Ist die Gravitationskonstante ein indirekter Term der Lichtgeschwindigkeit + Erdmagne

[Gepakulix]

Hallo Joax,

ich werde die Herleitung in 2 Teile brechen:
- zuerst formelmässige Herleitung
- dann Erklärung, weshalb hier c=co/U sein muss.


Zuerst ein paar Definitionen:
r = Distanz zum Zentrum einer Gravitationsquelle.

fo = Zählfrequenz (Zählgeschwindigkeit) der Uhr eines Beobachters.
Der Beobachter sei sehr weit weg vom der Gravitationsquelle (ro = r -->oo)
Kann z.B. auch der Frequenz einer bestimmten Spektrallinie eines Atoms entsprechen, welches in seiner Nähe ist und durch ihn gemessen wird.
Es ist also eine Referenz für die Geschwindigkeit der Zeit
Einfachheitshalber soll aber eine Zählfrequenz von 1/sec genommen werden. Somit ist dann diese Referenz- Frequenz beim Beobachter: fo =1 [1/sec]

f = f(r) : Zählfrequenz einer Uhr an einem Punkt R (mit Abstand r von der Gravitationsquelle)

U = f(r)/fo : Zeigt, um wieviel die Zeit im Punkt R langsamer läuft als beim Beobachter (immer aus Sicht des Beobachters).
Somit muss gelten: U(ro) = 1
Für alle kleinern r dürfte somit U(r) < 1 sein

a = a(r) :Beschleunigung im Punkt R.
Dies ist die Beschleunigung, wie sie durch eine ruhende Person im Punkt R gemessen würde (also basierend auf seiner Uhr)

ß =ß(r) : lokaler Gradient der Zeitdilatation: ß(r) = δf/δr * 1/f oder anders geschrieben: ß(r) = (f(r +δr) -f(r))/δr * 1/f(r)

co = bekannte Lichtgeschwindigkeit ( ~300'000km/sec), gemessen durch den Beobachter in seiner Nähe

c = c(r): scheinbare Lichtgeschwindigkeit wie sie der Beobachter für den Punkt R hineininterpretiert
c(r)= standard Lichtgeschwindigkeit, wenn durch eine Person (im Punkt R) dort lokal gemessen würde. Das ist für die Herleitung aber nicht interessant.


Alle Formeln:
[1] : U = f(r)/fo

[2] : a = ß * c² (Formel von Hans)

[3] : c=co *U (Herleitung folgt später, basier auf einem zentralen Punkt von Hans)

[4] : a=M*G/r² (Gravitationsgesetz)

[5] : ß(r) = δf/δr * 1/f oder anders hingeschrieben: [5a]: ß= δf/f * 1/δr


Aus [1] gilt:

[6] : δU = δf/fo = δf/f * f/fo

[1] in [6] eingesetzt ergibt

[7] : δU = δf/f * U oder anders hingeschrieben: [7a]: δf/f = δU / U


[4], [3] und [5a] in [2] eingesetzt:

[8] : M*G/r² = δf/f * 1/δr * co² * U²


[7a] in [8] eingesetzt:

[9] : M*G/r² = δU / U * 1/δr * co² * U²


[9] gekürzt:

[10] : M*G/r² = δU * U * 1/δr * co²


[10] wird umgeformt (Variable Separation)

[11] : M*G * δr/r² = co² * U * δU


[11] kann jetzt unabhängig links und rechts integriert werden.

[12] : -M*G/r +k = 1/2 * co² * U²


[12] auf U aufgelöst:

[13] : U = √ ( 2k/co² -2*M*G/(r*co² ) )

k ist ein Integrationsparameter, und kann so gewählt werden dass U(r -->oo) = 1 (Randbedingung)

Somit ergibt sich das Resultat:

[14] U(r) = √ (1 -2*M*G/(r*co² ) ) [w.z.b.w]


O.k., ich werde für heute schuldig bleiben, weshalb hier c=co/U angenommen wurde.
Werde ich nächsten nachholen.

Gruss, Guido

[Hans]

Hallo Gepakulix

Die Formel
∆f/fo = SQR(1-2*G*M/(c²*R))
von dir.

Da die Formel die Lorentzentwicklung berücksichtigt
und somit bei sehr starken Gravitationsfeldern zum
Tragen kommt, kann sie wohl auch von selbiger abgeleitet
werden. Die Frage, ob die Berechnung des Faktors t der
Zeitdilatation auch bei stark relativistischen
Gravitationsfeldern benutzt werden kann ist damit
beantwortet wie folgt.

