Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle

[Timm]

Zitat von Ich

Im Vakuum verschwindet der Ricci-Tensor, es bleibt nur der Weyl-Tensor übrig. Die Bedeutung ist, wie in Wikipedia und in "The Meaning of Einstein's Equations" dargestellt, dass im Vakuum ein Testvolumen - z.B. eine Wolke Kaffebohnen in relativer Ruhe - nur verformt wird (Weylkrümmung), während es bei Anwesenheit von Materie innerhalb der Wolke auch in der Größe geändert wird.

Gut, dazu ein kleiner Abschweifer zu den Gezeitenkräften. Davon ist offenbar nur (?) im Fall Weyl-Krümmung die Rede. Zumindest entnehme ich das so aus "The Meaning of Einstein's Equations". Ist das eine Konvention? Der andere Fall - Wolke expandiert beschleunigt und das isotrop - sollte doch vergleichbar sein, relative Beschleunigung von Partikeln in beiden Fällen. Oder sehe ich das falsch.

Zitat von Ich

Im Prinzip läuft's wohl darauf hinaus, dass zeitartige Geodäten bei positiver Schnittkrümmung divergieren, raumartige aber konvergieren. Das muss ich mir aber noch genauer anschauen.

Bedeutet positive Schnittkrümmung nicht Sphäre? Wir sprechen hier also von Raumkrümmung, nicht Raumzeit Krümmung, oder? Geht es um Geodäten in einer expandierenden Sphäre? Kannst Du nochmal etwas weiter ausholen?

[Ich]

Gut, dazu ein kleiner Abschweifer zu den Gezeitenkräften. Davon ist offenbar nur (?) im Fall Weyl-Krümmung die Rede. Zumindest entnehme ich das so aus "The Meaning of Einstein's Equations". Ist das eine Konvention?

Darüber habe ich mir noch keine Gedanken gemacht. Wenn man ein bisschen Wikipedia liest, sieht es tatsächlich so aus, als ob das Konvention sei.
Das mit der relativen Beschleunigung würde ich auch als eine allgemeine Defininition von "Gezeitenkraft" sehen. Vielleicht wird der Begriff meistens spezieller gebraucht.

Bedeutet positive Schnittkrümmung nicht Sphäre? Wir sprechen hier also von Raumkrümmung, nicht Raumzeit Krümmung, oder?

Nein, wir reden von Raumzeitkrümmung.
Mein Beispiel von damals war die de Sitter Raumzeit, das exponentiell beschleunigt expandierende Universum. Der FRW-Raum für diese Raumzeit ist flach. Der statische Raum ist positiv gekrümmt. Diesen Unterschied habe ich in meinem Gamsbart.Beispiel versucht zu erklären.
Raumzeitkrümmung hat nun mit der exakten Koordinatenwahl nichts zu tun. Es gibt für die Gesamtkrümmung eine (oder zwei) Zahlen, und die sind positiv: diese Raumzeit ist positiv gekrümmt, egal wie man darin den Raum definiert.

Wenn man genauer hinschauen will kommt man zum Begriff der Schnittkrümmung. Dazu sucht man sich an einem bestimmten Punkt zwei Vektoren aus. Dann nimmt man die Ebene, die durch Geodäten erzeugt wird, die irgendwie als Linearkombination dieser beiden Vektoren vom Ursprung ausgehen. Auch das ist koordinatenunabhängig, also eine Raumzeitgröße, und nicht von der speziellen Definition des Raumes abhängig, die man verwendet.
Als solche Vektoren kann man der Übersichtlichkeit halber gerne die Basisvektoren irgendeines Orthogonalsystems wählen. Im Falle einer FRW-Raumzeit idealerweise mit der kosmologischen Zeit als "Zeitrichtung".
Dann gibt es vier Basisvektoren t,x,y,z und sechs Ebenen tx,ty,tz,xy,xz,yz.
Für jede dieser Ebenen kann man die Schnittkümmung ausrechnen, und für jede kommt bei de Sitter derselbe Wert raus: +1/4a² (a ist eine frei wählbare charakteristische Länge).
Also ist der "Normalraum" (siehe Gamsbart) positiv gekrümmt, das sind die Ebenen xy,xz,yz. Ebenso sind die Zeit-Raum-gemischten Ebenen tx,ty,tz positiv gekrümmt.
Jetzt ist es aber innerhalb dieser Ebene offensichtlich so, dass raumartige Geodäten konvergieren (wie auch in der Raum-Raum-Ebenen), aber zeitartige Geodäten divergieren. Wie das genau ausieht weiß ich nicht, da muss ich mich noch tiefer einarbeiten.

Zusammenfassend: Der "natürliche" Raum des exponentiell beschleunigt expandierenden Universums hat positive Krümmung und ist in der Tat deswegen eine Sphäre.
Die Raumzeitebenen sind auch positiv gekrümmt, werden aber deswegen nicht zur Sphäre. Für zeitartige Vektoren kommt effektiv nämlich (anscheinend) negative Krümmung raus.
Insgesamt ist die Raumzeit zwar positiv gekrümmt, aber keine 4-Sphäre, sondern unendlich ausgedehnt.

