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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben. |
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#61
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Hi Uli,
ich hätte durchaus noch die ein oder andere Anmerkung zu Deinem letzten Beitrag (EDIT: Und nicht einmal nur kritische) - Aber lassen wir's: Ich habe ja bereits angefangen, selbst ein wenig zu "stöbern". Hättest Du aber noch die Güte mir die offenen Fragen aus dem Beitrag hier zu beantworten? Da interessiert mich insbesondere 3. - Ich wäre Dir sehr zu Dank verbunden! Außerdem wüsste ich natürlich immer noch gerne von Dir ob "der Mast" nun in Deinen Augen konkret "torkelt" oder nicht ... So? Davon habe ich nix bemerkt. Ge?ndert von SCR (22.03.10 um 16:57 Uhr) |
#62
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
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Warum solltest du dich nicht umdrehen und zurückschauen können ????? Gruß, Uli |
#63
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Hi Uli,
Zitat:
Bei der Thomas-Präzession wird dabei aber - im Gegensatz zu "normalen" Präzessionen - kein Drehmoment ausgeübt, Sack Zement! Wigner-Rotation und Thomas-Präzession sind nun einmal faktisch gleich : Es sind beides relative Effekte, in beiden Fällen geht's alleine um den Mast (Mast im Falle der Thomas-Präzession = Spin-Rotationsachse). Oder siehst Du das anders? Zitat:
Zitat:
Zitat:
Wie ist das denn überhaupt mit dem Garagen-Paradoxon - wenn sich die Garage und nicht das Auto bewegt? Das müsste doch auch über eine Drehung konsistent aus beiden Sichten ... Hmmm - Muß ich mir einmal durch den Kopf gehen lassen. |
#64
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Hi SCR!
Leider geht's nicht. Es gibt kein Tool, dass die verschiedenen Versionen eines Beitrages abspeichert. Passiert mir auch hin und wieder, dass ich auf "Ändern" drücke, anstatt "Zitieren". Bis jetzt habe ich es noch immer rechtzeitig gemerkt. Gruss, Johann |
#65
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Hi JoAx!
Macht nix: Ein Großteil konnte ja "gerettet" werden - Danke trotzdem dass Du Dir's angeschaut hast. Ge?ndert von SCR (23.03.10 um 19:42 Uhr) |
#66
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Zitat:
In der Physik macht man oft von abstrakten Räumen Gebrauch, die real gar nicht existieren. So gibt es bspw. einen Phasenraum und einen Impulsraum. Diese Räume sind aufs Engste mit der analytischen Mechanik verknüpft. In der QM spielt der Hilbertraum eine wichtige Rolle. Für die SRT ist der Minkowski-Raum von einzigartiger Bedeutung. Dieser besitzt eine pseudoeuklidische Struktur (Eichkurve ist die Hyperbel). Man spricht im Kontext auch vom "hyperbolischen Pythagoras": x² - (ct)² = 1 Die raumzeitliche Union des Hermann Minkowski ist flach. Die Christoffel-Symbole verschwinden in dieser Welt. Beobachter befinden sich in kräftefreier Bewegung. Es handelt sich geometrisch bei einem Minkowski-Diagramm um eine Projektion hyperbolischer Strukturen auf die Ebene. Man spricht auch von der Lorentz-Geometrie. Die Raumzeit (Mannigfaltigkeit) der ART dagegen ist pseudo-riemannsch, d.h. dass dem vierdimensionalen Kontinuum eine positive Krümmung eigen ist. An die Stelle Kartesischer Koordinaten treten Riemannsche Normalkoordinaten. Einsteins Überlegungen liegt die Riemannsche Geometrie und der Tensor-Calculus von Levi-Civita zugrunde. Nicht ohne Grund wird der Riemann-Christoffelsche Krümmungstensor bemüht, aus welchem der für die