Ableitung

t = t´* sqrt (1- v²/c²) Lorentzformel wie bekannt

v aus a = Beschleunigung ermitteln

mit

v = sqrt(a*2*s)----------v-s – Gesetz f. beschl. Massen

a = Beschleunigung
s = Strecke (hier 1 m).

a2s kann nun statt v² als Wert in die Lorentzformel
eingesetzt werden so:

t=t´*sqrt (1- a2s/c²)

Da sich M = Masse wegkürzt muss sie auch nicht vorkommen
wenn a = G*M/R² ist muss nur a2s als(v²) eingesetzt werden.

Die Formel von dir berechnet die Gesamtzeitdilatation.
Ich muss die Formel noch ergänzen um das Differenzpotential
vom einem Meter zu berechnen
So....

Beta/m = [1- SQR(1-2*G*M/(C²*R)))] /R


Allerdings liegt die lineare Abweichung der Zeitdilatation
im G-Feld der Erde nur 1/ 2 876 950 044 im Vergleich
relativistische Berechnung mit klassischer Berechnung.
Das sollte man wissen, wenn man solche Dinge einfordert(EMI).
Also nur 1/2,8 Milliardenstel für das Erdgravitationspotential.


Grüße
Hans

[Hans]

Hallo Gepakulix

Mir fällt allerdings noch eine leichtere Ableitung ein. Da sich das gesamte
Gravitationspotential mit der 2. Fluchtgeschwindigkeit (v) (der Erde o. A..)
mathematisch enthalten ist, kann man hieraus deine Formel perfekt ableiten.

v = SQRT ( 2GM/R) = 11178m/s (Teil deiner Formel)

einfach die Fluchtgeschwindigkeit (v) in die Lorentzformel einsetzen.

t=t´ *sqrt (1-v²/c²)

Aus beiden Formeln kann man dann deine Formel wieder zusammenbauen. So oder
so ergibt es identische Ergebnisse.


Grüße Hans

Einfach ist schwer.

[Gepakulix]

Hallo Hans,
"Formel der Fluchtgeschwindigkeit in Lorenztransformation einsetzen":
Da bin ich echt leicht verblüfft, was dabei herauskommt.
Da fühlt sich mein Gefühl von der Mathematik überrumpelt: Da muss ich wohl noch etwas länger darüber nachdenken, was da passiert ist!


Hallo Joax,
hier noch der 2te Teil meines Versuchs einer Herleitung.
Es geht darum, weshalb ein Beobachter (im entfernten Punkt r0) für jeden Punkt R im Gravitationsfeld die Lichtgeschwindigkeit nach der Formel c=c0*U ermittelt.
Dazu werde ich 2 Punkte angehen:
- ein paar Bemerkungen zur Physik einer Lichtuhr
- Formel c=c0*U

1 Gedanken zur Physik der Lichtuhr
Eine Lichtuhr ist im Prinzip die einfachste Art die Zeit zu messen: Zwischen 2 parallel Spiegeln wird ein Photon hin und her geschickt.
Bei jedem Vorbeiflug beim ersten Spiegel wird der Zähler inkrementiert. (Es könnte natürlich auch jedesmal ein anderes Photon sein, ohne dabei das Prinzip zu ändern).
Das eigentlich verblüffende an dieser Uhr ist, dass ihre Zählgeschwindigkeit in erster Ordnung keine Funktion der Zeit selber ist:
Diese Zählgeschwindigkeit dieser Uhr ist nur eine Funktion von
- Lichtgeschwindigkeit der Photonen
- Distanz der beiden Spiegel.

Mit anderen Worten: Bei konstanter Lichtgeschwindigkeit und konstantem Spiegelabstand würde diese Uhr für den Beobachter selbst dann weiterzählen, wenn die lokale Zeit stehenbleiben würde ...


2 Formel Herleitung.
Wenn also eine Lichtuhr sich tief im Gravitationsfeld befindet, und dort entsprechend langsamer zählt, dann bedeutet dies, dass
a) entweder der Abstand der beiden Spiegel sich vergrössert hat (und deshalb aus Sicht des Beobachters die Uhr langsamer zählt).
b) oder dass die lokale mittlere Lichtgeschwindigkeit langsamer wird (immer aus Sicht des entfernten Beobachters) Bei mittlerer Lichtgeschwindigkeit meine ich die mittlere Geschwindigkeit für Hinflug und Rückflug (der beiden Spiegel).

Variante a) kommt nicht in Frage, da es hier immer um die Sicht des Beobachters geht:
Der Abstand der Spiegel müsste gegen Unendlich gehen müsste, wenn die Zeit in der Nähe des Ereignishorizonts einen schwarzen Lochs langsam zum stehen kommt.

