Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

[Ich]

Zitat von Timm

Sind die Vektoren, die das Killingvektorfeld beschreiben, Zeit- und Ortsvektoren, oder beliebige Vektoren?

Meinst du raumartig oder zeitartig? Sie können beides sein, das häng von der Symmetrie ab. Sie bezeichnen aber keine Punkte in Raum und Zeit, falls du das meinst, sondern Verschiebungen.

Ein paar Beispiele für "physikalisches Geschehen" wären super. Etwa Vektoren wie Vierergeschwindigkeit oder Viererimpuls? Oder Dinge wie freier Fall, Orbit, Beschleunigung ... ?

A und B stationär in der Schwarzschildmetrik. B hat Zeitdilatationsfaktor 1/2, A ist weiter drinnen mit Faktor 1/4.
A sendet zur Koordinatenzeit t=0 einSignal Richtung B, das der bei t=1 reflektiert, so dass es zu t=2 wieder bei A ist. Wir können das Ganze um Koordinatenzeit t=5 in die Zukunft verschieben, dann lauten die Zahlen eben 5,6 und 7, aber es ist immer noch genau dasselbe. Die jeweiligen Eigenzeiten lauten A 0, B 0.5, A 0.5.
Wenn ich hingegen um Eigenzeit tau=5 verschiebe, dann sind die Eigenzeiten bei A 5, B 5.5, A 5.5 und die entsprechenden Koordinatenzeiten sind A 20, B 11, A 22. Das ist nicht dasselbe, sondern totaler Käse. Also ist eine Verschiebung um konstante Koordinatenzeit eine Symmetrieoperation, eine Verschiebung um konstante Eigenzeit aber irgendein Mist. Deswegen ist ein Vektor konstanter Koordinatenzeitverschiebung (dt,0,0,0) ein Killingvektor. Diese Vektoren sind in echt überall unterschiedlich lang, und ihre Gesamtheit bildet ein Vektorfeld, eben besagtes Killingfeld.

Wenn ich mich richtig erinnere, ist das zeitartige Killingvektorfeld einer statischen Raumzeit Null. Falls richtig, ist das so, weil alle Vektoren null sind? Gibt es andere typische Aussagen, die sich auf das Killingvektorfeld beziehen?

Nö, das zeitartige Killingfeld einer solchen Raumzeit ist (1,0,0,0), wenn die erste Koordinate die Zeit bedeutet, unter der die Metrik zeitunabhängig ist.