z^(m/n)-z0=0

[richy]

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Hi
Hab die Threadteile hier verschoben

Im alten Forum ging es mal um komplexe Zahlen. Ich hatte mir dann die Aufgabe ausgedacht die Wurzeln der Gleichung z^(1/Pi)=i zu berechnen.
Mit folgendem Hintergedanken :

Eigenzitat aus dem alten Thread
Zitat:
Bei der Aufgabenstellung z^(1/Pi)=i lag der Gag in der unendlichen Anzahl von Loesungen. Ich war mir dabei aber nicht sicher.
Pi oder e sollten nur Repraesentanten fuer irrationale Zahlen sein.
Ich war mir auch nicht sicher, ob in der Aufgabenstellung
z^(n/m)=i, z=i^(m/n) (m,n element N, teilerfremd) der Zaehler m Einfluss auf die Anzahl der Loesungen nimmt.

Eine kleine Beispielrechnung hat gezeigt :
- Alleine n bestimmt die Anzahl der Loesungen
- m bestimmt die Anzahl der "Umdrehungen" in der komplexen
Ebene bis eine Periodizitaet auftritt.

z^(1/Pi)=i besitzt also unendlich viele Loesungen auf dem Einheitskreis.
Ebenso z^(1/e)=i
Jede Gleichung der Form z^(1/p)=i, (p irrational) weist unendlich
viele Loesungspunkte auf dem Einheitskreis auf.
Dabei hatte ich folgende Umformung benutzt:

i^p=exp(ln(i^p))=exp(p*ln(i))=
exp( p * [ ln|i| + i*(arg(i)+2*k*Pi) ] )=
exp( p * [ i*(Pi/2+2*k*Pi) ] )=
cos(p*(Pi/2+2*k*Pi))+i*sin(p*(Pi/2+2*k*Pi));

Selbiges Ergebnis erhaelt man ueber
1) i^p=
2) (exp(i*(Pi/2+2*Pi) ))^p =
3) exp(i*p*(Pi/2+2*k*Pi) ) =
4) cos( p*(Pi/2+2*k*Pi) ) +i*sin( p*(Pi/2+2*k*Pi) )

k element N
Diese Umformung scheint mir aber nicht fuer alle Zahlen p=m/n gueltig.
Fuer m=1 funktioniert die Rechnung.

Ist z^(1/p)=i nicht aequivalent zu allen Wurzeln von z=i^p ?
Wie berechne ich korrekt alle Loesungen von z^(n/m)=i ?
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Hi

Bin am verzweifeln, denn auch Maple liefert das falsche Ergebnis.

Beispiel:
z^(2/3)=i
Mein Loesungsweg liefert :
z1=-1/2*2^(1/2)+1/2*I*2^(1/2)
z2= 1/2*2^(1/2)-1/2*I*2^(1/2)

Selbiges Ergebnis liefert Maple wenn man eintippt:
> r:=solve(z^(n/m)=I,z);

Macht man nun die Probe erhaelt man :
z1^(2/3)= I (Der Hauptwert ist also korrekt)
z2^(2/3)= .8660254036-.4999999999*I

Was laeuft denn hier schief ?

[richy]

HAMILTONS ANTWORT
du suchst die z, die die Gleichung z^(n/m) -z0 = 0 erfüllen !?

Dann mach doch z0 = r * exp(iφ)
Dann kannst Du schreiben:

z = r^(m/n) * exp{ i m/n ( φ + 2πk) }

wobei k jetzt alle Ganzen Zahlen sind.
φ = arg(z0) und r = |z0|

wenn k = n/m ist, hast Du alle verschiedenen Lösungen, wenn das nie passiert, gibt es ein paar mehr

[richy]

Hi Hamilton
Danke fuer deinen Vorschlag. Das ist aber genau der Weg den ich die ganze Zeit benutzt habe. Nur ging dabei in den meisten Faellen die Probe nicht auf.

Die User im Alpha Centauri Forum haben mir weitergeholfen.
Das Problem ist inzwischen fuer mich geloeset.

Ich habe immer mit dem Moivre Ansatz und als Test mit Maple gerechnet.