[Bauhof]

Zitat von Ich

Zusammenfassend: Der "natürliche" Raum des exponentiell beschleunigt expandierenden Universums hat positive Krümmung und ist in der Tat deswegen eine Sphäre.

Die Raumzeitebenen sind auch positiv gekrümmt, werden aber deswegen nicht zur Sphäre. Für zeitartige Vektoren kommt effektiv nämlich (anscheinend) negative Krümmung raus.

Insgesamt ist die Raumzeit zwar positiv gekrümmt, aber keine 4-Sphäre, sondern unendlich ausgedehnt.

Hallo ICH,

der "natürliche" Raum (du meinst vermutlich unseren dreidimensionalen Anschauungsraum) hat also eine positive Krümmung und ist wegen dieser positiven Krümmung eine in sich zurückgeschlossene dreidimensionale Sphäre, richtig?

Wie kann nun die Raumzeit positiv gekrümmt und trotzdem keine in sich zurückgeschlossene vierdimensionale Sphäre sein?

M.f.G. Eugen Bauhof

[Timm]

Zitat von Ich

Nein, wir reden von Raumzeitkrümmung.
.
Als solche Vektoren kann man der Übersichtlichkeit halber gerne die Basisvektoren irgendeines Orthogonalsystems wählen. Im Falle einer FRW-Raumzeit idealerweise mit der kosmologischen Zeit als "Zeitrichtung".
Dann gibt es vier Basisvektoren t,x,y,z und sechs Ebenen tx,ty,tz,xy,xz,yz.
Für jede dieser Ebenen kann man die Schnittkümmung ausrechnen, und für jede kommt bei de Sitter derselbe Wert raus: +1/4a² (a ist eine frei wählbare charakteristische Länge).
Also ist der "Normalraum" (siehe Gamsbart) positiv gekrümmt, das sind die Ebenen xy,xz,yz. Ebenso sind die Zeit-Raum-gemischten Ebenen tx,ty,tz positiv gekrümmt.

Es ist ja schon erstaunlich, daß bei diesen 6 Ebenen derselbe Kümmungswert herauskommt.
Mir ist noch nicht klar, wie man zur Raumzeitkrümmung kommt. Diese 6 Ebenen sind doch wohl (?) eine Momentaufnahme. Bedarf es dann nicht einer zeitlichen Stapelung, was ich mir bei Zeit-Raum Ebenen noch vorstellen kann. Was aber, wenn die Zeit keine Koordinate ist? Die Kümmung der Raum-Raum-Schnitte ist ja wohl zeitunabhängig?
Hm, wenn egal, wie man's bei einem Modell-Universum macht (Schnitt durch Raum-Raum oder Zeit-Raum) immer derselbe Krümmungswert herauskommt, dann sollte das eigentlich heißen, daß man doch keinen Zeit-Stapel braucht. Andererseits verbinde ich den Begriff Raumzeit mit dem Verhalten von zeitartigen Geodäten.

Lt. Wikipedia hat die Schnittkrümmung den Wert null (Raum euklidisch),
1/R² (Sphäre mit Radius R) und -1/R² (Raum hyperbolisch). Insofern hatte ich Schnittkrümmung mit Raumkrümmung identifiziert.

P.S.By Mark Trodden | April 15, 2012 6:08 am :
Pure de Sitter space – the solution to the Einstein equations with a positive cosmological constant and no other matter sources – is, indeed, a maximally symmetric space. There exist a number of particularly useful coordinate choices for this space. In some cases, these consist of picking a useful time choice, and thus defining a family of spacelike surfaces (the spatial part of the spacetime at a constant value of this time choice). This is referred to as a slicing of the space, and it is, actually, possible to slice the space in three different ways that correspond to cosmologically expanding spaces with flat, positively-curved and negatively curved spatial parts, respectively. These are the ways of describing de Sitter space that are useful when considering inflation. However, there also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time at all, and the mere existence of such a choice is enough to tell us that there is no fundamental sense in which this is an expanding cosmological spacetime. In fact, from what I just wrote, you might have a related question: even in the cosmological coordinates, what decides if the universe is flat, positively, or negatively curved?

Sind hier mit "spacelike surfaces " die von Dir erwähnten Zeit-Raum-Ebenen (Schnitte) gemeint? Und damit :"... also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time ?" die Raum-Raum-Ebenen?

[Ich]

Hallo Bauhof,

Zitat von Bauhof

der "natürliche" Raum (du meinst vermutlich unseren dreidimensionalen Anschauungsraum) hat also eine positive Krümmung und ist wegen dieser positiven Krümmung eine in sich zurückgeschlossene dreidimensionale Sphäre, richtig?

