Bellsches Raumschiffparadoxon: Abgewandelte Problemstellung

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

Die Lorentz-Transformation kann elementar am kürzesten(aus meiner Sicht) wie folgt hergeleitet werden

Auch das ist eine gute Herleitung. Sie ist mir erstmals bei Petry begegnet.

Voraussetzung ist eigentlich nur die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Nach Maxwell ist dies im Fundamentalsystem des Lichtes der Fall, nach Einstein in jedem Inertialsystem. Weil niemand sagen kann, ob er gegenüber einem Maxwellschen Fundamentalsystem (in welchem die Feldgleichungen uneingeschränkt gültig sind) in Ruhe ist oder nicht, muss über einen k-Faktor eine Korrektur eingebracht werden. Das tut die Lorentztransformation von sich aus.

Um die Gleichungen konsistent zu machen, muss zudem eine Ortszeit eingeführt werden. Das hat Lorentz seinerzeit - etwas widerstrebend zwar - getan. In gewissem Sinne hat Lorentz bereits die QED eingeläutet (wenn auch unbeabsichtigt), wenn er sagt, dass das Vakuum der Sitz des elektromagnetischen Feldes sei.

Einsteins besonderes Verdienst liegt in der tiefgründigen Erkenntnis, dass damit eine Modifikation von Raum und Zeit einhergeht. Poincaré dürfte das allerdings - zumindet im Ansatz - auch gesehen haben (möglicherweise bereits vor Einstein).

Die Spez. Relativitätstheorie mathematisch durchdrungen hat aber erst Minkowski (1907), so dass sich Einstein ob soviel "unnötiger Gelehrsamkeit" erst einmal hinsetzen und Vierervektoren erlernen musste. Ein paar Jahre später hat er auch noch Tensoren bzw. den Ricci-Kalkül kennengelernt.

Fazit:

Es gibt unterschiedliche Herleitungen der Lorentztransformation. Übrigens lässt sie sich besonders elegant über eine Möbiustransformation begründen (weil jede Lorentztransformation eine Abbildung in der komplexen Ebene induziert). Oder anders gesagt: Die komplexen Abbildungen, die den Lorentztransformationen entsprechen, sind Möbiustransformationen.

Gr. zg

[Bauhof]

Zitat von zeitgenosse

Voraussetzung ist eigentlich nur die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Nein. Zur dieser Herleitung ist auch die Gültigkeit des Relativitätsprinzips Voraussetzung, was nicht selbstverständlich ist. In Einsteins SRT ist dies das erste Postulat. Einsteins zweites Postulat ist die Konstanz und die Isotropie der Lichtausbreitung.

M.f.G Eugen Bauhof

[Lambert]

Zitat von Uli

Die Lorentz-Transformation schließt keineswegs aus, dass einer dieser Beobachter in einem absolut bevorzugten System ruhen könnte. Immerhin ist sie ja auch Teil des Lorentzschen Äther-Modells. Erst die Kombination der LT mit dem Relativitätsprinzip stellt den Sinn einer Äther-Hypothese doch sehr in Frage.

Gruß,
Uli

Hallo Uli,

vielen Dank für die Erläuterung. Etwas, um in 2009 weiter drüber nachzudenken.

Gruß,
Lambert

[Bauhof]

Zitat von Lambert

Etwas, um in 2009 weiter drüber nachzudenken. Für mich jedenfalls. Was, wenn "das absolut bevorzugte System" das beobachtete System innehat bzw. beinhaltet?

Hallo Lambert,

erkläre uns bitte im Laufe des Jahres 2009 ganz genau, was du unter einem "absolut bevorzugten System" in Einsteins SRT verstehst.

M.f.G. Eugen Bauhof

[EMI]

Zitat von Bauhof

na ja, ganz so kurz ist deine alternative Herleitung der Lorentz-Transformation auch wieder nicht, denn es fehlt noch die wichtigste Formel:
t' = k•(t ─ x•v/c²)
Ich habe diese Formel durch weitere Einsetzungen hergeleitet

eben Bauhof, einfach einsetzten und der Rest ergibt sich.

