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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #31  
Alt 08.10.09, 23:51
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi rene , Bauhof
Erstmal vielen Dank fuer eure Muehe.

Zitat:
welchen Wert soll epsilon haben? Vielleicht hast du gemeint:
für x>epsilon mit epsilon=3?
Ja, zum Beispiel.
Bei den beiden Funktionen ist es so , dass nicht eine davon fuer alle x groesser ist. Auch nicht fuer alle x>0.
Ich moechte das Minorantenkriterium anwenden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium
Dazu muss ich ein Intervall finden [epsilon....oo] in dem garantiert ist , dass meine zu testende Funktion stets groesser ist als die Verglechsfunktion. Alles im Intervall von [startindex.. epsilon] interessiert nicht, da die Summe oder das Produkt endlich bleibt. Vorausgesetzt es gibt keine Polstellen. Den Pol x=2 hat Polya umgangen. Die Divergenz verursacht dann letztendlich ein unendlich langes Intervall.

@rene
Zitat:
Ich habe einen eigenen Solver über Maple laufen lassen (manchmal muss man ihm nachhelfen) und es handelt sich bei den “gefundenen Schnittpunkten“ lediglich um numerische Artefakte, deren Werte sich in Abhängigkeit zur fortschreitenden Genauigkeit über die Anzahl der verwendeten Kommastellen erhöhen.
Ich vermute auch das dies Numerik ist. Und ich meine die Tatsache, dass ab x=3 die groesse Funktion stets steiler faellt genuegt als Arguent, dass es nur einen Schnittpunkt im Unendlichen gibt.
Davon mache ich noch ne Skizze.
Und dann waere exp(1/x)<(x-1)/(x-2) fuer x>3 oder x>100. Das spielt keine Rolle.
Polya startet mit der Primzahl 3. Die Primzahl 2 nimmt er als Referenzwert.

Polyas Herleitung habe ich noch nicht so ganz verstanden. Aber es ist interessant, dass seine Haeufigkeit fast identisch ist mit dem Produkt in dem Beweis zur Primzahlkehrwertsumme. (Der Beweis ist ueberhaupt ausgesprochen raffiniert)

ciao

Ge?ndert von richy (09.10.09 um 00:04 Uhr)
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  #32  
Alt 10.10.09, 18:55
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Die erste Methode waere fast eleganter. Wobei Timm die Frage anscheinend nicht mehr interessiert :-)
richy, natürlich interessiert mich das noch, ich war ein paar Tage weg. Jetzt stelle ich fest, daß Ihr Euch intensiv mit meiner Frage beschäftigt habt, habe es eben überflogen. Danke für viel Mühe.

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun wirklich :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).
Mit aller Vorsicht eines Nicht-Mathematikers, mir leuchtet Deine Argumentation ein, richy. Demnach strebt das Produkt (p-1)/(p-2) gegen unendlich, wobei p die Primfaktoren solcher Differenzen von Primzahl Paaren sind, die sich als Primfakultät darstellen lassen. Die relative Häufigkeit derartiger Differenzen (verglichen mit der Häufigkeit von D=2^n) ginge gegen unendlich. Wobei es bereits vermutlich von D=2^n unendlich viele gibt, der Beweis für die Zwillinge D=2 steht allerdings noch aus.

Das ganze steht und fällt mit dem Gültigkeitsbereich von (p-1)/(p-2). Polya spricht von der großen Schranke X. Was passiert, wenn X gegen unendlich geht?

Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus
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  #33  
Alt 11.10.09, 17:35
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Bauhof Bauhof ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
warum ich an der Bedingung 1) etwas zweifle : 1/p hat die Ableitung -1/p^2
ln((p-1)/(p-2)) hat die Ableitung -1/[(p-1)*(p-2)]
-1/p^2 = -1/[(p-1)*(p-2)] hat nur eine Loesung p=2/3
Der Betrag der Ableitung von ln((p-1)/(p-2)) ist fuer p>3 groesser als der von 1/p. Und da sich beide Ableitungen hier nicht mehr schneiden bleibt dies auch so.
ln((p-1)/(p-2)) faellt somit stets schneller als 1/p und muss 1/p daher zwangslaeufig schneiden. Bestenfalls im Unendlichen. Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ?
Hallo Richy,

leider verstehe ich deine Formulierungen nicht immer. Einmal schreibst du (p-1)/(p-2) und dann
wieder (x-1)/(x-2). Die Variable x steht für reelle Zahlen und p steht für Primzahlen. Ist das überall von dir konsequent eingehalten?