Aus Sicht des Beobachters muss somit die Lichtgeschwindigkeit lokal im Gravitationsfeld abnehmen. Die Zählfrequenz einer Lichtuhr ist aber proportional zur Geschwindigkeit der Photonen. Somit ist diese Geschwindigkeit proportional zu U: c=c0*U

Gruss, Guido

[EMI]

Zitat von Gepakulix

Da bin ich echt leicht verblüfft, was dabei herauskommt.

Für den freien Fall im homogenen grav.Feld (Erdbeschleunigung g=konstant) gilt in der klassischen Mechanik:

[1] v = √2gh , mit Fallhöhe h

Geht in [1] h→∞ , geht vmax→∞, was nicht richtig sein kann.

wie sich mit Hilfe der SRT leicht zeigen lässt folgt für den freien Fall in relativistischer Form im homogenen grav.Feld (g=konstant):

[2] v = c √(1 - e^-(2gh/c²))

Geht in [2] h→∞ geht vmax→c

In einem inhomogenen grav.Feld ist g nicht mehr konstant, sondern von der Höhe h abhängig.
Mit gh=g(r/(r+h))² , mit Erdradius r folgt für ein inhomogenes grav.Feld:

[3] v = c √(1 - e^-(2ghr / c²(r+h)))

Geht in [3] h→∞ folgt:

[4] vmax = c √(1 - e^-(2gr/c²)), nur abhängig von der Erdbeschleunigung g und den Erdradius r, also unabhängig von der Fallhöhe.

Mit 2gr << c² ergibt die Reihenentwicklung:

e^-(2gr/c²) = 1 - 2gr/c² + 4g²r²/2!c²c² - + ...

nach Abbruch der Reihe nach dem 2.Glied (bei 2gr << c²):

v ≈ √2gr , mit dem Erdradius r≈6370000 m und der Erdbeschleunigung g=9,81 m/s² folgt hier:

vmax ≈ 11180 m/s , die Fluchtgeschwindigkeit der Erde.

Die maximale Fallgeschwindigkeit einer aus dem Unendlichen fallenden Masse ist immer genau so groß wie die Fluchtgeschindigkeit die diese Masse benötigt um den Himmelskörper wieder zu verlassen auf den sie aus dem Unendlichen gefallen ist.

EMI

[JoAx]

Hallo Gepakulix!

Obwohl du darauf hingewiesen hast, dass die Formel auf @Hans's Ansatz (a = ß*c²) basiert, habe ich doch gedacht, dass du diese nach RT berechnet hast, mein Fehler. Dennoch sehe ich eine Diskripanz.

Zitat von Gepakulix

Die genaue Formel ist ∆f/fo = √ (1-2*G*M/(R*c²) ) und stimmt auch bei starken Gravitationsfeldern bis hin zum Ereignishorizont.

Zitat von Gepakulix

Somit ergibt sich das Resultat:

[14] U(r) = √ (1 -2*M*G/(r*co² ) ) [w.z.b.w]

Die Formeln an der rechten Seite sind identisch, auf der linken aber nicht. U(r) ist nach deiner Definition:

U(r) = f(r)/fo

In der oberen Formel haben wir aber

∆f/fo = (f(r)-f0)/f0

Kann das stimmen?

Ausserdem scheint mir das r die ganze Zeit bei der Herleitung den Charakter des Abstandes vom Sender (f0) zu haben, gebraucht wird es am Ende aber als Abstand vom Zentrum der Masse. Irre ich mich da? Habe ich wieder etwas übersehen?

Hier eine Formel, die für hinreichend schwache Felder auch bis zum rs=2*G*M/c² gilt:

f2/f1 = √[(1-rs/r1)/(1-rs/r2)]

Das Licht, dass am EH emittiert wird (r1=rs) erfährt unendliche Rotverschiebung, f2=0.


Gruss, Johann

[Hans]

Hallo Gepakulix

Zitat von Gepakulix

Hallo Hans,
"Formel der Fluchtgeschwindigkeit in Lorenztransformation einsetzen":
Da bin ich echt leicht verblüfft, was dabei herauskommt.
Da fühlt sich mein Gefühl von der Mathematik überrumpelt: Da muss ich wohl noch etwas länger darüber nachdenken, was da passiert ist!
Gruss, Guido

Ein Teil deiner Formel ∆f/fo = SQR (1-2*G*M/(c²*R)) enthält
Die Berechnung der 2. Fluchtgeschwindigkeit. Diese ist relevant
für die Berechnung der Zeitdilatation. v=11178m/s.