Zitat von EMI

x'= k (x-vt)
x=ct
x'=ct'
k = 1/√(1-v²/c²)

Für die Zeit t' ergibt sich dann mit t'=x'/c

t' = k(x - vt)/c
t' = k (x/c - vt/c)

t' = k (t - vx/c²)

und mit der relativistischen Vertauschung:

Zitat von EMI

Die gestrichenen Größen folgen aus den nichtgestrichenen(und umgekehrt), wenn gleichzeitig die Geschwindigkeit das Vorzeichen ändert.

folgt:

t = k (t' + vx'/c²)

so nun muß ich aber ans Instrument, die Partygäste werden unruhig.
Bis nächstes Jahr, vorher komme ich nun nicht mehr zum Fragen beantworten.
Tut mir leid, müsst ihr halt auch mal warten.
Geduld, Geduld!

Prost!

Gruß EMI

PS: Ihr seit ja eh schon alle in die Betten und schlummert, wie ich das so einschätze.

[zeitgenosse]

Zitat von Bauhof

Nein. Zur dieser Herleitung ist auch die Gültigkeit des Relativitätsprinzips Voraussetzung, was nicht selbstverständlich ist.

Es ist zweifellos richtig, dass Einstein zwei Postulate verwendet, Relativitätsprinzip und Konstanz der Lichgeschwindigkeit in Inertialsystemen. Das zweite Postulat scheint mir aber grundlegender zu sein. Es folgt unmittelbar aus der Wellengleichung (insbesondere, wenn diese mit dem d'Alembert-Operator geschrieben wird).



Es ist auch sofort aus einem Minkowski-Diagramm ersichtlich. Die Ursprungsgerade ct = x ist in jedem beliebig eingezeichneten System mit Minkowski-Koordinaten dieselbe.

Man darf sich gerne fragen, ob es auch ohne die Maxwellsche Elektrodynamik zur Entwicklung der SRT gekommen wäre. Eine Frage nicht nur für Historiker. Geneologisch hat die SRT ihre Wurzeln im Elektromagnetismus und nicht in der Mechanik. Die Entwicklungslinie führt von Maxwell über Voigt, Lorentz und Poincaré bis zu Einstein. Nicht umsonst trägt Einsteins Arbeit den Titel "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Parallel dazu verläuft ein zweiter Zweig über die Göttinger Schule, Hilbert und Minkowski, welche die Mathematisierung der Physik unerbittlich vorantrieben. Dazu gesellen sich noch Statisten wie Heaviside und Fitzgerald, welche ebenfalls wichtige Einzelbeiträge beisteuerten. Larmor nimmt eine Sonderrolle ein, weil er die richtigen Transformationsformeln ganz alleine entwickelte. Das wird in der Regel viel zu wenig gewürdigt.

Von diesem Ansatz, d.h. der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in sämtlichen Inertialsystemen ausgehend lässt sich das relativistische Glied (Gammafaktor) mittels einiger weniger elementarer Rechnungen bestimmen wie uns EMI bereits gezeigt hat, um daraufhin im Umkehrschluss die Invarianz der physikalischen Gesetze in allen Inertialsystemen zu fordern. Selbstverständlich kommt dem Relativitätsprinzip ungeachtet des Gesagten eine grosse Bedeutung zu. Die Naturgesetze müssen so beschaffen sein, dass sie in Bezug auf beliebig bewegte Systeme gelten. Vollständige Erfüllung findet diese Forderung allerdings erst im Tensorkalkül der ART. Was bleibt ist, dass Naturgesetze in Inertialsytemen besonders einfach zu formulieren sind (wie an den Newtonschen Bewegungsgesetzen ersichtlich ist).

Gr. zg

[Lambert]

Zitat von Bauhof

Hallo Lambert,

erkläre uns bitte im Laufe des Jahres 2009 ganz genau, was du unter einem "absolut bevorzugten System" in Einsteins SRT verstehst.

