Schwarzschildradius

[Marco Polo]

Zitat von EMI

Gemäß der SRT(grav.Feld frei) gehen gleichförmig geradlinig bewegte Uhren langsamer als ruhende:

[1] t' = t/√(1-v²/c²)

Die "Fluchtgeschwindigkeit" v die ein Körper besitzen muss um ein grav.Feld mit der Masse m zu verlassen berechnet sich bekannter Weise mit:

[2] v² = 2gm/r wobei hier g die grav.Konstante und r die Entfernung zum Mittelpunkt der Masse m ist.

Für jede Masse m können wir den Schwarzschildradius rs angeben:

[3] rs = gm/c²
[4] m = rsc²/g

Setzen wir [4] in [2] ein erhalten wir:

[5] v² = c² 2rs/r

Wir sehen mit [5] das die Fluchtgeschwindigkeit c wird, wenn die Entfernung r zum Mittelpunkt einer Masse nur noch 2 mal größer als der Schwarzschildradius rs dieser Masse ist. Das heist ab r=2rs kann auch kein Licht mehr entweichen(schwarzes Loch).

Setzen wir nun [5] in [1] ein erhalten wir:

[6] t' = t/√(1-2rs/r)

[6] ist die grav.Zeitdilatation, bei r=2rs steht die Zeit still.

Hi EMI,

das ist nicht korrekt. Der Schwarzschildradius berechnet sich wie folgt:

rs=2GM/c²

erst bei r=rs kann Licht nicht mehr entweichen.

rs=GM/c² gilt nur für Kerr-Löcher (also rotierende SL`s) mit zudem max. Drehzahl.

Abgesehen davon entspricht deine Vorgehensweise mit der Fluchtgeschwindigkeit, der von Laplace. Tatsächlich muss man aber die ART bemühen, wie aus nachstehendem Link im Abschnitt "Nichtrelativistische Betrachtungen zum Schwarzschild-Radius" hervorgeht:

http://de.wikipedia.org/wiki/Schwarz...zschild-Radius

Gruss, Marco Polo

[EMI]

Zitat von Marco Polo

das ist nicht korrekt. Der Schwarzschildradius berechnet sich wie folgt: rs=2GM/c²

Hallo Marco Polo,

irgend wann muss es mir doch mal gelingen Dich davon zu überzeugen, das der Schwarzschildradius nach der ART

rs = gm/c² und nach Newton

rs = 2gm/c² ist.

Das ist unter anderem auch der Grund dafür, das der Ablenkwinkel δ
für Licht was die Sonne passiert nach Newton nur halb so groß ist wie nach Einstein.
δN = 2rs/rsonne ~ 0,8725''
δE = 4rs/rsonne ~ 1,745''
δE = 2δN


Mit rs = gm/c² (ART) folgt für die
Sonne rs ~ 1,49 km
Erde rs ~ 0,443 cm
Mond rs ~ 0,0053 cm

offensichtlich müssen wir abwarten bis einer von denen zum SL wird und wir beide mal nachmessen können.
Bis dahin bleibe ich bei "meinen" Formeln.

Zitat von Marco Polo

erst bei r=rs kann Licht nicht mehr entweichen.

Auch hier bleibe ich dabei, ab r=2rs kann Licht nicht mehr entweichen
("Dein" rs ist ja doppelt so lang wie "mein" rs, ergo ab wann Licht nicht mehr entweichen kann sind wir in Übereinstimmung )
genau so wie die Lichtgeschwindigkeit bei einem SL bei r=2rs Null wird, stehenbleibt.
cφ = c(1-2rs/r) , φ=0° in Richtung der grav.Kraft
Allgemein gilt cφ = c[1-rs/r(1+cos²φ)]

Gruß EMI

[kawa]

Zitat von EMI

nach der ART

rs = gm/c² und nach Newton

rs = 2gm/c² ist.

Wie kommst du auf sowas? Der Schwarzschildradius wird in der ART definiert als der Radius in dem die Schwarzschildmetrik in Kugelkoordinaten singulär wird. Und das ist halt bei r=2gm/c², wie man sich leicht überzeugen kann.

Gruß, Karsten.

[kawa]

Zitat von EMI

Durch rechnen.

Aha. Du hast also eine andere Form der Schwarzschildmetrik berechnet und bist der Meinung, die übliche Rechnung ist falsch? Und das ist dann wirklich noch im Rahmen der ART? Oder eher eine private Alternativtheorie?

Gruß, Karsten.

[Bauhof]

Zitat von EMI

irgend wann muss es mir doch mal gelingen Dich davon zu überzeugen, das der Schwarzschildradius nach der ART

rs = gm/c² und nach Newton

rs = 2gm/c² ist.