Für alle reelle Zahlen x soll gelten:
(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2) (mit 3 ≤ x ≤ unendlich)

Setze y=1/x ? x=1/y; dann ergib sich:
(2) exp(y) = (1/y - 1)/(1/y - 2) (mit 0 < y ≤ 1/3)
(3) exp(y) = (1 - y)/(1 - 2y)
(4) ln[exp(y)] = ln[(1 - y)/(1 - 2y)]
(5) y = ln(1 - y) - ln(1 - 2y)

Für y → 0 strebt ln(1 - y) - ln(1 - 2y) gegen Null, die Gleichung (5) ist also erfüllt.
Wegen y → 0 und x=1/y strebt exp(1/x) gegen 1 für x → unendlich. Somit muss wegen (1) auch (x-1)/(x-2) gegen 1 streben für x → unendlich.

Das heißt, beide Terme in der Gleichung (1) "treffen" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Vermutlich in asymptotischer Annäherung. Wenn tatsächlich asymptotische Annäherung vorliegt, dann gibt es vorher keinen Schnittpunkt, dann gilt die Ungleichung:

(6) exp(1/x) < (x-1)/(x-2); für alle reellen x im Wertebereich 3 ≤ x < unendlich

Nehmen wir mal an, dass dies so ist (die asymptotische Annäherung können wir vielleicht später noch beweisen, falls dein Argument mit den Steigungen nicht hinreichend sein sollte). Mit dem Hilfsmittel (6) möchtest du etwas beweisen. Was war das genau?

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen –
ihm hatte ich das gar nicht zugetraut!

Hermann Minkowski

Ge?ndert von Bauhof (11.10.09 um 17:39 Uhr)
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  #34  
Alt 11.10.09, 21:40
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richy richy ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi
@Timm
Zitat:
Demnach strebt das Produkt (p-1)/(p-2) gegen unendlich,
Ja, ich denke beide Beweise zeigen das.
Zitat:
wobei p die Primfaktoren solcher Differenzen von Primzahl Paaren sind, die sich als Primfakultät darstellen lassen.
Ich denke so koennte man dies formulieren. Der Beweis gilt fuer die Faktoren (ohne Mehrfachheit) einer Primzahlfakultaet. Wenn ich fuer p alle aufeinanderfolgenden Primzahlen einsetze.
Mehrfachheiten waeren auch keine Primzahlen.
In einem Intervall(2....X) soll es N Primzahlen geben. Dann ist fuer die Prifakultaet dieses Produkt maximal, denn es enthaelt die groesste Anzahl, naemlich N Faktoren. Fuer eine Folge der natuerlichen Zahlen wuerde das Produkt in einer Art Saegezahnform oder aehnlichem schwanken. An diese Kurve laesst sich eine konvexe Huellenkurve anlegen. Diese habe ich betrachtet. Also alle Primfakultaeten.
Zitat:
Die relative Häufigkeit derartiger Differenzen (verglichen mit der Häufigkeit von D=2^n) ginge gegen unendlich.
Ja
Zitat:
Wobei es bereits vermutlich von D=2^n unendlich viele gibt, der Beweis für die Zwillinge D=2 steht allerdings noch aus.
Ja. Dass es unedlich mal mehr Primfaktorlinge gibt als Zwilinge ist kein Beweis, dass die Anzahl der Zwillinge endlich ist.
Zitat:
Polya spricht von der großen Schranke X. Was passiert, wenn X gegen unendlich geht?
Ist das nicht der Fall den wir betrachtet haben ?

@Bauhof
Zitat:
Die Variable x steht für reelle Zahlen und p steht für Primzahlen. Ist das überall von dir konsequent eingehalten?
Ich hoffe es mal. x kann auch fuer die natuerlichen Zahlen stehen. Aber fuer welche Zahlen x oder p steht ist bei den Betrachtungen zunaechst unerheblich. Daher hab ich vielleicht die Unterscheidung x und p nicht immer konsequent eingehalten. Weil es irrelevant ist. Lediglich in den Summen oder Produkten ist es relevant. Auch hier gibt es zwei Notierungen:
p(i) i=1...N oder
p, p=2,3,5....N

Warum ist es in manchen Faellen ncht relevant ?
Die Primzahlen kann ich analytisch nicht erfassen. Auch die natuerlichen Zahlen sind recht unhandlich. Benutze ich das Minorantenkriterium so interessieren Ungleichungen :
f(x) < g(x), x element R
Gilt dies fuer reele Zahlen, so gilt dies auch fuer natuerliche Zahlen :
f(i) < g(i), i element N
und ebenso fuer Primzahlen
f(p) < g(p), p element Primzahlen