Prinzip:
Zeitdilatation Gravitation (ART) = Zeitdilatation Lorentz (SRT).

∆f/fo = SQR (1-2*G*M/(c²*R)) [ Deine Formel ]
v = SQR ( 2*G*M/ R) = 11178m/s [ 2. Fluchtgeschwindigkeit ]
t = t´*sqrt (1-v²/c²) = 0,9999999993048193508020507382813 [ Lorentzformel ]

ich benötige nicht den Faktor Gamma, sondern den 1-Gamma wie oben.
sondern........
Beta = 1 - t = 6,9518064 e-10 Zeitdilatation im G-Feld Erde

Wird der Wert (t) durch den Erdradius R(m) geteilt, so erhalte ich
den gleichen Wert des Pound-Rebka-Experiments mit der Zeitdilatation
von einem Meter. 1,09111e-16/m als Differnzpotential des G-Pot´s
Dann die Kontrolle mit Zeitdilatation/m mal c² >>>>> t/m * c² = Erdbeschleunigung = g

Grüße Hans

Zitat von EMI

PS: Im übrigen sind die obskuren newtonschen Näherungen in den obigen Beiträgen nur für schwache grav.Felder (2rg/r << 1) gültig und keineswegs bis zum SL.

Das ist aber schon Geschichte. Das wissen alle. Warum nun noch mal die Wiederholung?
Die lineare Abweichung der Erdgravitation von Newton / Einstein ist 1 /2,6 Milliardstel.
Es ist also lächerlich sich um diesen Betrag so zu streiten.
Wenn du etwas genauer lesen würdest, so hättest du bemerkt, dass hier auf deine Anmerkung
der Nichtlinearität (Z.D.) eingegangen wurde. Gepakulix hatte die Formel doch genannt.

----------------------
Ich habe EMI schon zum x-ten Male erklärt das die Lorentzentwicklung bei normalen und
sogar großen Gravitationsfeldern noch ohne Lorenzfomel zu rechnen ist (ausgenommen
Schwarze Löcher und Neutronensterne). Um aber der Anmerkung EMIS gerecht zu werden
wurden die letzten Beiträge mit dem Thema der relativistischen Entwicklung bei
Extremgravitation behandelt. Es ist ziemlich unhöflich dies hier zu leugnen. Immerhin wurde
diese Anregung EMI´s als Erweiterung durch Gepakulix und anschießend von mir in den
letzten Beiträgen gründlich behandelt. Und jetzt noch mal wie man oben sehen kann.

Zitat von EMI

An dieser Tatsache ändert sich nichts, auch wenn ein Großkotz hier in unerträglicher Weise um sich schlägt und das ganze Forum ungeniert verunglimpft:

Ich sagte nie das du ein Großkotz bist. Ich nannte dich einen Physikbuchschreiber.

Übrigens ist R = (R+h) in R integriert. Für mich.

[Hans]

Zitat von EMI

Meinst Du ernsthaft das diese (deine Achtung vor dem Diskussionspartner) mir nicht aufgefallen ist?

Emi

Ist ja ein feiner Zug von dir dies zu bemerken. Andererseits kein Wunder wo ich auf sachliche Fragen stets kooperativ mit Schrift und Bild und geantwortet habe.

Den Rest deiner Zusammenstellung aus meinen Zitaten und den Smilies kann ich nicht so richtig deuten. Vielleicht kannst du noch mal eine Erklärung nachreichen.


Für die Nichtlinearität mache ich mal eine schönen Flash. Verlauf Newton zu ART.

recht so ?

Grüße
Hans

[Gepakulix]

Zitat Joax
... "∆f/fo = √ (1-2*G*M/(R*c²) )"... Kann das stimmen?

Da hast du natürlich recht. Nein, diese Formel die ich damals hingeschrieben hatte ist natürlich falsch
(Bei r→∞ würde ja ∆f/fo gegen 1 gehen)

Richtig wäre gewesen zusammen mit der Definition [1]: ∆f = fo-f(r) :

1 -∆f/fo = √ (1-2*G*M/(r*c²) )

wobei der linke Teil umgeschrieben werden kann zusammen mit [1]:

1 -∆f/fo = U(r) = f(r)//fo

Zitat Hans
...ich benötige nicht den Faktor Gamma, sondern den 1-Gamma wie oben...

Ja, ich denke das betrifft denselben Fehler von mir (ist jetzt hoffentlich behoben

Zitat Joax
Ausserdem scheint mir das r die ganze Zeit bei der Herleitung den Charakter des Abstandes vom Sender (f0) zu haben, gebraucht wird es am Ende aber als Abstand vom Zentrum der Masse.

