Wie schwer bin ich im Einsteinzug?

[Ich]

Zitat von Mike

Mein anderes Szenario basiert eben auf dem Äquivalenzprinzip. Es soll weit ab von gravitativen Massen eine Bahnschiene mit 1 g Eigenbeschleunigung (senkrecht zu ihrer Länge) nach oben beschleunigt werden. Auf ihr soll der Zug mit 0,866 c fahren. Ein mitbewegter Beobachter wird nun sagen, da die Bahnschiene mit 1g Eigenbeschleunigung nach oben geht, werde ich wegen der Zeitdilatation nur 0,25 g messen. Aber das entfernte Ende der Schiene hat schon vor einiger Zeit angefangen zu beschleunigen, das hiesige Ende erst gerade eben. Also sollte die Bahnschiene nicht mehr gerade sein, sondern eine Parabel beschreiben. Und diese parabelartige Rampe muss der Zug zusätzlich zu der 0,25 g Beschleunigung herauffahren (nicht mehr gegen die Gravitation, die ist ja in diesem Szenario nicht anwesend, aber gegen die Trägheit), so dass beides zusammen dann die 4 g ergeben sollte, die er misst. (Die Bahnschiene hat hier eine wesentlich höhere Masse als der Zug.)

Wenn ich mit dieser Annahme richtig liege, kann man daraus lernen, was für einen unbewegten Beobachter gerade erscheint (nämlich die aus seiner Sicht völlig gleichzeitig beschleunigte Bahnschiene, die also aus seiner Sicht perfekt grade ist), wäre für einen bewegten Beobachter nicht mehr völlig gerade. Viel macht es allerdings nicht aus. Wenn die Schiene 260 000 km Ruhelänge hätte, wäre sie für den mitbewegten Beobachter im Zug 130 000 lang und hinten nur 5 m höher als vorne.

Wenn ich irgendwo falsch liege, bitte korrigieren.

Du liegst hier mit dem meisten falsch. Die Schiene erscheint krumm, richtig. Aber aus Sicht des Zuges ruht der Zug natürlich, während eine krumme Schiene unter ihm durchfährt. Dadurch entsteht keine Beschleunigung.

Die Unterschiede in der Beschleunigung kommen rein aus der Zeitdilatation. Deren Symmetrie musst du verstehen, um die Beschleunigungswerte zu erklären. Das ist nichttrivial, weshalb ich Zeitdilatation auch nicht für ein Konzept halte, mit dem man Anfänger als allererstes konfrontieren sollte.

Das Prinzip ist so:
Beobachte ich einen Punkt, der im bewegten System ruht und vergleiche dort die Koordinatenzeiten, dann vergeht die Zeit des bewegten Systems langsamer.
Beobachte ich einen Punkt, der im ruhenden System ruht und vergleiche dort die Koordinatenzeiten*, dann vergeht die Zeit des bewegten Systems schneller.
*Das heißt, dass ich bei jedem Vergleich meine Uhr mit einer verschiedenen Uhr des bewegten Systems vergleiche. So wie im anderen Fall eine Uhr des bewegten Systems mit verschiedenen Uhren in meinem System verglichen habe.

Also hat jeder schienenfeste Punkt im Zugsystem eine Beschleunigung von 0,25 g, und jeder zugfeste Punkt beschleunigt im Zugsystem mit 4 g.

Wenn du das wirklich herleiten können willst, musst du die Lorentztrafos anwenden können. Das ist relativ einfache Vektormathematik, sollte dich nicht vor größere Probleme stellen. Soll ich es dir zeigen?

[Ich]

Zitat von Bernhard

Stimmt auch. Es gibt in der Praxis Beispiele für beide Strategien.

Das letzte Wort hat die Mathematik, keine Frage. Aber jeder Physiker weiß, dass man gar nichts exakt rechnen kann. Allein schon die Aufgabenbeschreibung macht immer Näherungen wie punktförmige Gegenstände und flache Raumzeit oder Abwesenheit elektrischer Felder und so weiter. Diese Näherungen sind oft noch gefährlicher als die, die man beim Rechnen macht, wenn die Aufgabenstellung vorgegeben ist, weil sie einem selbstverständlich scheinen.

[Mike]

Du liegst hier mit dem meisten falsch. Die Schiene erscheint krumm, richtig. Aber aus Sicht des Zuges ruht der Zug natürlich, während eine krumme Schiene unter ihm durchfährt. Dadurch entsteht keine Beschleunigung.