-Maple (als Testpartner) ist mit der Aufgabenstellung voellig ueberfordert. Auch in der Probe liefert es nichts brauchbares mit der solve() Funktion. (Auch eine Erkenntnis)

- Meine Probe war unvollstaendig. Man darf nicht erwarten,dass der Hauptwert diese erfuelt, sondern "darf", muss auch hier die Nebenwerte betrachten.

Die Gleichung z^(n/m)=z0 hat somit n verschiedene Loesungen. Dabei wird der Betragskreis m Mal umrundet.

Die Tuecke im Detail war aber :
Fuer jede Probe der n Loesungen zn erhaelt man m Probeloesungen zur Verifikation. Nur eine davon kann die Probe erfuellen,(denn alle sind verschieden). Das muss nicht der Hauptwert sein !
Die restlichen Probeloesungen sind nur Loesungen der Gleichung :
zn=z0^(m/n) jedoch nicht von
zn^(n/m)=z0

Recht einfaches Beispiel:

Eigenzitat aus Alpha Centauri

z^(1/3)=i
z=i^3 = i*i*i = -i
Im Prinzip sieht man an i*i*i schon dass -i korrekt ist

Wir machen dennoch die Pobe
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Dazu setzten wir -i in die linke Seite ein also (z=-i)^(1/3)
und schauen ob dann wie auf der rechten Seite i rauskommt
Wir werden drei unterschiedliche Ergebnisse erhalten.
Wenn eines davon i ist, ist die Probe gelungen. Ok ?
Nur ein Ergebnis kann i sein.
Die anderen Nebenwerte sind Loesungen der Gleichung z^3=-i
Das ist aber nicht die Gleichung die wir loesen wollen !
Sonder z^(1/3)=i

Die Probe
********
-i=exp(i*3/2*Pi+2*k*Pi)
(-i)^(1/3)=exp(i*(3/2*Pi+2*k*Pi))^(1/3) ,k=0,1,2
(-i)^(1/3)=exp(i*(1/2*Pi+2*k/3*Pi)) ,k=0,1,2
z=cos((1/2*Pi+2*k/3*Pi))+i*sin((1/2*Pi+2*k/3*Pi))

k=0
z0=i (Probe bestanden)

k=1
z1=-1/2*3^(1/2)-1/2*i (ungleich i, erfuellt z^(1/3)=i nicht !)

k=2
z2= 1/2*3^(1/2)-1/2*i (ungleich i, erfuellt z^(1/3)=i nicht !)

( k=3 , z=I, ab hier gehts von vorne los )

z1 und z2 erfuellen die Gleichung z^(1/3)=i nicht !
sondern
z^3=-i
nach dieser Gleichung wurde aber nicht gefragt

Die Welt fuer mich ist also wieder in Ordnung :-)
Die Methode von Moivre habe ich inzwischen inclusive Probe fuer beliebige
m,n,z0 automatisiert. (Programmiert)
Bisher ging fuer alle m,n die Probe auf :-)
Viele Gruesse

wenn das nie passiert, gibt es ein paar mehr

Yepp ;-)

[richy]

Stand meiner Ergebnisse bei Alpha Centauri:

Phi=goldener Schnitt, 0.681....

z=z0^x , x element reelle Zahlen und die frac() Funktion
***********************************************
frac() soll die Nachkommastellen einer Funktion liefern.
Beispiel frac(7.1234)= 0.1234

Damit laesst sich das Argument der Zahl z0^x einfach berechnen.
Wie geht das ?
z0^x=|z0|^x exp(i*x*(arg(z0)+k*2*Pi))
Das ist eine Komplexe Zahl w mit folgendem Re und Im-Teil :
w=exp(i*x*(arg(z0)+k*2*Pi))=
cos(x*(arg(z0)+k*2*Pi))+i*sin(x*(arg(z0)+k*2*Pi))

Das Argument einer komplexen Zahl ist arctan(imaginaertei/realteil)
(Wobei der Quadrant beachtet werden muss.)
Wir erhalten fur arg(w) somit
arg(w)=arctan(tan (x*(arg(z0)+k*2*Pi)) )
**********************************

