Math - Nichtbijektive Prototypen - Seite 4

richy · #31 23.03.10, 14:03

Hi Emi

Zitat:

Vieleicht findest Du ja allein Anknüpfungspunkte.

Danke, interessantes Video und auch etwas fuers Auge :-)
Dort geht es um den Aufbau der Teilchen selbst. Ich denke im Moment eher an das Zusammenspiel vieler Teilchen. Mehrkoerpersysteme.
Aber eine Gemeinsamkeit zum Video gibt es schon. Die Rotation.

Um es nochmals zusammenzufassen.
1)
Zunaechst habe ich die Funktion z[n+1]=z[n]^2 betrachtet, deren Umkehrfunktion und mehrdeutigen Verlauf in der komplexen Ebene.
Der Verlauf entspricht einem Binaerbaum. Die Mehrdeutigkeiten sind komlexwertig.
2)
Danach betrachtete ich eine zwischen Stabilitaet und Chaos einstellbare Variante, die logistische Gleichung. Im chaotischen Bereich a=3.9 stellen die chaotischen Attraktoren reelle Mehrdeutigkeiten dar.

Nochmal zum einfachen Fall 1) z[n+1]=z[n]^2
Da kommt auch eine Rotation drin vor :
Die Umkehrfunktion fuer z0 entspricht der Loesung der Gleichung
z[n]^g-z0=0, g=(2^n)
Nichts Besonderes. Die Loesungen bilden z.B fuer z0=1 aus 2^n Punkten den Einheitskreis in der komplexen Ebene.

Zwei Besonderheiten gibt es dennoch, denn ich bilde diese Loesungen sukzessive :
((((z[n]^2)^2)^2)^2...)-z0=0

Besonderheit 1)
ist wie dieser Kreis zukzessive graphisch zustande kommt.
Man kann diese Wurzel kinderleicht konstruieren :

Die Wurzel von 1 betraegt 1 und -1
Die Verbindung stellt eine Gerade in der Koplexen Ebene dar.
Jetzt drehe ich diese Gerade um 90 Grad und erhalte eine Kreuz.
Die Werte 1,-1,i,-i
Nun drehe ich das gesamte Kreuz um 45 Grad und erhalte vier weitere, insgesamt 8 Loesungen. Einen Stern.
Den 8 er Stern drehe ich um 45/2 Grad ..... e.t.c

Der komplexe Kreis ist somit eine eigenwillige Darstellung eines Entscheidungsbaumes. Eine recht praktische. Denn ich kann unendlich viele Entscheidungen damit darstellen.

Besonderheit 2)
baut auf den Entscheidungsbaum auf. Und ist so verblueffend, dass man darueber fast ins philosophieren geraten kann.

Dazu stellt man sich zunaechst nochmals den Entscheidungsbaum vor :

Betrachtet das parallel auch als Lebensweg.
Entscheide ich mich an der ersten Stelle fuer -1 statt 1 ....
So sieht man : Die Moeglichkeit 1 kann ich nie mehr erreichen !
Welch ein Jammer :-)
Na die -1 liefert mir wenigstens ein i oder -i.
Ich waehle das -i und kann nun wieder jammern :
"Mein gutes i ade, auf nimmer wiedersehen."

Genaugenommen stimmt das. Ich habe nur einen Weg durch den Entscheidungsbaum.
Jetzt behaupte ich :
Man kann dennoch alle Werte des Baumes annaehernd besuchen, wenn dieser sehr gross ist und ich meine Entscheidungen zufaellig treffe.
Habe ich mich fuer -i entschieden, so kann ich i nie mehr genau erreichen, aber ein Punkt ganz in der Naehe i+dz.
Man kann sich dies am drehenden Kreuz/Stern ueberlegen. Irgendein neuer Weg muss i nahe kommen. Sogar mit jeder neuen Drehung immer naeher.
Das Problem ist nur. Mit welcher Taktik kann ich auf einen i nahen Weg gelangen ?
Ich kenne wenigstens eine : Den Zufall.

Waehlt man das Vorzeichen der Wurzel nach irgendeinem periodischen Schema, ergibt sich nur ein Ausschnitt. Waehlt man das Vorzeichen zufaellig ergibt sich das komplette Bild z.B. den Kreis oder die fraktale Grafik a=3.1.
Und damit haetten wir eine Begruendung fuer den Zufall.

ciao

richy · #32 23.03.10, 16:35

Numerischer Beweis meiner Aussage, dass man mittels zufaelliger Entscheidung alle Werte der n-ten Wurzel(1) annaehernd besuchen, ermitteln kann.
Fuer n->00 sogar alle exakten Werte. (Theoretisch)

Programmbeschreibung :
Startwert sei z=1. Ich bilde die Wurzel von z
z[i]=+/- Wurzel(z)
Und waehle das Vorzeichen zufaellig. Fahre iterativ fort z=z[i]
D.h. ich waehle den Weg durch den Entscheidungsbaum rein zufaellig.
Hier das Ergebnis fuer 500 zufaellige Entscheidungen :

Nun eine determinierte Variante. Ich wahle das Vorzeichen immer abwechselnd positiv-negativ-positiv-negativ .....
D.h. ich waehle den Weg durch den Entscheidungsbaum immer nach oben, dann nach unten.
Hier das Ergebnis fuer 500 determinierte Entscheidungen :

Erstaunlich oder ?
Das nennt man wohl ergodischen Prozess.

