nicht uebel nehme..
Die Berechnungen hier sind leider nur fuer jemanden verstaendlich, der nachvollziehen kann, wie ich die logistische Gleichung fuer den Parameter a=2 geloest habe.
Du hast dir hierfuer anscheinend bisher nicht die Muehe gemacht.

Ich kann alle deine Fragen detailliert beantworten.
Aber ich vermute mal, du wirst kein einiges Wort davon verstehen.
Das ist aber nicht mein Problem sonders deines !
Ich weiss dass du ein herrvorragender Mathematiker bist, aber Chaostheorie und nichtlineare Differenzengleichungen scheinen nicht zu deinem Spezialgebiet zu gehoeren.
Das ist aber gerade mein Spezialgebiet. Wenn du Berechnungen hierzu, also einem Gebiet in dem du dich hicht auskennst, dann als Kram bezeichnet.
Dann spricht das nicht gerade fuer dich.
Aber wie gesagt ich nehme dir das nicht uebel.
Antworten auf deine spezielle Fragen im naechsten Thread.

Geändert von richy (06.08.08 um 16:56 Uhr)
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  #7  
Alt 06.08.08, 00:21
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@Hamilon

Im folgenden habe ich deine Anregungen versucht auf den Ausgangsthread zu uebertragen.
Damit sind die Antworten auf deine spezielle Fragen hier doppelt und ich habe sie geloescht.
Sorry wenn ich bischen ueberreagiert habe

Viele Gruesse

Geändert von richy (06.08.08 um 16:59 Uhr)
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  #8  
Alt 06.08.08, 12:52
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Hamilton Hamilton ist offline
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Standard AW: Neue LSG zur logistischen Abbildung

Hey Richy,
nun fühl dich mal nicht gleich so auf den Schlips getreten.
Zufällig ist Nonlinear Dynamics & Chaos genau mein Spezialgebiet. Es ist daher nicht so, dass ich nicht verstehen würde worum es geht und dass ich das nicht wertschätzen würde- ganz im Gegenteil, ich finde es toll, wenn sich Leute damit beschäftigen- es geht mir hier einfach um die Präsentation deiner Ergebnisse!
Lesen und Verstehen kostet viel Zeit, deshalb ist es die Aufgabe eines Wissenschaftlers, seine Arbeit so knapp und verständlich darzustellen, wie möglich. Andernfalls liest sich das keiner durch und das ist ja nicht das, was du willst, oder?
Deshalb hat ein wissenschaftl. Paper auch meistens einen bestimmten Aufbau:
(Abstract) - Intro, Methods, Results, Conclusion, Outlook ..

Wenn Du hier deine Ergebnisse veröffentlichst, finde ich das ja gut! Aber du tust dir mit der Art, wie du es hier präsentierst selber keinen Gefallen, weil sich das so, wie es hier steht, niemand durchlesen wird.

Daher: nimm meinen Rat an- überlege dir vorher, worum es geht, was willst du zeigen? Was ist neu, an dem was du machst? Wie gehst du vor und was kommt dabei raus? Interpretiere dein Ergebnis.
Tonnenweise Rechnungen wird sich erst jemand durchlesen und nachvollziehen, wenn klar ist, dass sich das lohnt. Es ist deine Aufgabe, diese Motivation zu erzeugen!

Und häng dich nicht an dem Wort "Kram" auf- das war nicht böse gemeint, ich sage zu allen möglichen Dingen "Kram".
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
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  #9  
Alt 06.08.08, 13:35
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Zitat:
Zitat von Hamilton Beitrag anzeigen
Hey Richy,
Zufällig ist Nonlinear Dynamics & Chaos genau mein Spezialgebiet. Es ist daher nicht so, dass ich nicht verstehen würde worum es geht und dass ich das nicht wertschätzen würde- ganz im Gegenteil, ich finde es toll, wenn sich Leute damit beschäftigen- es geht mir hier einfach um die Präsentation deiner Ergebnisse!
Lesen und Verstehen kostet viel Zeit, deshalb ist es die Aufgabe eines Wissenschaftlers, seine Arbeit so knapp und verständlich darzustellen, wie möglich. Andernfalls liest sich das keiner durch und das ist ja nicht das, was du willst, oder?
Deshalb hat ein wissenschaftl. Paper auch meistens einen bestimmten Aufbau:
(Abstract) - Intro, Methods, Results, Conclusion, Outlook ..

Wenn Du hier deine Ergebnisse veröffentlichst, finde ich das ja gut! Aber du tust dir mit der Art, wie du es hier präsentierst selber keinen Gefallen, weil sich das so, wie es hier steht, niemand durchlesen wird.

Daher: nimm meinen Rat an- überlege dir vorher, worum es geht, was willst du zeigen? Was ist neu, an dem was du machst? Wie gehst du vor und was kommt dabei raus? Interpretiere dein Ergebnis.
Tonnenweise Rechnungen wird sich erst jemand durchlesen und nachvollziehen, wenn klar ist, dass sich das lohnt. Es ist deine Aufgabe, diese Motivation zu erzeugen!
Hallo richy,

dem habe ich nicht's hinzuzufügen.

Gruß EMI
__________________
Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.
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  #10  
Alt 06.08.08, 15:57
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Hi
Zitat:
Lesen und Verstehen kostet viel Zeit, deshalb ist es die Aufgabe eines Wissenschaftlers, seine Arbeit so knapp und verständlich darzustellen, wie möglich. Andernfalls liest sich das keiner durch und das ist ja nicht das, was du willst, oder?
Das mit der Zeit ist natuerlich ein Argument.Die ganze Rechnung ist zwar kein Hexenwerk, aber nun auch nicht ganz einfach. Ich will doch gerade, dass man es verstehen und nachvollziehen kann. Letzendlich auch wenn ich es mal wieder nachlese.Und deshalb hab ich ein bischen weit ausgeholt.
Ich versuche das ganze mal zu Kuerzen.
Dass hier Polynome 4 ter Ordnung auftreten und andere ziemlich ueble Ausdruecke kann ich aber auch nicht aendern.
Deswegen hab ich auch gleich zu anfang darauf hingewiesen, dass man die Berechnungen nur mit Maple durchfuehren kann.
Und klar ich muss die wichtigen Formeln noch als Grafik darstellen.
Ok, dann kuerze ich erstmal den Text und versuch morgen mal die Formeln reinzustellen.
Das Ergebnis waere wie gesagt, dass man die einfach verkettete logistische Gleichung fuer den Parameter a=1+Wurzel (5) loesen kann.
Das will ich aber auch erst noch genauer pruefen. Die hergeleiteten Bedingungen scheinen
mir nir notwendig, nicht hinreichend.

Viele Gruesse

Fertig:
Hoffe mal es ist nun verstaendlicher. Die wichtigsten Formeln als Grafik folgen noch.
Soll ich noch was weglassen oder ergaenzen ?
Ein wissenschaftliches Paper solls ja aber auch nicht gerade werden.

Geändert von richy (06.08.08 um 18:59 Uhr)
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