Nun ist arctan(tan(x)) nicht einfach x, denn tan(x) ist 2*PI periodisch.
Wir erhalten stattdessen eine 2*Pi periodische Saegezahnfunktion.
Und eine Saegezahnfunktion ist eine frac Funktion.
Anders ausgedrueckt :
Fuer arctan(tan(x*2*Pi) erhalten wir frac(x)*2*Pi
*****************************************
und damit :
arg(w)=arctan(tan (x*(arg(z0)/(2*Pi)+k)*2*Pi ) )

arg(w)=frac(x*(arg(z0)/(2*Pi)+k))*2*Pi
*********************************

KLEINE ANWENDUNGEN
*******************
Mit den bisherigen Ergebnissen kann man umgekehrt auch kleine Zusammenhaenge ueber die Fliesskommadarstellung von Bruechen herleiten. Dazu nuetzt man aus, dass fuer frac(x)=frac(y) auch gilt frac(x)*2*Pi=frac(y)*2*Pi. Damit uebertraegt man das Problem auf die Loesung von z^x=1 in der komplexen Ebene.

=>
Satz 1:
******
Der Bruch a/b hat die selbe Nachkommastellen wie der Bruch a/b *(k*b+1)
k=0,1,2,3 ...
denn die Gleichung z^(a/b) hat b Loesungen Die b+1 te ist gleich der ersten.
frac(a/b)=frac( a/b*(k*b+1) )

"Beweis" :
a/b*(k*b+1)=(a*k*b+a)/b= k*a+a/b

Beispiele:
1) 0.11=11/100; 0.11*101=11.11
2) 5/7=0.7142857143; 8*4/7=5.714285714

Aus 7/5=1.4 kann ich ohne Rechnung sofort angeben, dass 7/5*6=42/5 oder 1.4*6 gleich 8.4 ist

Annahme 1:
Es gibt keine kleiner Zahl als q=b+1 fuer die gilt
frac(a/b)=frac(a/b*q)

Satz 2
*****
Fuer jede rationale Zahl p+frac(x),p element N laesst sich eine Zahl q element N finden, so dass (p+q+frac(x))/(p+frac(x)) eine natuerliche Zahl n ist.
n=p+q-1 ist dann der Nenner der Bruchdarstellung von p+frac(x)
n*p+frac(x) der Zaehler

Beispiel
8.4/1.4=6
5*1.4=7; 7/5=1.4

Satz 3
*****
Die Gleichungen z^Phi=z0 und z^(1/Phi)=z0 haben identische Loesungen., denn frac(Phi)=frac(1/Phi).

Im moment ueberlege ob ich, ob die Bedingung frac(Phi)=frac(1/Phi) schon ausreichend ist als Beweis, das Phi irrational sein muss.
Den aus obigen Ueberlegungen folgt, dass ansonsten die Bruchdarstellung von Pho 1/0 oder 0/1 sein muesste.
Auf jeden Fall gehoert frac(Phi)=frac(1/Phi) zu den fundamentalen Eigenschaften von Phi.
Es gibt keine andere Zahl, die dies erfuellt.


Wettbewerb
*********
Finde den kuerzesten Beweis, dass Phi irrational ist.

(EDIT: Mein Ansatz hier war falsch)

[Hamilton]

Na klar geht es schneller:

Phi = (1 + sqrt(5)) / 2

da sqrt(5) irrational ist auch Phi irrational.

[Lorenzy]

Hi zusammen,

Falls ihr beide mal draufgehen solltet, seid darüber nicht traurig. Ihr verliert dabei nur einige eurer Funktionen.

[richy]

@Lorenzy
He he ... sicherlich alle physikalischen Funktionen.
Und andere ? :-)

@hamilton

1. Platz :-)
Kuerzer gehts nicht. Jedenfalls wenn du auch in einer Zeile zeigen kannst,
dass sqrt(5) irrational ist :-) Das wuerde ich hinzuzaehlen.

und will ich vermeiden, weil ich den Aufwand fuer Phi und sqrt(n) vergleichen will.
Ok, das hatte ich nicht explizit geschrieben. Also elementar.

Fuer sqrt(2) gibts es den bekannten Beweis von Euklid.
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids...t_von_Wurzel_2
Der funktioniert in der Form aber nur fuer gerade Zahlen unter der Wurzel.
Geht man bei ungeraden Zahlen genauso vor ? Wahrscheinlich.