Das ist unter anderem auch der Grund dafür, das der Ablenkwinkel δ für Licht was die Sonne passiert nach Newton nur halb so groß ist wie nach Einstein.

Hallo EMI,

Micharl Berry schreibt in seinem Buch [1] im Kapitel 5.6 (Schwarze Löcher), auf Seite 106 folgendes, Zitat:

"In den letzten vier Abschnitten wirkte sich die allgemeine Relativitätstheorie in sehr kleinen Korrekturen an den Vorhersagen der Newtonschen Mechanik aus. Jetzt untersuchen wir eine Situation, zu der es kein genaues Newtonsches Analogon gibt, wo also die allgemeine Relativitätstheorie dominiert. Wir beginnen mit der Bemerkung, dass die Komponente g11 (also gn) der Schwarzschildmetrik unendlich wird, wenn r gleich dem "Schwarzschildradius" rs ist, der als rs = 2GM/c² definiert wird." Zitat Ende.

Ich interpretiere das so:
1. Der Schwarzschildradius ist eine Definition.
2. Diese Definition entspringt einer Bedingung in der ART: Wenn eine bestimmte Komponente der Schwarzschildmetrik gegen unendlich strebt.

Meine Schlussfolgerung: Der Schwarzschildradius nach der ART ist definiert mit 2GM/c² und nicht mit GM/c², wie du geschrieben hast.

Auf Seite 102 schreibt Michael Beryy, Zitat:
"... so dass die Ablenkung δ = 4GM/c²r ist. Das ist genau das Doppelte des Newtonschen Wertes. Für Licht, das die Sonne streift, ist δ = 1,75''. Zitat Ende.

Die Tatsache, dass nach Newton der Ablenkwinkel nur halb so groß ist wie nach Einstein, begründet nicht, dass der Schwarzschildradius GM/c² beträgt.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Berry, Michael
Kosmologie und Gravitation. Eine Einführung.
Stuttgart 1990. ISBN=3-519-03069-1.
http://www.amazon.de/Kosmologie-Grav...442104&sr=11-1

[Marco Polo]

Zitat von EMI

Das ist ja die Krux, man wird einfach nicht fündig und @Marco verdient sich ne goldne Nase.
Fehlt nur noch das er Klammerleasing einführt, zuzutrauen ist dem Raffke alles.

Eine Unverschämtheit.

Hatte ich schon erwähnt, dass ich unlängst eine 7 Mio. Motorjacht bestellt habe? Alles nur mit Klammern verdient.

Ist übrigens ne prima Idee, das mit dem Klammerleasing.

Spass beiseite.

irgend wann muss es mir doch mal gelingen Dich davon zu überzeugen, das der Schwarzschildradius nach der ART

rs = gm/c² und nach Newton

rs = 2gm/c² ist.

Das ist mir neu. Ich finde dazu leider nichts im Netz und auch nichts in der mir vorliegenden Fachliteratur.

Ist eh interessant, dass sich aus dem Energiesatz

v(Flucht)=sqrt(2GM/R) für R=rs die Vakuumlichtgeschwindigkeit c ergibt.

rs soll nach der ART um den Faktor 2 abweichen?

Kannst du bitte einen Link angeben der belegt, dass nach der ART

rs = gm/c² ist?

Gerade habe ich in der Fachliteratur eine Berechnung von rs anhand der ART gefunden.
Die ist aber dermassen kompliziert und umfangreich, dass ich nur das Endergebnis für
rs erwähne:

rs=2GM/c²

Keine Ahnung, wie du auf rs = gm/c² kommst.

rs(Erde) ist in etwa 9mm und nicht wie von dir behauptet 0,443 cm
rs(Sonne) ist 2,952 km und nicht 1,49 km

So stehts auch bei Wikipedia und allen anderen Publikationen, die mir bekannt sind.

Für rs erhalten wir sowohl nach Newton, als auch nach der ART (Schwarzschildmetrik) den gleichen Wert. Warum das so ist, weiss ich auch nicht. Scheint eher Zufall zu sein, da aufgrund der Raumzeitkrümmung die radialen Abstände im Gravitationsfeld ja eigentlich vergrößert sind. Demnach müsste ja eigentlich die Tendenz für rs in Richtung deiner Formel gehen. Hmm...

Wenn wir allerdings rotierende SL´s betrachten (Kerr-Metrik), dann kommt deine Formel für rs laut Wikipedia hin. Aber eben nur bei max. Drehzahl. Kennt sich da einer aus?

Wir sind jetzt aber deutlich Off-Topic.

Gruss, Marco Polo

[Gandalf]

Hallo - Ihr !

Zitat von Marco Polo

Das ist mir neu. Ich finde dazu leider nichts im Netz und auch nichts in der mir vorliegenden Fachliteratur.