Ich hoffe nicht, dass ich da in der Anwendung einen Fehler gemacht habe
Entsprechend Punkt 1 in der Liste der Definitionen (hier) muss es der Abstand zur Gravitationsquelle sein. Damit meine ich zum Zentrum des Gravitationsfeldes (also weit weg vom Beobachter).

zitat joax
... die Formel auf @Hans's Ansatz (a = ß*c²) basiert, habe ich doch gedacht, dass du diese nach RT berechnet hast...

Die Herleitung dieser Formel von Hans gefällt mir eigentlich am besten (wahrscheinlich weil sie nur etwas mit Mathematik zu tun hat, und eigentlich unabhängig von der Physik stimmen muss. Einzige Vorbedingung an die Physik: die deBroglie Wellen-Funktion muss gelten).
Weil die Herleitung so schön ist, werde ich sie natürlich gerne nachholen

Allerdings gehe ich wieder in 2 Schritten vor.
- in einem ersten Teil werde ich nur in Prosa beschreiben, wie der Gedankengang dazu ist.
- Wenn dann überhaupt noch Interesse besteht, dann werde ich auch die Formeln liefern.

Die Basis für die Herleitung ist die Formel der deBroglie Welle: Vph =λ*ν= c²/vo
wobei
- vph = Phasengeschwindigkeit des Wellenpackets (welches einen Massepunkt verkörpert)
- vo = Gruppengeschwindigkeit
- λ = Wellenlänge
- ν = Frequenz

Aus meiner Sicht ist diese Formel der deBroglie-Welle voll RT fähig. Das heisst, dass sie auch Wellenpakete völlig richtig beschreibt, welche mit einer stark relativistischen Geschwindigkeit am Beobachter vorbeifliegen.
Solange ich bei der Umformung also reine Mathematik anwende (ohne ein Einfügen von weiteren physikalischen Grössen & Formeln), muss auch das Resultat RT fähig sein.

Man betrachte ein Wellenpaket, welches entlang der x-Achse vorbeifliegt.
Auf der x-Achse sind 2 Punkte x1 und x2, und markieren das Beobachtungsfeld dX.
An jedem der beiden Punkte x1 und x2 könnte ich die Frequenz des Wellenpaketes messen (ergäbe jeweils ν).

Angenommen, entlang der x-achse besteht jetzt ein Gradient des Zeitverlaufs. Damit meine ich: Je weiter nach rechts der x-achse entlang, desto langsamer vergeht dort die Zeit (vergleichbar mit einer x-Achse, welche in Richtung eines Gravitationszentrums ausgerichtet ist).
Entsprechend hat dann das Wellenpaket an den beiden Punkten x1 und x2 unterschiedliche Frequenzen.
Genau diese Anordnung soll also betrachtet werden:
- Beobachtungsfeld dX
- ein Wellenpaket, das an seinen beiden Enden eine unterschiedliche Frequenzen hat.

Rein anschaulich sieht man sofort, dass dies eine Veränderung der Wellenlänge λ bewirkt: Je länger man das Beobachtungsfeld betrachtet, desto kürzer/länger wird dort die Wellenlänge: Die neu anfliegenden Wellen-Hügel laufen auf die vorhergehenden auf.
Somit ist die Wellenlänge eine Funktion der Zeit: λ=λ(t)
In die deBroglie Formel eingesetzt ergibt dies, dass (bei konstanter Frequenz im Punkt x1) die Gruppengeschwindigkeit vo auch eine Funktion der Zeit ist:

λ(t)*ν= c²/vo(t)

Parallel zur sich verändernden Wellenlänge muss also auch die Gruppengeschwindigkeit sich ändern. Es ergibt sich somit eine Beschleunigung.
Ausgerechnet ergibt sich eben genau die Formel von Hans: (a = ß*c²)

Gruss, Guido

[EMI]

Zitat von Gepakulix

Solange ich bei der Umformung also reine Mathematik anwende (ohne ein Einfügen von weiteren physikalischen Grössen & Formeln)...

Du fügst dann aber doch eine weitere physikaliche Größe hinzu:

Zitat von Gepakulix

Angenommen, entlang der x-achse besteht jetzt ein Gradient des Zeitverlaufs.

Ein Gradient des Zeitverlaufes bedarf einer physikalischen Ursache.
Wie Du dann selbst anmerkst ist diese ein grav.Feld.
Ein materielles Teilchen bewegt sich aber nicht mit konstantem v in Richtung des grav.Zentrums, sondern beschleunigt.

Daher sind deine Überlegungen leider nicht "RT-fähig", wie Du das nennst.

Gruß EMI