EDIT GELOESCHT

Wozu das Ganze ? Ich will ja nichts besseres Herleiten als Euklid.
Aber wegen frac(Phi)=frac(1/Phi) meine ich, dass es speziell fuer
Phi (auch ohne komplexe Zahlen) einen einfacheren Beweis geben sollte.
Auch weil Phi im Sinne einer Bruchapproximation am irrationalsten ist.


Hier die Frac-Loesung nochmals in anderen Worten:
**************************************
Und ich glaube diesmal liege ich richtig.

Vorbemerkung:
Die Funktion frac(a/b*n) hat die Peridendauer b, denn
frac(a/b*(n+b))= frac(a/b*n+a)=frac(a/b*n)
Die Funktion frac(b/a*n) hat die Peridendauer a

Beweis Phi irrational :
Waere Phi eine Bruchdarstellung Phi=a/b teilerfremd, dann haette
Die Funktion frac(Phi*n) die Peridendauern a UND b
denn frac(Phi*n)=frac(a/b*n)=frac(1/Phi*n)=frac(b/a*n)

Fuer b>a muesste dann gelten b=k*a (diesmal k wirklich ganzzahlig) oder
Fuer a>b muesste dann gelten a=k*b
Phi muesste also ganzzahlig sein.
Damit gibt es keine Bruchdarstellung fuer Phi. Die Periodendauer frac(Phi*n) ist unendlich.

ciao

[richy]

Hi

Ich will ja nichts besseres Herleiten als Euklid.

http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids...t_von_Wurzel_2
Aber vielleicht etwas kuerzeres ? Die Frac Methode funktioniert auch fuer Wurzel 2 !
denn x=2+1/x hat die Loesungen
sqrt(2)+1 und 1-sqrt(2)
(allgemein hat x=a+1/x die Loesungen 1/2a +- 1/2 Sqrt(a^2+4))

Damit gilt frac(sqrt(2)+1)=frac(1/(sqrt(2)+1))
und damit laesst sich die frac Methode anwenden um zu zeigen, dass Sqrt(2)+1 und damit auch sqrt(2) irrational ist.
Uebrigends interessant, denn frac(sqrt(2)+1) = frac(sqrt(2))
Was bedeutet dies in der komplexen Ebene ?

Was kann ich mit der Erkenntnis noch anfangen ?
Zum Beispiel kann ich sofort anschreiben

Die Differenzengleichung x(k+1)=2+1/x(k),x0=1 konvergiert gegen 1+Wurzel(2)
************************************************** ********

Das ist aber noch nicht alles.
Die rechte Seite der DzGL stellt einen Kettenbruch dar. Den kann man sukzessive vereinfachen und stellt dann fest, dass Nenner und Zaehler aus einer modifizierten Fibonacci Folge gebildet werden, naemlich :

fib2(k+2)=2*fib2(k+1)+fib2(k), fib2(0)=1 fib2(1)=1
**************************************
Hier ein paar Zahlenwerte :
y1 := 1
y2 := 1
y3 := 3
y4 := 7
y5 := 17
y6 := 41
y7 := 99
y8 := 239
y9 := 577
y10:= 1393 ....

Satz:
Der Grenzwert limit k->00, fib2(k+1)/fib2(k) konvergiert gegen 1+Wurzel(2)
************************************************** ********

Beispielwerte :

Wurzel(2) etwa 4/3 = 1.333333
Wurzel(2) etwa 10/7 = 1.428571
Wurzel(2) etwa 24/17 = 1.411764
Wurzel(2) etwa 58/41 = 1.414634
Wurzel(2) etwa 140/99 = 1.414141
Wurzel(2) etwa 338/239 = 1.414225
Wurzel(2) etwa 816/577 = 1.414211
Wurzel(2) etwa 1970/1393 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 4756/3363 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 11482/8119 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 27720/19601 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 66922/47321 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 161564/114243 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 390050/275807 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 941664/665857 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 2273378/1607521 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 5488420/3880899 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 13250218/9369319 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 31988856/22619537 = 1.414213

Kann man natuerlich beliebig verlaengern.
Waere mal interessant wie mit dieser Approximation die Funktion frac(sqrt(2)*k))
aussieht. Genauso ein Vergleich mit dem Newtom Verfahren.

