Hyperfeinstruktur des Wasserstoffs

[Matz]

Hallo zusammen!
Ich bin neu hier im Forum angemeldet, und hoffe, es macht euch nichts aus, wenn ich eine kleine Frage stelle, die bei der Bearbeitung einer Klausuraufgabe von mir aufgetaucht ist.
Es geht um die Hyperfeinstruktur des Wasserstoffs. Der Übergang zwischen den beiden Hyperfeinniveaus im Grundzustand des H-Atoms hat eine Wellenlänge von 21 cm und ist sehr wichtig in der Radioastronomie (sagt man).
Die Kenntnis dieser Wellenlänge erlaubt es eigentlich, das Magnetfeld zu bestimmen, das das Elektron durch seine Bewegung im Atom verursacht, da dieses der Grund für die Hyperfeinaufspaltung ist.
Die Energie der Hyperfeinstruktur ist gegeben durch
E = - μ · B
mit μ als magnetischem Moment des Kerns und B dem Magnetfeld, das durch das Elektron erzeugt wird.
Das magentische Moment des Kerns ist:
μ = - g · μ/ħ · I
wobei I der Kenrspin ist.
Der Kenrspin ist ein Drehimpuls, weshalb für sein Betragsquadrat gilt |I| = I(I+1)ħ² und seine z-Komponente Iz = mħ.
Man kann die Energie also schreiben als
E = g · μ/ħ · |I| · B · cos θ , wobei θ der Winkel zwischen I und B ist. B zeigt in Richtung des Drehimpulses des Elektrons, also B || J. Führt man nun den Gesamtdrehimpuls F = I + J ein, so erhält man cos θ = (F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)) / (2·√(I(I+1))·√(J(J+1))). Strahlung der Wellenlänge λ = 21 cm ergibt sich aus dem Übergang von F = 1 nach F = 0, also
ΔE = hc/λ = g · μ · √(I(I+1)) / (√(I(I+1))·√(J(J+1)))
Mit J = 1/2 (der Grundzustand) und g = 5,58 (der Landé-Faktor des Protons) wäre das Magnetfeld:
B = hc√(3/4) / (λ·g·μ) = 29,1 T
Wenn man aber davon ausgeht, dass der Kernspin sich im Magnetfeld ausrichtet, und entsprechend die z-Komponente betrachtet, hätte man mit |I| = mħ für die Energie:
E = g · μ · m · B
Die 21cm-Strahlung entspricht dann einem Übergang von m = 1/2 nach m = -1/2, und somit erhält man
B = hc / (λ·g·μ) = 33,6 T.
Die Frage ist nun: Welcher Rechenweg ist korrekt? Richtet sich der Kernspin im Magnetfeld aus, oder ist dieses "Vektorbild" hier ohnehin fehl am Platz?
Vielen Dank schon mal, und wie gesagt, ich hoffe die Frage ist euch nicht zu trivial.

Matz

[Uli]

Ich würde so sagen: das Magnetfeld des Elektrons ist aus Sicht des Kerns eine Art externes Feld, das eine Vorzugsrichtung definiert. Diese können wir ohne Verlust an Allgemeinheit als z-Richtung annehmen.

Die z-Komponente des Kernspins kann aber 2 Eigenwerte annehmen:
+ 1/2
und
- 1/2

Daraus resiultiert eine Aufspaltung der Energieniveaus E
E + 1/2 ...
und
E - 1/2 ...

Die Einführung eines Winkels
cos teta
macht m.E. keinen Sinn. Die Spins können ja keine Eigenwerte
(1/2) cos teta
oder so annehmen. Es ist ja gerade die Eigenschaft der Quantisierung, dass nur ganz genau diese 2 Werte möglich sind.

Gruß,
Uli

[Matz]

Hey!
Danke für die Antwort. Was du sagst leuchtet mir ein; das Magnetfeld definiert eine ausgezeichnete Raumrichtung, welche als Quantisierungsachse dient, und die Eigenwerte des Kernspins bezüglich dieser Achse sind +1/2 ħ und -1/2 ħ. Was mich aber wundert ist, was passiert, wenn ein externes Magnetfeld angelegt wird? Laut Literatur (http://www.wmi.badw.de/teaching/Lect...esamt_2002.pdf <- ich beziehe mich hier meist auf dieses Dokument) sollte dann ein Hyperfeinniveau mit F = 1 analog zum Zeemann-Effekt in drei Komponenten aufspalten. Wenn man aber die Richtung des Magnetfelds der Hülle als Quantisierungsachse verwendet, gibt es m.E. gar keinen Gesamtdrehimpuls F, da dann stets I || J gilt. Es wäre dann immer F = I + J. In der ersten Rechnung gibt es auch immer zwei Einstellungen des Kernspins: I und J koppeln zu F = I + J, und damit gilt F = I - J oder F = I + J (für I = 1/2).
Vielleicht hätte ich erwähnen sollen, dass ich im Grunde den ersten Rechenweg für richtig halte; sogar in der Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperfeinstruktur) wird ja der 21cm-Übergang so beschrieben. Allerdings lasse ich mich natürlich gern überzeugen
Was ich noch zur Diskussion stellen möchte, ist, dass m.E. die Energien der Hyperfeinstruktur sich doch anaolg zur Feinstruktur berechnen lassen sollten. Hier wird ja das durch den Kern aufgrund seiner Bewegung relativ zum Elektron erzeugte Magnetfeld betrachtet, für das gilt
B ~ L.
Die entsprechende Energie ist
E = -μ · B ~ g · μ/ħ · S · L.
Hier führt man den Gesamtdrehimpuls J = S + L ein, um das Produkt
S · L = 1/2 · (J² - S² - L²) =
= ħ²/2 · ( J(J + 1) - S(S+1) - L(L + 1) )
auszurechnen. Anaolg zu oben könnte man aber auch argumentieren, dass das Magnetfeld eine Vorzugsrichtung definiert, zu der Sz die Eigenwerte ± ħ/2 hat, und so auf J verzichten. Dann wären aber die bekannten spektroskopischen Symbole nutzlos, und der Zeemann-Effekt wäre nicht erklärbar.
Bin auf Antworten bespannt!