Einsteinschen Feldgleichungen massgebende Ricci-Tensor durch Verjüngung hervorgeht. (Frage an SCR: Wie überschiebst du einen Tensor und was verstehst du unter der Kontraktion eines Tensors?) Es sind dies alles mathematische Konstruktionen der theoretischen Physik, um mehr oder weniger komplizierte Sachverhalte quantitativ zu erfassen. So überrascht es nicht, dass es auch einen Geschwindigkeitsraum gibt. In der Galilei-Mechanik ist dieser euklidisch, in der relativistischen Mechanik hingegen von einer Lobatschewski-Struktur. Geschwindigkeiten werden dort durch den Tangens hyperbolicus bestimmt. Der Unterschied (mit c = 1) ist der: a) Nach Galilei gilt --> u = w + v In einem Galileischen Geschwindigkeits-Diagramm sind zwei Bewegungslinien durch den Tangens ihres Schnittwinkels bestimmt. b) Nach Einstein gilt --> u = (w - v)/(1 - wv) In einem Minkowski-Diagramm erweist sich der Winkel zwischen zwei Weltlinien daher als die gesuchte Relativgeschwindigkeit. Es wäre nun fatal, wenn einer dieser abstrakten Räume mit dem natürlichen Bewegungsraume verwechselt würde. Der Naturraum (Ortsraum) ist allem Anschein nach euklidisch. Global allenfalls von verschwindender (positiver) Krümmung. Der Sehraum wiederum ist hyperbolisch. Das geht eindeutig aus empirischen Befunden hervor. Auch die Projektive Geometrie spielt dabei eine gewisse Rolle. Es ist nicht immer einfach, diese Unterschiede zu erkennen. Es empfiehlt sich das Büchlein von Weyl, "Raum-Zeit-Materie", sowie eventuell ein Studium Reichenbachs, z.B. "Die philosophische Bedeutung der Relativitätstheorie" (Gesammelte Werke Band 3). Insgesamt geht die vorliegende Thematik weit über die Physik hinaus. Mathematik, Philosophie und Physik geben sich hier die Hand. Mit den Worten von Prof. Walter Thirring schliesse ich diesen Exkurs: Hier ist der ganze menschliche Geist, sind Wissenschaft und Religion gefordert. Gr. zg Ge?ndert von zeitgenosse (23.03.10 um 22:26 Uhr) |
#67
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Hi zg,
vorab: IMHO klasse Beitrag! Zitat:
Ich denke, das trifft nur eingeschränkt zu: 1. Lokal und unter "gewöhnlichen" Rahmenbedingungen (= kein SL etc.) kann näherungsweise eine euklidische Geometrie angenommen werden: Deshalb funktioniert Newton immer noch so gut - Man kann eben die Euklidik für den größten Teil unserer "Alltagsprobleme" unterstellen. 2. Global ergibt sich für das gesamte Universum näherungsweise eine euklidische Geometrie (siehe WMAP-Daten). Die Geometrie der ART ist definitiv elliptischer Natur und - (vor allen Dingen!) real. Damit sich in Summe näherungsweise eine euklidische Geometrie ergeben kann muß IMHO in unserem Universum der Geometrie der ART "zum Ausgleich" eine reale hyperbolische gegenüberstehen. Zitat:
Zitat:
Zitat:
Verjüngen = Kontraktieren Tensoren gleicher Stufe kann man addieren, Das Produkt eines Tensors n-ter Stufe mit einem Tensor m-ter Stufe ergibt einen Tensor (n+m)-ter Stufe. Beim Verjüngen wird die Stufe eines Tensors erniedrigt. Damit kann man z.B. aus einem zweistufigen Tensor einen Vektor bzw. aus einem Tensor 1. Stufe (= Vektor) einen Skalar machen. Aber warum fragst Du / Worauf zielt Deine Frage ab? Ich habe doch schließlich von der Materie keinen Dunst - Du weißt dafür umso mehr. Ge?ndert von SCR (24.03.10 um 09:42 Uhr) |
#68
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Ich wollte nur schauen, inwiefern du die Materie beherrschst. Die Fragen haben u.a. mit der Raumkrümmung - damit auch mit der Geometrie der Raumzeit - zu tun.
