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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 02.09.16, 11:28
Plankton Plankton ist offline
Guru
 
Registriert seit: 02.01.2015
Beiträge: 894
Standard Frage zum Formalismus der QM

Hallo,

ich hoffe mal ich Spam das Forum nicht voll mit meinen Wissenslücken!

Nun gut, so weit ich weiß ist es ja so: Der Zustand eines Teilchens mit einem bestimmten Spinwert in einer bestimmten Raumrichtung ist zugleich nichts anderes als die Superpostion zweier gegensätzlicher Spinwerte in abweichender Raumrichtung. (Spin Up x ~ Spin Up/Down y oder Spin Up z ~ Spin Up/Down x)
Woanders hat das mir jemand mal so beschrieben:
Zitat:
Every state vector can be written as a superposition of state vectors and every superposition of state vectors can be written as a single state vector.
Das ganze ist AFAIK abhängig von der Basis (Orthonormalbasis).

Gilt das nun eigentlich so für alle Eigenschaften die ein QM-System haben kann? Wie wäre das z.B. beim Ort (x)?
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  #2  
Alt 02.09.16, 14:11
Hawkwind Hawkwind ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 22.07.2010
Beiträge: 1.934
Standard AW: Frage zum Formalismus der QM

Zitat:
Zitat von Plankton Beitrag anzeigen
Hallo,

ich hoffe mal ich Spam das Forum nicht voll mit meinen Wissenslücken!

Nun gut, so weit ich weiß ist es ja so: Der Zustand eines Teilchens mit einem bestimmten Spinwert in einer bestimmten Raumrichtung ist zugleich nichts anderes als die Superpostion zweier gegensätzlicher Spinwerte in abweichender Raumrichtung. (Spin Up x ~ Spin Up/Down y oder Spin Up z ~ Spin Up/Down x)
Woanders hat das mir jemand mal so beschrieben:

Das ganze ist AFAIK abhängig von der Basis (Orthonormalbasis).

Gilt das nun eigentlich so für alle Eigenschaften die ein QM-System haben kann? Wie wäre das z.B. beim Ort (x)?
Das gilt auch für den Ort. Allerdings bilden die Eigenwerte zum Ort - im Gegensatz zum Spin - keinen endlichen und abzählbaren Satz von Eigenwerten und Funktionen sondern ein kontinuierliches Spektrum.

Die Eigenfunktionen zum Ort (die "Orthonormalbasis") sind deshalb kein abzählbarer Satz von Basiszuständen sondern ein kontinuierliches Spektrum. In der Ortsdarstellung sind das die Deltafunktionen von Dirac. In der Ortsdarstellung (Koordinate x) wäre die Eigenwertgleichung einer Orts-Eigenfunktion Psi(x) zum Eigenwert x1 also

x*Psi(x) = x1*Psi(x)

x ist dabei eine Variable und x1 der feste Eigenwert. Die Funktion Psi(x) muss also offenbar überall verschwinden, aber bei x=x1 einen ganz scharfen Peak haben: eine Delta-"Funktion" delta(x-x1).

Die allgemeine Lösung wäre dann nicht eine Summe über die gewichteten Basiszustände sondern ein gewichtetes Integral über diese Delta-"Funktionen" (wegen kontinuierlichem Spektrum) - die Anführungszeichen weil die Delta-"Funktion" streng genommen keine Funktion sondern ein Funktional ist.
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  #3  
Alt 02.09.16, 20:08
Plankton Plankton ist offline
Guru
 
Registriert seit: 02.01.2015
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Standard AW: Frage zum Formalismus der QM

Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Allerdings bilden die Eigenwerte zum Ort - im Gegensatz zum Spin - keinen endlichen und abzählbaren Satz von Eigenwerten und Funktionen sondern ein kontinuierliches Spektrum.
[...]
Ist das nur beim Ort so?
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  #4  
Alt 03.09.16, 08:09
Hawkwind Hawkwind ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 22.07.2010
Beiträge: 1.934
Standard AW: Frage zum Formalismus der QM

Zitat:
Zitat von Plankton Beitrag anzeigen
Ist das nur beim Ort so?
Nein, für Impuls liegt ebenfalls ein kontinuierliches Spektrum vor.

Bei Energien mischt es sich: für gebundene Zustände liegt ein diskretes Spektrum vor (z.B. Atom-Orbitale); ist die Energie des Quants aber oberhalb der Potentialschwelle, so ist das Energiespektrum kontinuierlich. Man sieht das recht anschaulich beim Energiespektrum des Wasserstoffatoms, wie die Niveaus immer enger zusammenrücken, wenn man sich "von unten" der Ionisationsenergie nähert:


Die Eigenwerte von Drehimpulsen sind immer diskret.
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  #5  
Alt 14.04.17, 14:56
Plankton Plankton ist offline
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Registriert seit: 02.01.2015
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Standard AW: Frage zum Formalismus der QM

https://phys.org/news/2016-06-physic...um-limits.html

Was in dem Artikel steht müsste doch auch für ein einzelnes Silber-Atom z.B. bei Stern-Gerlach gelten.
Ich versuch das mal mit meinem Halbwissen anzuschneiden!

Wenn ich ein Silberatom habe und es hat irgendeine Superpostion und dann kommt der 1. Magnet und es findet eine Messung statt, dann werden doch die entsprechenden Vektoren im Hilbertraum gedreht. Ich messe Up oder Down z.b. mit 50/50. Dauert dieser Vorgang Zeit, genau diese Drehung der Vektoren?
Und wie wäre das dann beim Zeitentwicklungsoperator? (Der ja auch so eine "Drehung" bewirkt.)

