Frage zur Rotation in der Relativitätstheorie

[Bernhard]

Zitat von Ich

Das ist definitiv kein Skalarfeld.

Dann ist der EIT in der zugehörigen Anwendung auf die Hydrodynamik aber kein Tensor mehr.

[Ich]

Wenn Druck und Dichte im jeweilige Ruhesystem gegeben sind, dann die dort in entsprechenden Koordinaten der EIT diagonal. Und ansonsten irgendwie transformiert. Natürlich ist er aber ein Tensor, genau deswegen sind auch weder Druck noch Dichte ein Skalar.

[Timm]

Zitat von Bernhard

Du beziehst Dich in diesem Thema immer wieder sehr stark auf diese Interpretation des EIT: https://en.wikipedia.org/wiki/Stress...travariant.svg und da möchte ich dann doch eine Warnung aussprechen. Der EIT bezieht sich immer auf eine bestimmte Theorie, aus der er abgeleitet wird und dementsprechend auch interpretiert werden muss. Im Fall der Hydrodynamik enthält der EIT Druck und Dichte als Skalarfeld und zwar in dem Sinne, dass hier an jedem Punkt der Raumzeit Druck und Dichte im mitbewegten Bezugssystem (mit ?) zu verstehen ist.

Ich habe den "Wiki EIT" so verstanden, daß angewandt auf das FRW Universum nur die Diagonalelemente rho + 3P eine Rolle spielen, weil es weder shear stress noch momentum flux gibt, während beides entsteht, wenn entsprechende Kräfte auf einen Körper wirken.
Du erwähnst die Hydrodynamik in Verbindung mit der ART. Mir ist nicht klar weshalb, aber ich verstehe zu wenig davon. Geht es um das ideale fluid Modell?

[Bernhard]

Zitat von Ich

Natürlich ist er aber ein Tensor, genau deswegen sind auch weder Druck noch Dichte ein Skalar.

Wenn ich den Druck auf Null setze, berechnet sich der EIT über das Produkt von Dichte * Vierergeschwindigkeit * Vierergeschwindigkeit. Die Vierergeschwindigkeit transformiert wie ein Vektor. Wenn der EIT ein Tensor ist, muss die Dichte also wie ein Skalarfeld transformieren.

[Bernhard]

Zitat von Timm

Du erwähnst die Hydrodynamik in Verbindung mit der ART. Mir ist nicht klar weshalb, aber ich verstehe zu wenig davon. Geht es um das ideale fluid Modell?

In der Literatur findet man dazu einfach viel mehr Material inklusive konkreter Übungen und Beispiele. Zur relativistischen Festkörperphysik kenne ich dagegen nur die weiter oben verlinkte Arbeit, welche nur die Theorie selbst ohne konkrete Beispiele zeigt.

Aus dem Verschwinden der Divergenz des EIT kann man im Fall der Hydrodynamik übrigens als nicht-relativistischen Limes die Euler-Gleichungen ohne äußere Kräfte ableiten, was doch auch ganz interessant ist (?).

EDIT: Den 6. Band der Landau-Lifschitz-Reihe gibt es übrigens als kostenloses pdf. Es gibt dort ab S. 499 auch einen Abschnitt über die relativistische Hydrodynamik, allerdings ist der weniger ausführlich als der Abschnitt im alten Band 2a von W. Greiner. Ich vermute, dass W.G. L.-L. als Vorlage verwendet hat.

[Ich]

Zitat von Bernhard

Wenn ich den Druck auf Null setze, berechnet sich der EIT über das Produkt von Dichte * Vierergeschwindigkeit * Vierergeschwindigkeit. Die Vierergeschwindigkeit transformiert wie ein Vektor. Wenn der EIT ein Tensor ist, muss die Dichte also wie ein Skalarfeld transformieren.

Ein Skalar ist eine Größe, die invariant unter Transformationen ist. Die Dichte ist T00. Das, was du Dichte nennst, ist die Dichte im lokalen Ruhesystem. Die transformiert sich gar nicht, weil sie zu einem bestimmten Bezugssystem gehört.

[Bernhard]

Zitat von Ich

Die Dichte ist T00.

T^00 ist die lokale Energiedichte. In dem Punkt stimme ich mit der englischen WP überein. Die Bezeichnungen "shear stress" und "stress" halte ich je nach Anwendung für fraglich.

[Bernhard]

Zitat von Bernhard

Du beziehst Dich in diesem Thema immer wieder sehr stark auf diese Interpretation des EIT: https://en.wikipedia.org/wiki/Stress...travariant.svg und da möchte ich dann doch eine Warnung aussprechen.

Im deutschen Artikel zum EIT wird auch angegeben, wo diese Interpretation herkommt. Die räumlichen Komponenten entsprechen dem maxwellschen Spannungstensor und der bezieht sich auf elektromagnetische Strahlung. Ich gehe also mal davon aus, dass die verlinkte Interpretation vor allem für em-Strahlung gilt.

[Timm]

Zitat von Bernhard

Im deutschen Artikel zum EIT wird auch angegeben, wo diese Interpretation herkommt. Die räumlichen Komponenten entsprechen dem maxwellschen Spannungstensor und der bezieht sich auf elektromagnetische Strahlung. Ich gehe also mal davon aus, dass die verlinkte Interpretation vor allem für em-Strahlung gilt.

Ich gehe davon aus, daß sich John Baez in seinem General Relativity Tutorial auf den stress-energy tensor bezieht, den ich verlinkt hatte (englisches Wikipedia):

The stress-energy tensor, aka energy-momentum tensor, Tab, where a,b go from 0 to 3. This tells you everything about what energy and momentum are doing at your given point of spacetime, as follows:

Tab is the flow in the a direction of momentum in the b direction!

To understand this, remember that a,b=0,1,2,3 correspond to t,x,y, and z respectively. Also, remember that "energy" is the same as "momentum in the time direction", and that "density" is the same as "flow in the time direction". Thus the top row of the stress-energy tensor keeps track of the density of energy --- that's T00 --- and the density of momentum in the x,y, and z directions --- those are T01, T02, and T03 respectively. On the other hand, T10, T20, and T30 represent the flow of energy in the x, y and z directions, respectively. The other entries keep track of the flow of spatial momentum in various spatial directions. For example, T12 keeps track of the flow in the x direction of momentum in the y direction.

T11 ist Druck, x-Impuls fließt in x-Richtung
T12 ist Scherung, x-Impuls fließt in y-Richtung, also tangential.

Ich bin mir nicht sicher bei T21, T31 und T32. Eigentlich sollte T21 y-Impuls in x-Richtung sein, also auch Scherung. Sehe ich das richtig?

[Bernhard]

Zitat von Timm

Ich bin mir nicht sicher bei T21, T31 und T32. Eigentlich sollte T21 y-Impuls in x-Richtung sein, also auch Scherung. Sehe ich das richtig?

Vorab: In allen "normalen" Fällen ist der EIT symmetrisch, d.h. T_ab = T_ba. Unsymmetrische EIT kommen z.B. in der Einstein-Cartan-Theorie vor.