Ist eh interessant, dass sich aus dem Energiesatz

v(Flucht)=sqrt(2GM/R) für R=rs die Vakuumlichtgeschwindigkeit c ergibt.

rs soll nach der ART um den Faktor 2 abweichen?

Kannst du bitte einen Link angeben der belegt, dass nach der ART

rs = gm/c² ist?

Die Lösung liegt - wie fast immer - irgendwo dazwischen - jedoch eher leicht "EMI-verschoben"

rs = 2gm/c²
ist ein 'Ideal' - der Ereignishorizont eine 'mathematisch definierte Fläche'

die Wirklichkeit scheint nach allem was beobachtet wurde Richtung "Kerr-Geometrie" (abgeleitet aus der ART) zu gehen (ohne sie vollständig errreichen zu können).
---> rs = gm/c²

http://www.wissenschaft-online.de/as...lexdt_e05.html


Erstaunlichweise kommt klassisch - in einer Newtonschen Rechnung - dasselbe Ergebnis zustande, wie korrekt gerechnet mit der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART), wenn man den Horizont eines nicht rotierenden Schwarzen Loches berechnen will. Das ist allerdings ein Zufall. Die richtige Mathematik zur Beschreibung von Ereignishorizonten liefert nur die ART.

Im Unterschied zu 'normalen' Sternen ist der Ereignishorizont nur eine mathematisch definierte Fläche, eine so genannte Nullfläche, die nicht mit einer festen Oberfläche assoziiert ist! In der ART beschreibt man den Ereignishorizont eines rotierenden Schwarzen Loches als zweidimensionale Nullfläche. Sie wird von den beiden Killing-Vektoren aufgespannt. Die Killing-Vektoren folgen wiederum aus der Symmetrie der Raumzeit. Aus der Betrachtung der Isometrien lässt sich die Killing-Gleichung ableiten, deren Lösungen die Killing-Vektoren sind. Weil sie eine Nullfläche erzeugen, heißen sie auch Nullgeneratoren. Die Nullfläche der Kerr-Geometrie ist aufgrund der Isometrien unabhängig von den Koordinaten t (Zeit) und Φ (Azimuthalwinkel).

bekomm ich jetzt den ausgelobten Preis dafür?


Grüße

[kawa]

Zitat von Gandalf

Die Lösung liegt - wie fast immer - irgendwo dazwischen - jedoch eher leicht "EMI-verschoben"

Der Schwarzschildradius wird über die Schwarzschildmetrik definiert (der Name allein ist darauf schon ein klarer Hinweis). In der Kerr-Metrik hat man höchstens einen 'Kerr-Radius', aber eben keinen Schwarzschildradius. Was so toll am Schwarzschildradius ist? Ganz einfach, er resultiert aus der einfachsten nichtrivialen Lösung der ART und hängt nur von der Masse ab. Ein analoger 'Kerr-Radius' würde ja zusätztlich vom Drehimpuls des SL abhängen.

Wenn man nun den Radius des Horizonts haben will, dann ist der nur im Falle der Schwarzschildmetrik mit dem Schwarzschildradius identisch. Eine andere Metrik ergibt dann natürlich i.d.R. einen anderen Wert für den Horizont.

Das ganze ist also eigentlich eine reine Nomenklaturfrage und damit völlig langweilig. Der Thread könnte also geschlossen werden.

[EMI]

Ist der Gravitationsradius identisch mit dem Schwarzschildradius?

EMI

[Marco Polo]

Zitat von EMI

Ist der Gravitationsradius identisch mit dem Schwarzschildradius?

Hi EMI,

angeblich nur im Fall nichtrotierender, elektrisch ungeladener SL´s.

dort ist rg=rs=2GM/c²

bei rotierenden, elektrisch ungeladenen SL´s im zumindest laut Wiki max. rotierenden Fall ist rg nur noch halb so gross wie rs.

rg=GM/c²

Bei den Kerr-Löchern liegt ein sogenannter Rotationsellipsoid mit den beiden Halbachsen rg und rs vor. Aber von welcher Metrik sprechen wir hier? Kann ja nur die Kerr-Metrik sein. Wenn ja, wieso kommt dann in der Kerrmetrik der Schwarzschildradius vor?

Wenn ich ehrlich bin, kapier ich am Beispiel Kerr-Loch immer noch nicht die unterschiedliche Bedeutung von rg und rs.

Also was passiert bei rg und was passiert bei rs? Was unterscheidet beide (abgesehen vom unterschiedlichen Wert) voneinander?

Gerade habe ich folgenden Link entdeckt:

http://www.wissenschaft-online.de/as...ro_sl_eig.html

Ups, das ist ja der gleiche Link wie Gandfalfs. Na ja egal.


Gruss, Marco Polo