Zitat:
Das heißt, beide Terme in der Gleichung (1) "treffen" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Vermutlich in asymptotischer Annäherung. Wenn tatsächlich asymptotische Annäherung vorliegt, dann gibt es vorher keinen Schnittpunkt, dann gilt die Ungleichung:

(6) exp(1/x) < (x-1)/(x-2); für alle reellen x im Wertebereich 3 ≤ x < unendlich
Genau. Und dann gilt dies auch fuer alle Primzahlen.
Und das Prob war die asymptodische Naeherung, ob es zuvor keinen Schnittpunkt gibt. Wobei der Betrag der Ableitung von (x-1)/(x-2) stets groesser ist als der von exp(1/x). Bin mir jetzt fast sicher, dass daher nur der Schnittpukt im Unendlichen existieren kann.

Zitat:
Mit dem Hilfsmittel (6) möchtest du etwas beweisen. Was war das genau?
Ob das Produkt ueber (p-1)/(p-2) fuer alle Primzahlen divergiert. Mit dem Hilfsmittel von Euler, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert. Das ginge dann einfach ueber ein Minorantenkriterium :

exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>=3, x element reelle Zahlen
Dies gilt auch fuer alle Primzahlen :
exp(1/p) < (p-1)/(p-2) fuer alle p>=3, p element Primzahlen

Minorantenkriterium :
Untersuche statt
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity)
das Produkt der stets kleineren Faktoren
product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) =
exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity))

Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist
Daraus folgt :
exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) = exp(00) = 00
Und daher auch
product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = 00
und daher auch
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) = 00

Viele Gruesse

Ge?ndert von richy (12.10.09 um 01:00 Uhr)
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  #35  
Alt 11.10.09, 22:05
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Dass sich g(x)=exp(1/x) und f(x)=(x-1)/(x-2) im Intervall [3...oo] nur im Unendlichen schneiden folgt wahscheinlich aus deren Ableitung |f´(x)|>|g´(x)| und aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Anschaulich:
Voraussetzung : alle Ableitungen kleiner 0, beide Funktionen streng monoton fallend
Gilt f(x0)>g(x0) so koennen sich die Funktionen fuer x>xo nur schneiden wenn gilt |f´(x)|>|g´(x)|
xs sei dieser Schnittpukt
Entweder ist dies eine Tangente oder es gilt nun g(x>xs)>f(x>xs)
Damit sich die Funktionen ein zweites Mal schneiden muesste gelten |g´(x)|>|f´(x)| (oder f´(x)>0)
Dieser Fall liegt aber nicht vor :

Kuerzer formuliert :
Wenn im betrachteten Intervall die Funkrion f(x)=(x-1)/(x-2) kleiner waere als g(x)=exp(1/x) dann muesste es auch eine Stelle geben an der der Betrag deren Ableitung kleiner ist als der von g(x), da sich beide Funktionen im Unendlichen schneiden. Das ist aber nicht der Fall und daher muss f(x) stets groesser als g(x) sein.

Ge?ndert von richy (11.10.09 um 23:43 Uhr)
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  #36  
Alt 13.10.09, 00:52
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Offtopic : ...

Ge?ndert von richy (13.10.09 um 02:05 Uhr)
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  #37  
Alt 15.10.09, 12:44
Lambert Lambert ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Offtopic : ...
zum Beispiel...

Welche physikalische Relevanz hat die Divergenz von Zahlenreihen?

Gruß,
ÖLambert
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  #38  
Alt 15.10.09, 18:35
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hallo richy,

ein letzter Blick auf diese Tabelle


Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
SD / Log(SD) / Faktoren / Zahl der Faktoren / SH

6 ---- 0.7782 ---- 1*2*3 ----- 3 --- 2
30 --- 1.4771 --- 1*2*3*5 ---- 4 -- 2.6667
210 -- 2.3222 -- 1*2*3*5*7 -- 5 -- 3.2
.
----- 8.3485 -----*19*23 -- 10^1 - 4.5894
----- 217 ------- *523 ----- 10^2 -- 8.5160
----- 3389 ------ *7907 ----- 10^3 -- 12.1230
----- 45332 ---- * 104723 -- 10^4 - 15.5972
----- 563914 --- * 1299689 -- 10^5 - 18.9914
----- 6722801 -- *15485857 - 10^6 - 22.3329

SH, Superhäufigkeit, ist die Häufigkeit der Superdifferenzen SD. Die gigantische Differenz mit 10^6 Primfaktoren (letzter Faktor ist 15485857) ist 22.3329 mal häufiger als die Differenz 2, 4, 8, ... . . .
Diese Zahlen wurden mit Polya's Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) berechnet, also nicht anhand einer Analyse der Differenzen vieler Primzahlen.