Hier bin ich schon der Meinung, dass Beschleunigung dadurch entsteht. Ich wähle ja die Masse der Schiene deutlich größer als die Zugmasse, eben damit vorwiegend der Zug nach oben gedrückt wird, und die Schiene nur wenig nach unten. Dann sollte es keine Rolle spielen ob der Zug drüberfährt oder die Schiene unter dem Zug hergleitet.

Also hat jeder schienenfeste Punkt im Zugsystem eine Beschleunigung von 0,25 g, und jeder zugfeste Punkt beschleunigt im Zugsystem mit 4 g.

Ja, das ist sehr verständlich ausgedrückt.

Wenn du das wirklich herleiten können willst, musst du die Lorentztrafos anwenden können. Das ist relativ einfache Vektormathematik, sollte dich nicht vor größere Probleme stellen. Soll ich es dir zeigen?

Sehr gerne.

[Ich]

Zitat von Mike

Hier bin ich schon der Meinung, dass Beschleunigung dadurch entsteht. Ich wähle ja die Masse der Schiene deutlich größer als die Zugmasse, eben damit vorwiegend der Zug nach oben gedrückt wird, und die Schiene nur wenig nach unten. Dann sollte es keine Rolle spielen ob der Zug drüberfährt oder die Schiene unter dem Zug hergleitet.

Welchen Einfluss soll die Form der Schiene haben, wenn der Zug sich überhaupt nicht bewegt? Das hat auch nichts mit der Masse der Schiene zu tun. Wenn ich aus einem Tal herausfahre, beschleunige ich nach oben. Wenn nur der Boden durchgezogen wird und ich im Tal bleibe, nicht. Das ist der Unterschied.

Sehr gerne.

Du drückst Ereignisse als Vektoren aus mit den Komponenten (t,x,y,z). Die Lichtgeschwindigkeit setzt man gleich 1, um übersichtlicher schreiben und denken zu können.
Das gestrichelte Bezugssystem bewege sich mit v nach +x, so dass zur Zeit 0 die Ursprünge aufeinander liegen.
Dann transformierst du die (t,x) Komponenten mit der "Rotationsmatrix"
g -gv
-gv g,
wobei "g" der Gammafaktor ist.
Also (Zeile mal Spalte, wie in der Schule gelernt):
t' = g -gv t
x' = -gv g x.
Die y- und z-Komponenten bleiben ungeändert.
Sorry, ohne Sonderzeichen und Formelskript ist das nicht schön.

Prinzip verstanden? Also z.B. das Ereignis im Ruhesystem "Uhrzeit: eine Sekunde, Ort: am Ursprung" lautet (t,x)=(1,0), wenn wir Sekunden als Maßeinheiten für Zeit und Raum verwenden und die Einheiten nicht hinschreiben. Transformiert ins gestrichelte System lautet es (t',x')=(g,-gv).
Das bedeutet, dass dieses Ereignis im gestrichelten System erst nach g Sekunden stattfindet, das ist Zeitdilatation.

Übung: Was zeigt jeweils die gestrichelte Uhr am Ereignis (t,x)=(1,v)? Also im Ruhesystem ausgedrückt "Uhrzeit: eine Sekunde, Ort: am Ursprung der bewegten Systems".

Fragen?

[Mike]

Welchen Einfluss soll die Form der Schiene haben, wenn der Zug sich überhaupt nicht bewegt? Das hat auch nichts mit der Masse der Schiene zu tun. Wenn ich aus einem Tal herausfahre, beschleunige ich nach oben. Wenn nur der Boden durchgezogen wird und ich im Tal bleibe, nicht. Das ist der Unterschied.

Die Form der Schiene ist eine Parabel, also wohl so als würde der Zug mit 3,75 g nach oben beschleunigen. Wenn im schwerelosen Raum eine solche parabelartige Schiene unter dem Zug durchrutschen würde, sollte sie den Zug doch gleichmäßig nach oben beschleunigen, sofern sie eben nicht nennenswert vom Zug runtergedrückt wird.

Übung: Was zeigt jeweils die gestrichelte Uhr am Ereignis (t,x)=(1,v)?

(t',x')=(g-gv²,0).

[Mike]

Zitat von Quantor

Die Effekte der ART sind sehr gering - sollte man tatsächlich vernachlässigen können - so stimme ich dir also zu:

- der Laborbeobachter misst so (2*m)*g = 2*Gewicht, aber Beschleunigung g.
- der Ruhebeobachter misst g'=2^2*g=4*g, also m*g' = 4*Gewicht.