Greetz,
Matz

[rene]

Der Ausdruck a der Hyperfeinkonstante berechnet sich allgemein aus:

a = 2/3*mu0*g_e*muB*g_I*mu_K*│Ψ(0)│² (Wellenfunktion am Kernort)

und ergibt für den atomaren Wasserstoff (s-Orbital) ausgerechnet 5.873e-6eV.
Über den Kosinussatz und anschliessendes Umformen erhält man

ΔE_HFS = a/2*(F*(F+1)-I*(I+1)-J*(J+1))

und ergibt mit I=1/2 ; J=1/2 und F=0 und 1 (die einzigen Zustände im s-Orbital des H)

ΔE_HFS = a

Das Magnetfeld B_J kann nun über

B_J:=a*sqrt(J*(J+1))/(g_I*mu_k)

bestimmt werden und gibt nach meiner Rechnung 28.91T.


Grüsse, rene

[Uli]

Zitat von Matz

Hey!
Danke für die Antwort.
...
Bin auf Antworten bespannt!

Greetz,
Matz

Hallo Matz,

ich war wohl etwas vorschnell mit meiner Beantwortung deiner Frage: es geht ja nicht um die Eigenwerte des Kernspins, welche die Aufspaltung des Orbitals bewirken, sondern um die Eigenwerte der Kombination aus Bahndrehimpuls und Elektronen-Spin. Es geht ja um die Elektronen-Orbitale.

Zu lang her: ich müsste micht da erst nochmal reindenken bzw. reinlesen.

Vergiss meinen Antwort am besten ganz schnell.

Sorry,
Uli

[rene]

Zitat von ""Matz

Was mich aber wundert ist, was passiert, wenn ein externes Magnetfeld angelegt wird?

Ist das äussere angelegte Magnetfeld B0 gering zum inneren Feld B_J, so dass die magnetische Energie klein zum energetischen Abstand der Hyperfein-Terme ist, bleibt im Falle des Zeeman-Effekts die Kopplung der Drehimpulsvektoren I und J zu F erhalten. Bei genügend starkem externen Magnetfeld B0 wird diese Kopplung aufgehoben (Paschen-Back-Effekt).

Der resultierende Gesamtdrehimpulsvektor F präzediert um B0 (Zeeman). Für die möglichen Orientierungen des Vektors F relativ zu B0 gibt es 2F+1 Möglichkeiten, die durch die Quantenzahl m_F gegeben sind. Es gilt

│F_z│ = m_F*h mit m_F = F, F-1..., -F

Die Zeeman-Aufspaltung mit Hyperfeinwechselwirkung ergibt sich mit

E_HFS = -mu_F*B0

Die Verschiebung im schwachen Feld gibt

ΔE_HFS = g_F*mu_B*B0*m_F

und im starken Feld

ΔE_HFS = g_J*mu_B*m_J*B0 +a*m_I*m_J – g_I-*mu_K*B0*m_I


Grüsse, rene

[Matz]

Sehr gut, dann hätten wir das geklärt. Danke!

Aber eins noch:

Zitat von rene

Der Ausdruck a der Hyperfeinkonstante berechnet sich allgemein aus:

a = 2/3*mu0*g_e*muB*g_I*mu_K*│Ψ(0)│² (Wellenfunktion am Kernort)

und ergibt für den atomaren Wasserstoff (s-Orbital) ausgerechnet 5.873e-6eV.

@rene:
Diese Formel habe ich auch schon oft gesehen. Weißt du zufällig, wie sie zustande kommt? Klassisch gesehen würde doch ein Elektron im s-Zustand gar kein Magnetfeld verursachen, weil der Drehimpuls L = 0 ist? (Daher kann ich die Formel selbst nicht herleiten.. )

[Uli]

Zitat von Matz

Sehr gut, dann hätten wir das geklärt. Danke!

Aber eins noch:



@rene:
Diese Formel habe ich auch schon oft gesehen. Weißt du zufällig, wie sie zustande kommt? Klassisch gesehen würde doch ein Elektron im s-Zustand gar kein Magnetfeld verursachen, weil der Drehimpuls L = 0 ist? (Daher kann ich die Formel selbst nicht herleiten.. )

Das Elektron hat doch Spin, was in einem magnetischen Moment resultiert.
Gruß,
Uli

[Matz]

Na gut, aber wieso braucht man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei r = 0?

[rene]

Zitat von Matze

Na gut, aber wieso braucht man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei r = 0?

Weil die Feldstärke B_J der Elektronen am Kernort nicht unabhängig von den magnetischen Eigenschaften des Kernes gemessen werden können. Um B_J aus der Hyperfein-Aufspaltung von Spektrallinien zu berechnen, muss man das Kernmoment kennen. Das Magnetfeld B_J der Elektronen am Kernort wird bei s-Elektronen überwiegend durch die nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort verursacht.

Grüsse, rene