Eine kurze Zusammenfassung des Gesagten: 1) Beim Verjüngen (ein in der Tat trefflicher Ausdruck) entsteht ein Tensor (n - 2)-ter Stufe. Aus dem Ricci-Tensor bspw. der Ricci-Skalar. Dabei werden zwei Indizes gleichgesetzt, dann wird über sie summiert (Anwendung der Einsteinschen Summenkonvention). So entsteht bspw. der Ricci-Tensor, indem man den Riemann-Tensor (ein Tensor 4. Stufe) über den metrischen Tensor verjüngt. Zurück bleibt ein Tensor 2. Stufe, der zusammen mit dem Fundamentaltensor und dem Krümmungsskalar den sog. Einstein-Tensor G_ik auf der linken Seite der Einsteinschen Feldgleichungen bildet. Auf der rechten Seite -als Quelle des Gravitationsfeldes - steht der Energie-Impuls-Tensor T_ik. 2) Bei der Multiplikation zweier Tensoren n-ter und m-ter Stufe entsteht ein Tensor (n + m)-ter Stufe. 3) Das Überschieben hast du richtig beschrieben. Zwei Tensoren werden miteinander multipliziert und dann verjüngt. Verjüngt man bspw. das dyadische Produkt zweier Vektoren x und y, so entsteht daraus ein Skalarprodukt bzw. ein Tensor 0-ter Stufe. 4) Ein weiterer wichtiger Begriff im Tensor-Kalkül ist die Spur eines Tensors. Darunter versteht man bei einem Tensor 2. Stufe die Summer seiner Diagonalelemente. Die Spur ist eine Tensorinvariante, weil sie unter linearen Koordinatentransformationen erhalten bleibt. In der Physik kommt insbesondere den Tensoren 2. Stufe eine grosse Bedeutung zu. Unter diesen gibt es symmetrische (A_ik = A_ik) und antisymmetrische (A_ik = -A_ik) bzw. schiefsymmetrische Tensoren. In der klassischen Physik gebräuchliche Tensoren sind der Trägheitstensor (Mechanik), der Spannungstensor (Elastomechanik) oder der Feldstärketensor (Elektrodynamik). Ich weiss nicht, ob man die Tensorrechnung heutzutage im Physikstudium erlernt. Seinerzeit musste ich mir diese Dinge autodidaktisch aneignen. Ich hatte jedoch das Glück, einiges zuvor von Fließbach aufgeschnappt zu haben. Gr. zg |
#69
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Nachtrag:
1) Im Unterschied zur Spur eines Tensors wird das Produkt der Eigenwerte (wie in der gewöhnlichen Matrixalgebra) als Determinante bezeichnet. 2) In Bezug auf die Summationskonvention gilt, dass durch getrennte Permutation der oberen oder unteren Indizes eines beliebigen Tensors ein Tensor vom selben Typ entsteht. Gehen wir noch einen Schritt weiter und betrachten in aller Kürze einige Anwendungen der Tensoranalysis, z.B.: a) Weylableitung von Weylfeldern (kovariante Ableitung schiefsymmetrischer Tensoren) --> Verallgemeinerung der Divergenz b) Cartanableitung von Cartanfeldern (kovariante Ableitung schiefsymmetrischer Tensoren) --> Verallgemeinerung der Rotation c) Lieableitung beliebiger Tensorfelder in Richtung eines Vektorfeldes --> Verallgemeinerung der Richtungsableitung An diesem Thema der mathematischen Physik muss ich allerdings selbst noch etwas arbeiten. Gr. zg |
#70
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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Hi zg,
Zitat:
Im was? Mach' ansonsten ruhig einfach 'mal da weiter. Wie wär's z.B. damit? Ge?ndert von SCR (24.03.10 um 22:43 Uhr) |
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