Wie schwer bin ich im Einsteinzug?

[Mike]

Meine erste Idee waren ja 4 g für Beobachter A. Und so richtig einleuchten will mir nicht weshalb ein Raumkrümmungseffekt der Erde den Wert deutlich über 4 g erhöhen kann.

Analog dazu wäre ein (an einem ruhenden Beobachter B) transversal vorbeifliegendes und freifallendes Teilchen, das eben einer Geodäte folgt. Dieses sollte dann wohl auch aus B-Sicht mit mehr als einem g fallen (mit dem oben errechneten Wert / Lorentzfaktor²).

Kann man physikalisch begründen wieso ein ruhendes Teilchen langsamer fällt als ein relativistisch schnelles?

[Ich]

Zitat von Bernhard

Um eine "gerade" Zielbahn zu erhalten, muss man rechnerisch zusätzlich etwas tricksen, damit man als Zielbahn nicht gleich eine lichtartige Geodäte annehmen muss.

Deswegen mein Ansatz, Koordinaten zu verwenden, in denen die "gerade" Bahn auch gerade ist. In den Koordinaten von Einstein hat man die flache, kartesische Hintergrundmetrik. Für die Vierergeschwindigkeit in diesen Koordinaten gilt du/dz=0, aus Symmetriegründen im Perigäum auch du/x=0. Das heißt, man muss nur noch die gewünschte Vierergeschwindigkeit in das entsprechende Christoffelsymbol einsetzen und kriegt die absolute Beschleunigung raus.

[Bernhard]

Zitat von Ich

In den Koordinaten von Einstein hat man die flache, kartesische Hintergrundmetrik.

Guter Hinweis.

Ich habe bei meiner Rechnung in den Schwarzschildkoordinaten Phi = om * t verwendet. Zusammen mit r = const. führt das dann sofort auf t = const. * tau. Die Christoffelsymbole stehen in der WP und so bleibt der Rechenaufwand noch recht überschaubar.

Für die geraden Bahnen wird es komplizierter. Wechselt man die Koordinaten, muss man die Christoffelsymbole uU erst noch berechnen.

[Quantor]

Zitat von Mike

Man stelle sich einen Zug vor, der mit 0,866 facher Lichtgeschwindigkeit über eine (an dieser Stelle) abgeflachte Erde rast. Abgeflacht deswegen, damit die Erdkrümmung zu keiner Zentrifugalkraft führt.
Mit wieviel g würde ein mitfahrender Beobachter aus seiner Sicht an den Boden des Zuges gedrückt werden (aufgrund der Anziehungskraft der Erde)?

Aus dem Bezugssystem der Erde heraus gesehen, wird der Zug die doppelte relativistische Masse haben. Fährt er über eine ruhende Waage, sollte er doppelt so schwer sein wie wenn er stehen würde. Zudem wäre er bei dieser Geschwindigkeit um den Gammfaktor 2 lorentzverkürzt, also nur halb so lang (gemessen zu seiner Ruhelänge).

Interessant ist nun die gemessene Erdgravitation aus Sicht eines mitbewegten Bezugssystems. Was würde ein Accelerometer (oder eine Waage auf der ein Testgewicht liegt) im Zug anzeigen?

Die Effekte der ART sind sehr gering - sollte man tatsächlich vernachlässigen können - so stimme ich dir also zu:

- der Laborbeobachter misst so (2*m)*g = 2*Gewicht, aber Beschleunigung g.
- der Ruhebeobachter misst g'=2^2*g=4*g, also m*g' = 4*Gewicht.

[Bernhard]

Zitat von Ich

Wieso d^2r/dtau^2, und was bedeutet f^r/m?

Ich möchte die Geodätengleichung mit einer externen Kraft verwenden:

d^2r/dtau^2 + Gamma^r_mu_nu dx^mu/dtau dx^nu/tau = f^r/m

f^r ist die radiale Komponente der gesuchten externen Kraft und m die Masse des Testkörpers, damit die physikalischen Einheiten stimmen.

d^2r/dtau^2 ist für r = const natürlich gleich Null. Hatte ich in der Eile übersehen.

[Ich]

Ich hab's jetzt gerechnet:
Koordinaten nach Einstein: x,y,z,t. Am Ereignis(0,0,0,z0) Geschwindigkeit v in x-Richtung -> u=(gamma,gammav,0,0).
Viererbeschleunigung in z-Richtung: a^z = Gamma^z_mu_nu*u^mu*u^nu.

Aus Maxima (Konstante alpha einfach zu 1 gesetzt, r>>alpha):
Gamma^z_00 = z/(2r³) = 1/(2r²) (am Ereignis)
Gamma^z_11 = z(2z²+2y²-x²)/(2r^5) = 1/r² (am Ereignis)

Also:
a^z = 1/(2r²)*gamma² + 1/r²*v²gamma² = 1/(2r²)gamma²(1+2v²)

Das heißt, Pemrod hat Recht und es sind 10 g bei v=0.866.

[Mike]

Zitat von Ich

Ich hab's jetzt gerechnet:

Dann bedanke ich mich bei dir.

Das heißt, Pemrod hat Recht und es sind 10 g bei v=0.866.

Okay, gut zu wissen. Demnach sind es dann 2,5 g aus Sicht eines auf der Erde ruhenden Beobachters?

[Bernhard]

Zitat von Ich

Ich hab's jetzt gerechnet:

Ich finde die Rechnung aus physikalischer Sicht eher wenig aussagekräftig, weil der Wert für die Beschleunigung offenbar von der Geometrie der Bahn abhängt.

Das wirkt ein Stück weit willkürlich. Der zugehörige Raumfahrer muss sein Triebwerk betätigen, um die gewünschte Bahn einzuhalten und der Pilot wird dann eben mit diesen 10g in den Sitz gedrückt.

Ich fände es deshalb eigentlich interessanter die verschiedenen Terme der Geodätengleichung physikalisch zu deuten.

[Ich]

Zitat von Mike

Okay, gut zu wissen. Demnach sind es dann 2,5 g aus Sicht eines auf der Erde ruhenden Beobachters?

Ja, genau.

[Ich]

Zitat von Bernhard

Ich finde die Rechnung aus physikalischer Sicht eher wenig aussagekräftig, weil der Wert für die Beschleunigung offenbar von der Geometrie der Bahn abhängt.

Der Kritik kann ich nicht folgen, weil ja eine Bahn vorgegeben war: Der Zug soll geradeaus fahren. Und die dabei gespürte Beschleunigung war gefragt. Also gibt man eine gerade Bahn vor und errechnet die Beschleunigung.

Das wirkt ein Stück weit willkürlich. Der zugehörige Raumfahrer muss sein Triebwerk betätigen, um die gewünschte Bahn einzuhalten und der Pilot wird dann eben mit diesen 10g in den Sitz gedrückt.

Ja, genau. Um geradeaus zu fliegen, statt der Geodäte zu folgen.

Ich finde es deshalb eigentlich interessanter die verschiedenen Terme der Geodätengleichung physikalisch zu deuten.

Die sagen dir nur, wie sich die Koordinaten entlang einer Geodäten ändern. Das ist schon im flachen Raum wenig übersichtlich, wenn man Polarkoordinaten verwendet.