Basen der Loop QGT

[ghostwhisperer]

Hallo! Ich beschäftige mich gerade verschärft mit Spin-Netzwerken und der Loop-Quantengravitation. Jetzt habe ich eine Frage, da bei mir das Verständnis an einer Stelle leider ziemlich hakt.
Die Loop verwendet doch holonome Basen, richtig? Holonom heißt doch dann, daß die Basis-Vektoren aus Koordinaten ableitbar sind und dass sie nur in einfach zusammenhängenden Umgebungen gelten. Die kovarianten Basis-Vektoren sind dann die Tangenten an die krummlinigen Koordinaten und kontravariant die Normal-Vektoren.
Ich kann mir diese Basen gut vorstellen.
Aber was ist dann eine anholonome Basis?? Ich hab nur gelesen, daß diese eben nicht aus Koordinaten ableitbar ist. Wie kann man das veranschaulichen?
Wann ist eine Umgebung nicht einfach zusammenhängend?
DANKE, ghosti !

[Bernhard]

Zitat von ghostwhisperer

Die Loop verwendet doch holonome Basen, richtig?

Ich kenne mich mit dieser Quantisierung nicht besonders gut aus. Meinst Du einen Wilson-Loop?

Holonom heißt doch dann, daß die Basis-Vektoren aus Koordinaten ableitbar sind

So wird das in der ART generell benutzt.

und dass sie nur in einfach zusammenhängenden Umgebungen gelten.

mag sein. Bin mir aber nicht sicher, ob das zwingend so sein muss.

Aber was ist dann eine anholonome Basis?

Eine Tetrade: https://en.wikipedia.org/wiki/Frame_...ral_relativity

Wann ist eine Umgebung nicht einfach zusammenhängend?

Das kommt aus der Topologie: https://de.wikipedia.org/wiki/Zusamm...enh%C3%A4ngend

[ghostwhisperer]

Danke dir.
Ich habe nur den Namen der Theorie abgekürzt..
Das mit dem einfach zusammenhängend hab ich inzwischen raus.
Ob der Tetradenformalismus generell gilt war mir nicht ganz klar..
Kann man das über die Formel für die Metrik identifizieren?
Du weißt schon, der Zusammenhang zwischen Metrik, geradlinigen und krummlinigen Koordinaten über partielle Ableitung.
Dann ist Metrik außerdem noch als bijiektive affine Abbildung definierbar, wenn ich das gerade so richtig nenne. In dem Fall kann ich zwischen nichtzusammenhängenden Gebieten einen Zusammenhang herstellen, wenn ich nicht ganz falsch liege.

[TomS]

Die Metrik ist letztlich quadratisch in den Vierbeinen; und das gilt immer in der Riemann- sowie der Riemann-Cartan-Geometrie.

[ghostwhisperer]

Zitat von TomS

Die Metrik ist letztlich quadratisch in den Vierbeinen; und das gilt immer in der Riemann- sowie der Riemann-Cartan-Geometrie.

In dem link stand etwa, daß man n-beine wie eine Quadratwurzel der n*n-Matrix sehen kann.

[TomS]

Zitat von ghostwhisperer

In dem link stand etwa, daß man n-beine wie eine Quadratwurzel der n*n-Matrix sehen kann.

ich würde das eher umgekehrt sehen

[Bernhard]

Zitat von ghostwhisperer

In dem link stand etwa, daß man n-beine wie eine Quadratwurzel der n*n-Matrix sehen kann.

Gemeint ist das hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Frame_...ordinate_basis . Du kannst aus dem Tetradenfeld also jederzeit die Metrik rekonstruieren. Und so gesehen ist das Tetradenfeld fundamentaler als die Metrik. Der große Vorteil des Tetradenformalismus zeigt sich bei der Berechnung des Krümmungstensors mit Hilfe der Krümmungsform, weil man dann anstelle von 20 nur noch 6 unabhängige Komponenten hat. Im Ricci-Kalkül schleppt man also unnötigerweise immer auch die Eigenschaften der Koordinaten mit und genau das fällt bei den Tetraden weitgehend weg. Im MTW wird das alles (übrigens auch formal) sehr gut erklärt. Wenn Du diesen Formalismus erlernen willst, würde ich an erster Stelle dieses dicke Buch empfehlen. Dort wird pratkisch nur damit gerechnet und argumentiert.

Kennt man den "Cartan-Kalkül", kann man sich auch noch den Newman-Penrose-Formalismus anschauen. Bei dem liegen die Feldgleichungen dann in erster Ordnung vor. Allerdings wird der NP-Formalismus innerhalb der LQG (was ich bisher so gesehen habe) eher selten verwendet.

[TomS]

Für die LQG sind die Palatini-Formulierung sowie die selbst-duale Palatini-Formulierung interessant.

Ashtekar verwendet dann den ADM-Formalismus für eine 3+1 dimensionale, kanonische Formulierung.

[TomS]

Bevor du dich in den Formelkram stürzt, solltest du dir darüber klar werden, wozu das Unternehmen LQG gut sein soll.

Zunächst stellt man fest, dass eine perturbative Quantisierung von Fluktuationen der Raumzeit auf dieser als Hintergrund zu einer nicht-renormierbaren Theorie sowie weiteren konzeptionellen Problem der Hintergrundabhängigkeit führt. Dann hat man in der üblichen Formulierung der Relativitätstheorie eine hochgradig nicht-lineare Lagrangedichte, verziert mit Wurzeln der Metrik usw., woraus im Zuge der Quantisierung nicht-triviale Divergenzen folgen.

Also sucht man nach einer klassischen Umformulierung der Lagrangedichte, die eine sinnvolle Quantisierung der gesamten Raumzeit ermöglicht.

Zunächst stellt man fest, dass eine Lagrangedichte L[x] mit höheren Potenzen einer dynamischen Variablen x auch als Lagrangedichte L[x,y] mit niedrigeren Potenzen mehrerer Variablen x,y geschrieben werden kann. In letzterer kann man eine Variable y formal als Funktion der anderen x auffassen, d.h. formal als y(x) lösen und wieder in L[x,y(x)] einsetzen; man erhält das ursprüngliche L[x] zurück.

Dies entspricht dem Formalismus erster Ordnung, in der neben den n-Beinen eine zusätzliche Zusammenhangsform auftritt.

Das Einführen der n-Beine entspricht dem Einführen einer Basis im Tangentialraum. Offenbar ist man bzgl. der Wahl dieser Basis in jedem Punkt der Raumzeit frei; dies entspricht einer lokalen Eichsymmetrie, nämlich der lokalen Rotation der Basis. In der 4-dim. Raumzeit ist dies gerade die SO(3,1) als lokale Lorentzinvarianz. Das Eichfeld entspricht der o.g. Zusammenhangsform. D.h. man erweitert die Anzahl der dynamischen Variablen, jedoch zugleich die Anzahl der Symmetrien. In 3+1 Dimensionen mit Ashtekar-Variablen ist die Vorgehensweise ähnlich, diese Variablen sind jedoch sehr speziell.

In den vergangenen Jahren wurden diverse Variablen zur Ableitung der LQG untersucht. Klassisch sind diese äquivalent, die Quantisierung kann subtile Unterschiede aufweisen.

[ghostwhisperer]

Dass man in der Wahl der Basis frei ist, wundert mich eigentlich nicht.
Letztlich ist die Metrik eine relative Größe. Mann kan immer Koordinaten wählen, in denen die Metrik lokal der Minkowski- Metrik entspricht. Zumindest nach meinem Wissensstand.
Daher rührt auch mein Leitspruch..
LG ghosti