Andere Leute haben hier nach der ART als Ergebnis 10 g ausgerechnet. So richtig klar ist mir nun auch noch nicht, was nun zutrifft.

[Bernhard]

Zitat von Mike

Andere Leute haben hier nach der ART als Ergebnis 10 g ausgerechnet. So richtig klar ist mir nun auch noch nicht, was nun zutrifft.

Dazu möchte ich nur erneut anmerken, dass du hier auch physikalisch unterscheidbare Szenarien zur Diskussion gestellt hast. Begriffe aus dem Alltag (wie gerade, schnell, langsam, beschleunigt) reichen da leider nicht aus, um die Unterschiede zu erkennen und exakt beschreiben zu können.

Ein typischer Begriff, der über die Alltagswelt hinausgeht ist https://de.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem

[Ich]

Zitat von Mike

Die Form der Schiene ist eine Parabel, also wohl so als würde der Zug mit 3,75 g nach oben beschleunigen. Wenn im schwerelosen Raum eine solche parabelartige Schiene unter dem Zug durchrutschen würde, sollte sie den Zug doch gleichmäßig nach oben beschleunigen, sofern sie eben nicht nennenswert vom Zug runtergedrückt wird.

Das hast du missverstanden. Die Parabel ist stationär im Zugsystem. Der Zug ist immer an der tiefsten Stelle. Wie eine Kugel in einem Hamsterrad.
Die Mathematik dazu ist komplizierter, aber es reicht folgende Erkenntnis (ohne Relativitätstheorie):

Im Ruhesystem gilt z(t)=a/2t². Wenn ich den Zeitnullpunkt um t0 verschiebe (T=t-t0), dann gilt z(T)=a/2(T+t0)², also ist der tiefste Punkt nicht mehr bei t0. Wenn man allerdings ins (in z-Richtung) mitbewegte System transformierst, dann gilt wieder z(T)=a/2T². Das heißt, im mitbewegten System ist sieht alles zu jedem Zeitpunkt immer exakt gleich aus. Dementsprechen schaut auch die Parabel immer exakt gleich aus, die du kriegst, wenn du in dasn in x bewegte System transformierst.

(t',x')=(g-gv²,0).

Gut. Ist das das erwartete Ergebnis? Die bewegte Uhr sollte ja um den bekannten Faktor langsamer gehen.

[Mike]

Gut. Ist das das erwartete Ergebnis? Die bewegte Uhr sollte ja um den bekannten Faktor langsamer gehen.

Ja, das sollte passen. In unserem Beispiel 0,5 s.

Gut man bleibt immer im tiefsten Punkt der Parabel, und doch kann man da ja aus seinem Inertialsystem heraus gedrückt werden, eben wenn Beschelunigung wirkt. Oder vielleicht besser gesagt, der Zug wird herausgedrückt. Ich nehme an, man nimmt zwar ein mit der gleichförmigen Geschwindigkeit des Zuges mitbewegtes Bezugssystem, aber keines das die Beschleunigung mitmacht oder?

[Ich]

Zitat von Mike

Ja, das sollte passen. In unserem Beispiel 0,5
s.

Ja. Die Idee war, dass du fertig umformst:
(t',x')=(g-gv²,0)=(1/g,0). Diese Art Vereinfachung kommt häufig vor.

Gut man bleibt immer im tiefsten Punkt der Parabel, und doch kann man da ja aus seinem Inertialsystem heraus gedrückt werden, eben wenn Beschelunigung wirkt. Oder vielleicht besser gesagt, der Zug wird herausgedrückt. Ich nehme an, man nimmt zwar ein mit der gleichförmigen Geschwindigkeit des Zuges mitbewegtes Bezugssystem, aber keines das die Beschleunigung mitmacht oder?
Beitrag bearbeiten/l?schen

Das ist wieder eine Frage dieser Näherungen. Ich gehe in ein mit vx bewegtes System. Die z-Beschleunigung behandle ich als "Störung" obendrauf, ohne etwas am Inertialsystem zu ändern.

Beispiel:
Die Schiene wird beschrieben durch (t,x,0,a/2t²), das ist eine
zweidimensionale Fläche in der 4D-Raumzeit mit den beiden Koordinaten/Variablen t und x.
Der Zug befindet sich auf x=vt, wird also beschrieben durch die Weltlinie (t,vt,0,a/2t²) mit der Koordinate t.

Aufgabe: Transformiere die Weltlinie nach t',x',y',z'. z'=z, aber das t in a/2t² musst du durch t' ausdrücken. Wie schaut die Weltlinie aus, und welche Beschleunigung in z hat der Zug?