Was man nicht alles aus z^(m/n)-z0=0 herleiten kann :-)
Aber lauschen wir weiter den interessanten Beitraegen von Z.
Kann mir jemand Bescheid sagen, wenn er fertig ist ?

ciao

[fransmanegeng]

Hallo richy,
(.)^a steht im reellen Fall für eine Funktion wie sin oder cos. Ist a keine ganze Zahl, muss man den Definitionsbereich und das Ziel auf die positiven Zahlen einschränken. (.)^1/n ist nicht auf C erweiterbar, weil es keine ausgezeichnete Lösung der Gleichung x^n = z gibt. Es wird lässig von n-te Wurzel aus Eins gesprochen, gemeint ist, die Menge der Lösungen der Gleichung x^n = 1.
Die Gleichung z^(m/n) = z0 hat also keinen Sinn, weil links eine Menge steht, und rechts eine Zahl.
mfg fransmanegeng

[richy]

Man kann die Gleichung aber im Komplexen loesen.
Die Loesungen erfuellen auch die Probe. Was stellen die Loesungen dann deiner Meinung nach dar ?
1 ist eine komplexe Zahl ohne Imaginaerteil. Wo ist das Problem ?
Die Abbildung ist mehrdeutig das ist klar.
Ist die Gleichung x^2=1 deiner Meinung nach auch nicht sinnvoll ?

Hier der momentane stand zum Beweis von Wurzel(2)=irrational

Periodendauer p:
Addiere ich p zum Argument einer Funktion wiederholt sich die Funktion:
f(k)=f(k+p)

Hilfsfragen:
Welche Periodendauer hat die Funktion frac(a/b*k) a,b,k element N, a,b teilerfremd ?
Welche Periodendauer hat die Funktion frac(b/a*k) a,b,k element N, a,b teilerfremd ?
Unter welchen Bedingungen fuer a,b kann die Funktion frac(a/b*k) zwei Periodendauern a und b aufweisen ?


Zitat:


Statt a/b betrachte ich die Testfunktion f(k)=frac(a/b*k).
k element N. a,b element N, teilerfremd

a) Periodendauer der Testfunktion :
***************************
f(k)=frac(a/b*k) hat die Peridendauer b, denn
frac(a/b*(k+b))= frac(a/b*k+a)=frac(a/b*k)
Die Periodendauer von f(k) ist also durch den Nenner des Bruches gegeben.

Nur falls meine Grundidee in Ordnung geht

b1) Anwendung
*************
Phi=(wurzel(5)-1)/2, erfuellt x+1=1/x, also frac(x)=frac(1/x)
Aus f(k)=frac(Phi*k)=frac(1/Phi*k) folgt, dass fuer Phi keine Bruchdarstellung a/b, (a,b<>1) existiert.
Denn fuer Phi=a/b besaesse f(k) zwei teilerfremde Periodendauern a und b

b2) Anwendung
*************
x=wurzel(2)+1, erfuellt x=2+1/x, also ebenfalls frac(x)=frac(1/x)
Aus f(k)=frac(x*k)=frac(1/x*k) folgt, dass fuer x keine Bruchdarstellung a/b, (a,b<>1) existiert.
Denn fuer x=a/b besaesse f(k) zwei teilerfremde Periodendauern a und b
Damit ist Wurzel(2)+1 irrational und damit auch Wurzel(2)

b3) Anwendung
*************
Allgemein:
a) s=m+1/s erfuellt frac(s)=frac(1/s).
Damit muss s irrational sein. Gl a) hat die Loesungen:
s1=1/2*m+1/2*(m^2+4)^(1/2),
s2=1/2*m-1/2*(m^2+4)^(1/2)
Damit kann m^2+4 m<>0 keine Quadratzahl sein
*****************************************

b4) Anwendung
*************
Gegeben ist die Folge g(k+2)=2*g(k+1)+g(k), g0=g1=1
limit k->infinity g(k+1)/g(k) konvergiert gegen Wurzel(2)+1
limit k->infinity (g(k+1)-g(k))/g(k) konvergiert gegen Wurzel(2)