Ab der Differenz, deren Primfakultät aus 10^3 Primfaktoren besteht, gibt es offensichtlich eine lineare Abhängigkeit der Superhäufigkeit SH von log(Zahl der Primfaktoren).

log(Zahl der Primfaktoren) ---- SH

3 ----------------------------- 12,1230
4 ----------------------------- 15,5972
5 ----------------------------- 18,9914
6 ----------------------------- 22,3329

Daraus folgt die Geradengleichung

SH = 3,4033*log(Zahl der Primfaktoren) + 1,9131

Sollte sich diese Gleichung nicht unmittelbar aus dem Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) in verallgemeinerter Form ableiten lassen? Aber wie?

Die Nichtlinearität bei < 10^3 dürfte von dem Fehler herrühren, daß ich die nicht zu SH beitragenden Faktoren 1*2 einbezogen habe, 8 statt 10, 98 statt 100 usw.

Dein Beweis unterstützt ja nun diesen linearen Zusammenhang. Er besagt, daß mit jeder verzehnfachung der Zahl der Primfaktoren einer Differenz, deren SH um den konstanten Betrag 3,4033 zunimmt. In diesen Trippelschritten nähert sich SH offensichtlich abzählbar dem Unendlichen.

Es wird häufig von der Zufallsverteilung der Primzahlen gesprochen. Mir scheint, die Systematik bei der Häufigkeit der Differenzen, ist mit einer reinen Zufallsverteilung nicht vereinbar, sondern Ausdruck der Definition der Primzahlen. Würde man mit einem idealen Zufallsgenerator Zahlen abnehmender Dichte generieren, analog zu der von Primzahlen, dann müßte bei der Häufigkeitsbetrachtung der Differenzen Gleichverteilung herauskommen, wie ich es ursprünglich auch für die Primzahlen erwartet hatte.

Was ist es, das so viele an den Primzahlen fasziniert? Als ich noch auf der Suche war, hatte ich Kontakt mit einem amerikanischen Medizin Studenten, der am selben Problem arbeitete. Ist es diese noch immer von Geheimnissen umwobene absolute Eigenständigkeit dieses Zahlenkonstrukts? Die in der Natur keinerlei Ausprägung findet? Mir zumindest nicht bekannt.

Gruß, Timm
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Ge?ndert von Timm (15.10.09 um 18:41 Uhr) Grund: Ergänzung: sollte sich diese Gleichung ...
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  #39  
Alt 15.10.09, 19:04
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richy richy ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

@Lambert
Zitat:
Welche physikalische Relevanz hat die Divergenz von Zahlenreihen?
Hier eine praktische Anwendung :
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmoni...ndungsbeispiel

@Timm
Der Logarithmus beruht sicherlich auf dem Zusammenhang, das die Prinzahlen etwa einen x*ln(x) Verlauf haben. Das muesste man sich genauer ueberlegen. Die Funktion in das Produkt einsetzen. Aber Maple finde keine geschlossene Loesung. Wird nicht einfach sein.

Zitat:
Es wird häufig von der Zufallsverteilung der Primzahlen gesprochen.
Prof. Tao weist darauf hin, dass es eine Mischung zwischen Ordnung und determiniertem Zufall ist. Einige grobe Strukturen finden sich schon.
Zitat:
Was ist es, das so viele an den Primzahlen fasziniert?
Mich faszinieren die Fib Zahlen mehr. Da diese analytisch erfassbar sind. Die Primzahlen sind die Atome der Zahlen. Warum faszinieren so viele die Atome ? Man will die Grenze des Erfahrbaren suchen.

Ge?ndert von richy (15.10.09 um 19:12 Uhr)
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  #40  
Alt 15.10.09, 19:25
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Bauhof Bauhof ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
@Lambert
Hier eine praktische Anwendung :
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmoni...ndungsbeispiel
Hallo Richy,

ich kann unter dem Link keine physikalische Relevanz erkennen. Denn es war die physikalische Relevanz von divergenten Reihen gefragt. Ich hake nur deshalb nach, weil ich vor längerer Zeit etwas über eine Vermutung gelesen habe, dass zwischen bestimmten quantalen Vorgängen und Primzahlen ein Zusammenhang besteht.

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski

Ge?ndert von Bauhof (15.10.09 um 19:28 Uhr)
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