Die Natur aus Fäden: bitte schimpfen

[MMT]

Zitat von seb110

Gibt es im gekrümmten Raum mehr Kreuzungswechsel demzufolge mehr Vakuumenergie? (diese Frage wäre wichtig)

Der physikalische Raum, der durch Abstandsmessungen definiert ist, hat eine kleinste Länge. Es besteht also nicht aus Punkten. Somit ist er weder diskret noch kontinuierlich. (Ja, der Hintergundraum, der zur Beschreibung notwendig ist, ist kontinuierlich. Ohne kontinuierlichen Raum kann man nicht denken oder sprechen.)

Aber es ist eine einfache Folgerung aus Relativitätstheorie und Quantentheorie, dass es eine kleinste Länge gibt. Und diese bedeutet, dass der Raum weder diskret noch kontinuierlich ist.

Im gekrümmten Raum gibt es korrelierte Kreuzungswechsel. Krümmung ist nicht direkt mit Kreuzungswechsel gekoppelt.

[Geku]

Was sollte man messen wenn sich zwischen zwei Punkten kein Raum befindet?
Kommt in der Relativitätstheorie wirklich eine kleinst Länge vor?

[antaris]

Zitat von Geku

Was sollte man messen wenn sich zwischen zwei Punkten kein Raum befindet?
Kommt in der Relativitätstheorie wirklich eine kleinst Länge vor?

Geht es in der SRT, also im flachen Raum, nicht eher um infinitesimale Abstände zwischen zwei nebeneinanderliegenden Punkten ds (Linienelement)?

[Geku]

Zitat von antaris

Geht es in der SRT, also im flachen Raum, nicht eher um infinitesimale Abstände zwischen zwei nebeneinanderliegenden Punkten ds (Linienelement)?

Ja, das ist korrekt. In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) spielt das Linienelement ds eine entscheidende Rolle. Es repräsentiert den infinitesimalen Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten im Raum-Zeit-Kontinuum. Dieses Konzept ist fundamental, um die Geometrie von Raum und Zeit in der SRT zu beschreiben.

Aber kommt irgend wo in der Einstein'schen SRT die Plank'sche Länge vor?
Ich meine, sie kommt erst in der Diskussion rund um die Quantengravitation vor.

[MMT]

SRT und ART basieren beide auf kontinuierlichen Raum.

Das ist aber eine Näherung.

In der Natur gibt es eine kleinste Länge. Um das herzuleiten, braucht man nur 3 Zeilen: https://www.motionmountain.net/minimumlength.html

[antaris]

Zitat von Geku

Ja, das ist korrekt. In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) spielt das Linienelement ds eine entscheidende Rolle. Es repräsentiert den infinitesimalen Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten im Raum-Zeit-Kontinuum. Dieses Konzept ist fundamental, um die Geometrie von Raum und Zeit in der SRT zu beschreiben.

Aber kommt irgend wo in der Einstein'schen SRT die Plank'sche Länge vor?
Ich meine, sie kommt erst in der Diskussion rund um die Quantengravitation vor.

Aber die Punkte haben nur im Grenzfall der SRT einen infintesimalen Abstand? In der ART vergrößert sich dieser Abstand oder verdreht sich dann nur der Lichtkegel auf der Geodäte in jedem infinitesimalen Abschnitt entsprechend der Lösung des Linienelements?
Betrachtet man den Tangentialpunkt der Sekante auf der Geodäte, so ist die Raumzeit immer flach und man landet bei der SRT bzw. bei Newton. Wird aber ein Abschnitt der Geodäte betrachtet, der länger ist als der Tangetialpunkt, so landet man automatisch in der ART?
Bei reiner Betrachtung von Relativgeschwindigkeiten, krümmt sich ja auch die Raumzeit zwischen den Ereignissen. Dabei ist das Linienelement die Invariante des Systems, die verallgemeinerte Eigenlänge, die aus jedem Inertialsystem betrachtet gleich ist. Aus der allgemeinen Eigenlänge lässt sich mit dividieren durch c die invariante Eigenzeit berechnen. Dabei ist die Eigenzeit, also die in jedem einzelnen Inertialsystem lokal tickende Uhr, von der allgemeinen Eigenlänge der verschiedenen betrachteten Objekte abgeleitet.

dtau = ds/c

[Geku]

Zitat von antaris

Aber die Punkte haben nur im Grenzfall der SRT einen infintesimalen Abstand? In der ART vergrößert sich dieser Abstand oder verdreht sich dann nur der Lichtkegel auf der Geodäte in jedem infinitesimalen Abschnitt entsprechend der Lösung des Linienelements?

In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) wird der Begriff des "infinitesimalen Abstands" verwendet, um die Geometrie des flachen Raum-Zeit-Kontinuums zu beschreiben. Hier bleibt der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten im flachen Raum konstant.

In der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) hingegen wird die Raumzeit durch die Anwesenheit von Massen und Energie beeinflusst. Das führt zur Krümmung der Raumzeit, was durch die Metrik beschrieben wird. Dadurch ändert sich die Geometrie und der "Abstand" zwischen zwei Punkten kann auf einer gekrümmten Geodäte größer oder kleiner erscheinen, als er es im flachen Raum wäre.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Begriffe "infinitesimaler Abstand" und "Geodäte" in der ART in einem gekrümmten Raum-Zeit-Kontinuum definiert sind, im Gegensatz zur SRT, in der der Raum als flach angenommen wird. Daher sind die Konzepte in den beiden Theorien unterschiedlich.

[Geku]

Zitat von Geku

Dadurch ändert sich die Geometrie und der "Abstand" zwischen zwei Punkten kann auf einer gekrümmten Geodäte größer oder kleiner erscheinen, als er es im flachen Raum wäre.

In einem diskontinuierlichen Raum könnte der Abstand ein vielfaches der Plank'schen Länge sein. Mindestens aber die Plank'sche Länge.

[kwrk]

Weiß nicht, ob das in diesem Zusammenhang schon mal erwähnt wurde:
http://en.wikipedia.org/wiki/Doubly_special_relativity
Ich hab mal in ein paar Referenzen reingeschaut (Hossenfelder, Smolin). Sieht für mich so aus, als ob die Interpretation von Planckgrößen physikalisch, d.h. nicht als reine Kennzahl, im Zusammenhang mit SRT durchaus zu Problemen führt.

[antaris]

Zitat von Geku

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Begriffe "infinitesimaler Abstand" und "Geodäte" in der ART in einem gekrümmten Raum-Zeit-Kontinuum definiert sind, im Gegensatz zur SRT, in der der Raum als flach angenommen wird. Daher sind die Konzepte in den beiden Theorien unterschiedlich.

Im Grunde ist die Definition des Abstandsbegriffs ja namensgebend für die RT's. Speziell bezieht sich ausschließlich auf den infinitesimalen Abstand der Punkte in der flachen Raumzeit und allgemein bezieht sich auf Abstände der Punkte in der gekrümmten Raumzeit, die niemals infinitesimal sind?

Ich habe das mit dem Linienelement , der Metrik usw. erst vor kurzem (endlich!) "richtig" verstanden und ich muss echt sagen, dass die RT's wirklich genial sind. Es ist unfassbar schwer zu glauben, dass solch schöne Mathematik irgendwie falsch sein könnte.
Nebenbei ist mir auch klar geworden (zumindest im Grundsatz), was es mit der Infinitesimalrechnung auf sich hat. Habe nun auch wirklich angefangen die Mathematik zu lernen.

@MMT
Welche Rolle spielt das Linienelement in deinem Modell?
Ersetzt dein Modell die bisherigen oder erweiterst du die etablierten Modelle?