Quanten.de Diskussionsforum  

Zurück   Quanten.de Diskussionsforum > Schulphysik und verwandte Themen

Hinweise

Schulphysik und verwandte Themen Das ideale Forum für Einsteiger. Alles, was man in der Schule mal gelernt, aber nie verstanden hat oder was man nachfragen möchte, ist hier erwünscht. Antworten von "Physik-Cracks" sind natürlich hochwillkommen!

Antwort
 
Themen-Optionen Ansicht
  #21  
Alt 04.11.08, 12:09
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 529
Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von EMI Beitrag anzeigen
Als rechteckiger Hühnerhof sind es 100m² maximal.
Das sehe ich auch so.

F'(x) = 0

F''(10) = -2

F(10) = 20*10 - 10^2 = 100

Gr. zg
Mit Zitat antworten
  #22  
Alt 04.11.08, 13:03
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 529
Standard AW: Extremwertproblem

Eine zweite Praxisaufgabe zum Thema, die mir gerade in den Sinn kommt:

In einem Blechverarbeitungsunternehmen (Dosenhersteller) sollen die Herstellungskosten für ein bestimmtes Produkt gesenkt werden. Dazu soll u.a. bei der Fertigung von zylindrischen Blechdosen mit gegebenem Volumen der Materialverbrauch minimiert werden (bekanntlich ist die benötigte Menge an Weissblech proportional zur Dosenoberfläche). Somit soll für den optimalen Blechzylinder mit Nebenbedingung V = h(Pi*r^2) die minimale Oberfläche O(r, h) ermittelt werden. Zu bestimmen sind demzufolge der Radius (r) und die Höhe (h) einer solchen Dose.

Gr. zg
Mit Zitat antworten
  #23  
Alt 04.11.08, 14:12
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Extremwertproblem

Methode von Lagrange :
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Volumen :
V=h*Pi*r^2.
soll maximiert werden

Flaeche : A= Mantelflaeche+2 mal Deckelflaeche
A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
soll minimiert werden

Muesste jetzt nachschlagen, aber versuche es mal aus dem Kopf :
dA/dr=4Pi*r+2*Pi*h =! 0
dA/dh=2*Pi*r =! 0

Nee das koennen nicht die Nebenbedingungen sein r=0, h=0
Ist ja klar dass dann die Oberflaeche minimal ist
Ist einfach die Oberflaeche die Nebenbedingung ?
Wenn ich dann nach der Lagrangen Koordinate lambda ableite erhalte ich dann aber die Bedingung dass die Oberflaeche 0 sein soll. Richtig waere aber dass diese konstant ist.
Ich versuche es mal so :

NB:
2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c=0

H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)

dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
dH/dh=Pi*r^2+l1*2*Pi*r=0
dH/dl1=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h-c=0

Das Gleichungssystem haette die Loesung :
h = r^2/(r+1)

Aber als Dosenhersteller wuerde ich nochmals gruendlicher ueberlegen.
Das waeren ja Flachdosen :-)
Die Bedingung dass die Oberflaeche minimal ist habe ich irgendwie noch nicht eingebracht.
Da wird wohl der Fehler liegen.

EDIT
HATTE EINE KLAMMER VERGESSEN !
H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)
Hier
Das ist falsch :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
richtig ist :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*(4*Pi*r + 2*Pi*h)=0

Und die Loesung des Gleichungssystems ist dann
h=2*r
*****

Geändert von richy (04.11.08 um 16:35 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #24  
Alt 04.11.08, 15:43
Benutzerbild von EMI
EMI EMI ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 12.05.2008
Ort: Dorsten
Beiträge: 2.564
Standard AW: Extremwertproblem

Geschätzt:
h = r ?
Mal sehen ob ich dazu komme mal zu rechnen.
Da habe ich immer so meine Probleme mit dem Rechnen.

EMI

PS: doch eher 2*r = h ? Ich denke wir müssen einer Kugel(größstes Volumen zu Oberfläche) am nächsten kommen.
__________________
Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.

Geändert von EMI (04.11.08 um 15:59 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #25  
Alt 04.11.08, 15:59
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Extremwertproblem

Maximales Volumen bei minimaler Oberflaeche geht ja gar nicht !
Ich habe das falsch gelesen. Das Volumen ist die Nebenbedingung !
Jetzt also nochmal als Test mit Lagrange :

NB:
1) V=h*Pi*r^2
minimiere :
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h

H(r,h,l1)=2*Pi*r²+2*Pi*r*h + l1*(h*Pi*r^2-c)

dH/dr=4*Pi*r+2*Pi*h+2*l1*h*Pi*r=0
dH/dh=2*Pi*r+l1*Pi*r^2=0
dH/dl1=h*Pi*r^2-c=0

Dieses Gleichungssystem hat die Loesung
h=2*r
****
Naja keine Flachdose, mehr ne Quadratdose :-)