Programmcode (Maple rechnet immer komplex)

Zitat:

> restart; with(plots):randomize;
> z0:=1;N:=500;
> wahl:=rand(0..1);
> for i from 1 to N do
> #if (i mod 2 =0 ) then # Determinierte Wahl (auskommentiert)
> if (wahl()=0 ) then # Zufaellige Wahl
> z[i]:=sqrt(z0);z0:=z[i];
> else
> z[i]:=-sqrt(z0);z0:=z[i];
> fi;
> od:
> druck:=seq(z[i],i=1..N):
> complexplot ([druck],x=-1..1,style=point);

JoAx · #33 23.03.10, 16:47

Zitat:

Zitat von richy

Erstaunlich oder ?

Sieht einbisschen nach Interferrenz aus?

Wie würde wohl das Bild aussehen, wenn man 2x oben -> 2x unten ... wählt?

Oder 1x oben -> 2x unten -> 1x unten -> 2x oben ... ?

Für welches Programm ist der Code?

Gruss, Johann

richy · #34 23.03.10, 17:05

Hi Joax

Zitat:

Sieht ein bisschen nach Interferrenz aus?

Es hat eher mit dem Informationsgehalt der Auswahlfunktion zu tun :
plus,minus,plus,minus ..... 010101010
Das ist wenig Information. Nur eine Frequenz.

Wenn ich mir ein geeignetes Maß fuer die Belegungsdichte des Kreises ueberlege, kann ich damit die Information abschaetzen.

Zitat:

Wie würde wohl das Bild aussehen, wenn man 2x oben -> 2x unten ... wählt?
Oder 1x oben -> 2x unten -> 1x unten -> 2x oben ... ?

Auch nur eine Frequenz.
Sicherlich ergibt dies auch keinen Kreis, sondern eine sehr duenne Belegung. Moment probiere es gleich mal aus.

Zitat:

Für welches Programm ist der Code?

Maple. Ein Mathematikprogramm. Kann man aber unter jeder Sprache implementieren. Dann muss man nur selber die komplexe Wurzel ziehen.

Gruesse

richy · #35 23.03.10, 17:14

Bild von 110110110110
Entspricht der Programmzeile
if (i mod 3 =0 ) then + else -

Da sind 500 Punkte ! Mager, denn sie liegen fast alle uebereinander

Ich will erstmal ein Spiel daraus machen. Der Benutzer gibt irgendein Bitmuster von Hand ein. Man kann dann sehen wie zufaellig es ist.
Darf dann jeder vom Forum ein Muster schicken :-)
Man koennte auf diese Weise auch Texte, Bilder,Musik graphisch beurteilen.
Waehlt man z0<>1 ergibt sich eine Spirale. Man kann den zeitlichen Verlauf mit einbringen.

Zitat:

Oder 1x oben -> 2x unten -> 1x unten -> 2x oben ... ?

Da waere die Belegung sicherlich dichter.
Aber das geht mit mod nicht so einfach. Programmiere ich morgen ueber einen beliebigen Textstring.

JoAx · #36 23.03.10, 17:22

Zitat:

Zitat von richy

Darf dann jeder vom Forum ein Muster schicken :-)

Da hätte ich schon ein Test:

111
0
1111
0
11111
000000000
11
000000
11111
000
.......

Weiss jeder, wie es weiter geht?

Gruss, Johann

richy · #37 23.03.10, 17:34

Grad noch getestet.
Wenn ich z[i]+i darstelle, wird der Kreis zeitlich auseinandergezogen. Man sieht dann in welchen Attraktoren die Bitmuster zeitlich stecken bleiben.
He he das ist echt interessant. Muss jetzt in ne Musikprobe ciao

richy · #38 23.03.10, 17:41

Zitat:

Weiss jeder, wie es weiter geht?

Puh, nein :-)
Wird morgen als erstes gestestet :-)
Hat jemand schon eine Idee, wie man die Dichtebelegung des Kreises numerisch,quantitativ erfassen koennte ? Hinweis : Die Punkte huepfen von einem Attraktor zum anderen.
ciao