M.f.G. Eugen Bauhof

Lieber Bauhof,

der Ausdruck "absolut bevorzugter System" war von Herrn Uli.
Ich habe ihn aus meinem Beitrag vor Ihrem gestrichen.
Wenn ich auch manches darüber philosophieren könnte, war der Ausdruck mir dann doch zu schwabbig. Deswegen habe ich ihn nicht wieder verwendet.

Gute Nacht und schönes 2009.

Gruß,
Lambert

[Uli]

Zitat von Bauhof

Hallo Lambert,

erkläre uns bitte im Laufe des Jahres 2009 ganz genau, was du unter einem "absolut bevorzugten System" in Einsteins SRT verstehst.

M.f.G. Eugen Bauhof

Prost Neujahr, Eugen.

Ich war das mit dem "absolut bevorzugten System" gewesen - aber nicht in Einsteins SRT, sondern in Zusammenhang mit Lorentz-Transformationen.

Ein absolutes bzw. bevorzugtes Koordinatensystem ist ein solches, in dem die Gesetze der Physik ihre "wahre" bzw. eine besonders einfache Form annehmen.

Die Lorentzsche Äthertheorie kombinierte ja die Lorentz-Transformation mit der Äther-Hypothese; die Äther-Hypothese steht dabei für die Existenz eines besonderen Inertialsystems (den Äther) - dieses war nach Lorentz das einzige System, in dem z.B. die Koordinate t die wahre, absolute Zeit beschrieb und in dem die Länge l von Körpern deren wahre Länge beschreibt. Lorentz erklärte sich die nach ihm benannte Kontraktion von Körpern, die sich gegen den Äther bewegen, durch eine Art Wechselwirkung mit dem Äther - eine Art Druck oder Reibung, die durch die Bewegung verursacht wird.

In Einsteins SRT gibt es solch ein bevorzugtes System natürlich nicht - nach dem Relativitätsprinzip sind dort alle inertialen Systeme völlig gleichberechtigt.

Gruß,
Uli

[zeitgenosse]

Anhang:

Im dreidimensionalen Raum wird der Gradient definiert als:



Dieser (auch als Nabla bezeichnete Differential-Operator) transformiert sich wie ein Vektor.

Die vierdimensionale Entsprechung ist der ◊-Operator (es ist mir nicht bekannt, ob er einen besonderen Namen hat):



Dieser transformiert sich wie ein Vierervektor. Sein Skalarprodukt führt uns zum d'Alembert-Operator (auch Quabla oder Box genannt):



Dieser ist eine Lorentzinvariante. In allgemeinster Form (wenn F ein Skalar ist) schreibt sich die Wellengleichung einfach als:



Es ist evident, dass die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum für sämtliche inertialen Bezugssysteme eine Konstante sein muss. Das Relativitätsprinzip kann somit unmittelbar aus der Elektrodynamik abgeleitet und letztlich auf die Mechanik ausgedehnt werden. Das ist mithin der Grund, weshalb ich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit zum wichtigsten Hauptpfeiler in Einsteins "Elektrodynamik bewegter Körper" deklariert habe.

Bezüglich des Relativitätsprinzips hat sich Einstein seiner Erinnerung zufolge auf das Experiment von Fizeau (Lichtgeschwindigkeit in fliessendem Wasser) abgestützt. Der Michelson-Morley-Versuch besass für ihn - wenn überhaupt - nur eine untergeordnete Bedeutung. Einstein dürfte den Versuch aber aus der Literatur von Lorentz gekannt haben. Doch präzise dazu festlegen wollte er sich seinen Biografen gegenüber in seinen späten Jahren nicht.

Gr. zg

[Uli]

Zitat von zeitgenosse

Anhang:

Im dreidimensionalen Raum wird der Gradient definiert als:
...
Gr. zg

Man sollte vielleicht ein Wort zur verwendeten - doch recht ungewöhnlichen - Notation sagen: dabei stehen die Faktoren x, y und z nicht für die Koordinaten, sondern für die Enheitsvektoren in x, y und z-Richtung. Sonst wäre der Nabla ja kein Vektor.