Bei vorgegebenem Volumen benoetigt man am wenigsten Weissblechflaeche mit der Quadratdose :-)
Das hier waere also die schwaebische Dosenform :
h=2*r
*****

Da beide Dosenanteile hier im Forum reichlich vorhanden sind kann man sagen :
Das Forum hier ist ein optimales Dosenwerk

Zitat:
Geschätzt:
h = r ?
.....
PS: doch eher 2*r = h ? Ich denke wir müssen einer Kugel(größstes Volumen zu Oberfläche) am nächsten kommen.
( Das mit der Kugel war auch mein Gedanke )
Gratuliere ! Sehr gut geschaetzt ! Da zeigt sich der Praktiker.

Geändert von richy (04.11.08 um 16:37 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #26  
Alt 04.11.08, 16:33
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Bloß können muß man's wie halt, wie richy!
Ja, aber dabei nicht wie oben eine klammer vergessen !!!
Habs gerade korrigiert.
Beide Optimierungsaufgaben fuehren zum selben Ergebnis !

Geändert von richy (04.11.08 um 16:37 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #27  
Alt 04.11.08, 16:40
Benutzerbild von Marco Polo
Marco Polo Marco Polo ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 4.967
Standard AW: Extremwertproblem

Zitat:
Zitat von EMI Beitrag anzeigen
Klammern bekommst Du auf Anfrage von Marco Polo reichlich.
Hihi, genau. Was hatte ich doch gleich für Klammern verlangt?
50 Cent/Stück meine ich mich zu erinnern.
Mit Zitat antworten
  #28  
Alt 04.11.08, 16:43
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Extremwertproblem

Schwaben liegt um die Ecke. Da spart man auch mit Klammern.
BTW: Man kann die Aufgabe auch ohne Lagrange loesen.

1) V=h*Pi*r^2
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
Hier in 1) h ueber V ausdruecken
3) h=V/( Pi*r^2)

3) in 2) einsetzten
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*V/( Pi*r^2)
Und dann A minimieren.
Das fuehrt aber auch zu recht komplizierten Ausdruecken.

Zitat:
50 Cent/Stück meine ich mich zu erinnern.
Na dann biege ich mir die doch lieber selbst :-)

Geändert von richy (04.11.08 um 16:46 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #29  
Alt 04.11.08, 16:49
Benutzerbild von Hamilton
Hamilton Hamilton ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 02.05.2007
Ort: Deutschland
Beiträge: 447
Standard AW: Extremwertproblem

Oh, na sowas, plötzlich steht die richtige Lösung schon da-
dann kann man das hier ignorieren:

V=h*Pi*r^2
A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h

=> h=V/(πr²) damit nach A:
A= 2πr²+2V/r

∂A/∂r = 4πr-2V/r² = 0

daraus ergibt sich dann:
_______
r = ³√ V / (2π) und ein hässlicher Ausdruch für h, den man durch h=V/(πr²) bekommt.

Viel schöner ist es allerdings, wenn man jetzt V=hπr² in den Ausdruck für r einsetzt, dann kommt:
h^(1/3)*r^(2/3)/2^(1/3)=r, was einen schließlich dazu bringt, dass

r=h/2

das optimale Verhältnis einer zylindrischen Dose mit irgendeinem Volumen drin ist.

Merke: Man kann nicht das Volumen optimieren und gleichzeitig die Fläche minimieren.
Entweder man minimiert die Fläche bei gegebenem Volumen, oder man maximiert das Volumen bei gegebener Fläche.
Beides läuft auf das gleiche Verhältnis hinaus.
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman

Geändert von Hamilton (04.11.08 um 16:52 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #30  
Alt 04.11.08, 17:04
Benutzerbild von rene
rene rene ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 716
Standard AW: Extremwertproblem

Ich habe für die Funktion von r bei gegebenem Volumen und gesuchter minimaler Weissblechfläche der Konservendose

r = (V/pi)^(1/3) erhalten, also die dritte Wurzel aus V/pi

Grüsse, rene
__________________
Realität ist eine Frage der Wahrnehmung
Mit Zitat antworten
Antwort

Lesezeichen

Themen-Optionen
Ansicht

Forumregeln
Es ist Ihnen nicht erlaubt, neue Themen zu verfassen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, auf Beiträge zu antworten.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Anhänge hochzuladen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Ihre Beiträge zu bearbeiten.

BB-Code ist an.
Smileys sind an.
[IMG] Code ist an.
HTML-Code ist aus.

Gehe zu


Alle Zeitangaben in WEZ +1. Es ist jetzt 17:20 Uhr.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8 (Deutsch)
Copyright ©2000 - 2019, vBulletin Solutions, Inc.
ScienceUp - Dr. Günter Sturm