Vielleicht kann da jemand genau darauf eingehen, welcher Vorgang bei so einem Ablauf, ein Teilchen in Superpostion wird gemessen, denn genau Zeit braucht. Bzw. welcher Teil keine Zeit braucht.
Ich dachte immer so dunkel, wenn ich irgendwelche Vektoren im Hilbertraum durch einen Operator verändere, dass dies dann keine Zeit braucht. Weil ja jegliche (unitäre) Zeit(entwicklung) selbst nur durch den Zeitentwicklungsoperator "vorgegeben" ist.

Zitat:
Quantum speed limits impose limitations on how fast a quantum system can transition from one state to another, so that such a transition requires a minimum amount of time (typically on the order of nanoseconds).

Read more at: https://phys.org/news/2016-06-physic...imits.html#jCp
So ein Wechsel von einem Zustand auf einen anderen ist doch ein Operator der auf Vektoren im H-Raum angewendet wird?

THX schonmal vorab.
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  #6  
Alt 16.04.17, 04:07
Plankton Plankton ist offline
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Standard AW: Frage zum Formalismus der QM

Nochmal nen Nachtrag zum Vorpost etwas anders:
Zitat:
In order to determine how fast a quantum system can evolve from one state to another, it's necessary to be able to distinguish between the two states, and there are multiple ways to do this. In the new study, the physicists used a general method based on information geometry. From a geometric perspective, two distinguishable states can be represented by two points on the surface of some shape, such as a sphere or other manifold. Previous research has shown that there are an infinite number of corresponding metrics that can be used to measure the distinguishability of two quantum states.

In the new study, the physicists have shown that each of these metrics corresponds to a different quantum speed limit. The "strictest" quantum speed limit is determined by the metric that gives the shortest distance (also known as a 'geodesic') between the two points, or states, as measured along the manifold's curved surface.

"A different quantum speed limit arises from each of these metrics in such a way that the tightest bound for a given dynamics is specified by the metric whose geodesic is best tailored to the given dynamical path," explained coauthor Marco Cianciaruso, also at Nottingham.
Read more at: https://phys.org/news/2016-06-physic...imits.html#jCp

Hat das grundsätzlich speziell etwas mit den "Dichtematrizen" bzw. der "Dichtematrix" zu tun, die es in der QM gibt?

BTW: Ich habe etwas gefunden beim kurz Suchen: aber mehr als die "Überschrift" habe ich davon nicht gelesen. Verlinke das trotzdem mal -->
Quantum mechanics in metric space: wave functions and their densities
https://arxiv.org/abs/1102.2329
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  #7  
Alt 20.04.17, 21:01
Quadrat Quadrat ist offline
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Standard AW: Frage zum Formalismus der QM

Ich versuche mal als Laie einige Fragen zu beantworten und hoffe keine Fehler zu machen.
Zitat:
Wenn ich ein Silberatom habe und es hat irgendeine Superpostion und dann kommt der 1. Magnet und es findet eine Messung statt, dann werden doch die entsprechenden Vektoren im Hilbertraum gedreht. Ich messe Up oder Down z.b. mit 50/50.
Ich denke der Kollaps der Wellenfunktion wird als instantan betrachtet. Eine Messung selbst hingegen benötigt immer Zeit.
(Interessanter Artikel ist bei Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Quante...nische_Messung)
Zitat:
Ich dachte immer so dunkel, wenn ich irgendwelche Vektoren im Hilbertraum durch einen Operator verändere, dass dies dann keine Zeit braucht.
Ist m.E. richtig. Die Anwendung des Operators in dem Formalismus repräsentiert das Rersultat einer Messung und gibt keine Auskunft über die Dauer.
Wenn wir bspw. den Impulsoperator nehmen, so ist er im Ortsraum -ihquer*d/dx und eine Ableitung benötigt ja in dem Sinne keine Zeit.
Auch bei einem formalen Zustandswechsel des Systems, wie c†|0>=|1> mit c† als Erzeugendenoperator spielt die Zeit keine Rolle.

Zitat:
Hat das grundsätzlich speziell etwas mit den "Dichtematrizen" bzw. der "Dichtematrix" zu tun, die es in der QM gibt?
Ich denke nicht. Im Zitat geht es ja um Metrik und nicht Matrizen. Aber ich weiß auch nicht um welche Metrik es da geht.
Ich kenne die Dichtematrix nur zur Beschreibung von Polarisation von Elektronen-Zuständen.
__________________
www.quantenforum.de
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  #8  
Alt 21.04.17, 15:06
Plankton Plankton ist offline
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Standard AW: Frage zum Formalismus der QM

Dankeschön! Das hilft mir weiter.
Zitat:
Zitat von Quadrat Beitrag anzeigen
Ich denke nicht. Im Zitat geht es ja um Metrik und nicht Matrizen. Aber ich weiß auch nicht um welche Metrik es da geht.
Ich kenne die Dichtematrix nur zur Beschreibung von Polarisation von Elektronen-Zuständen.
Ich schätze du hast recht. Zr Metrik: ich weiß leider nix, meine Vermutung war, dass es sich hierum handelt: https://arxiv.org/abs/1102.2329
Zitat:
While the vector-space aspects of Hilbert space, such as formation of linear combinations of state vectors, are routinely used in quantum mechanics, the metric-space aspects of Hilbert space are much less exploited. Here we show that a suitable metric stratifies Fock space into concentric spheres. Maximum and minimum distances between wave functions are derived and geometrically interpreted in terms of this metric.
Das könnte sich dann formal auch auf so eine 'geodesic' beziehen.
Zitat:
In the new study, the physicists have shown that each of these metrics corresponds to a different quantum speed limit. The "strictest" quantum speed limit is determined by the metric that gives the shortest distance (also known as a 'geodesic') between the two points, or states, as measured along the manifold's curved surface.
https://phys.org/news/2016-06-physic...imits.html#jCp
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