Ich kann gerade mit dem Begriff "Anschauungsraum" nichts anfangen, vielleicht könntest du das näher erläutern.
Man kann in jeder Raumzeit verschiedenste dreidimensionale Räume definieren, da ist die Auswahl fast unbegrenzt. Mit "natürlichem Raum" meine ich das, was ich im Gamsbartbeispiel mit "Normalkoordinaten" bezeichnet habe. Man legt an einem beliebigen Ereignis fest, in welche Richtung die Zeit geht - normalerweise die Vierergeschwindigkeit eines Beobachters -, und der Rest ergibt sich automatisch.
Das ist nicht der Raum, der in FRW-Koordinaten benutzt wird; dieser wäre nämlich flach.

Wie kann nun die Raumzeit positiv gekrümmt und trotzdem keine in sich zurückgeschlossene vierdimensionale Sphäre sein?

Das ist genau der Punkt, den ich mir noch anschauen muss. Der Knackpunkt sind die gemischten Ebenen, in denen sowohl zeitartige als auch raumartige Abstände vorkommen. Da ist es effektiv wohl so, dass positive Krümmung "im raumartigen Teil" (diese Formulierung gefällt mir wie gesagt nicht) mit negativer Krümmung im zeitartigen Teil korreliert. Dazu kann ich im Moment aber auch nicht mehr sagen, als ich schon gesagt habe.

Ich hab auf die Schnelle dazu noch dieses Paper gefunden, leider nur auf Englisch. Dort wird meine Sichtweise

Zitat von Ich

Im Prinzip läuft's wohl darauf hinaus, dass zeitartige Geodäten bei positiver Schnittkrümmung divergieren, raumartige aber konvergieren.

bestätigt. Also stimmt die ungefähre Richtung schon mal.

[Bauhof]

Hallo ICH,

Zitat von Ich

Ich kann gerade mit dem Begriff "Anschauungsraum" nichts anfangen, vielleicht könntest du das näher erläutern.

Mit "Anschauungsraum" wird (wurde) der uns umgebende dreidimensionale physikalische Raum beschrieben:

In der Mathematik bezeichnet der Begriff euklidischer Raum zunächst den “Raum unserer Anschauung“, wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie).

Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende physikalische Raum beschrieben wird. Der Zusatz "euklidisch" wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere Raumkonzepte (z.B. hyperbolischer Raum, riemannsche Mannigfaltigkeiten) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden (Minkowski-Raum, Lorentz-Mannigfaltigkeit).

Siehe: http://cresi.ameriv.de/wiki/Anschauungsraum

Ob nun unser "Anschauungsraum" in Wirklichkeit euklidisch, sphärisch oder hyperbolisch ist, wissen wir noch nicht, denn z.B. ein in sich zurückgeschlossener sphärischer dreidimensionaler Raum mit einem 4-D-Radius von 13 Milliarden Lichtjahren ist messtechnisch sehr schwer von einem euklidischen Raum zu unterscheiden. Ich wäre dankbar, wenn du zur Beantwortung meiner Frage

Wie kann nun die Raumzeit positiv gekrümmt und trotzdem keine in sich zurückgeschlossene vierdimensionale Sphäre sein?

etwas deutschsprachiges finden könntest, denn der Apacho-Übersetzer liefert bei englisch-physikalischen Texten nur Unverständliches.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Ich]

Hi Bauhof,

Mit "Anschauungsraum" wird (wurde) der uns umgebende dreidimensionale physikalische Raum beschrieben

Ich weiß nicht, ob das Sinn ergibt. Was unterscheidet einen physikalischen Raum von einem nichtphysikalischen?
Wie auch immer, in der ART kommt dem "Raum" keine spezielle Bedeutung zu, nur der Raumzeit. Den "Raum" kann man sich da fast beliebig reinlegen, das liefert nur unterschiedliche Beschreibungen derselben Sache.

Ich wäre dankbar, wenn du zur Beantwortung meiner Frage etwas deutschsprachiges finden könntest

Hab ich eigentlich nur den weiter oben verlinkten Artikel. Dort findest du auf Seite 5 die etwas merkwürdige Aussage:

Zitat von Richter

...in ihrem raumartigen Teil gelten daher die Krümmungen (5), während im zeitartigen Teil jeweils das andere Vorzeichen zu nehmen ist.

Damit wäre also "im zeitartigen Teil" die Krümmung negativ. Reicht dir das? (Allerdings weise ich nochmal darauf hin, dass diese Formulierung für mich keinen Sinn ergibt.)


Die Formulierung im englischsprachigen Artikel ist dagegen ziemlich genau die, die ich auch gewählt habe - und die mir naturgemäß auch besser gefällt. Mit "sigma" = Wert der Schnittkrümmung:

Zitat von Freire

Interpreting the sign of sigma.
In the Riemannian case, if sigma < 0 everywhere, the Jacobi equation has exponentially divergent solutions, while if sigma > 0 the solutions are oscillatory ("convergent" geodesics.) This still holds for space-like two-planes in the Lorentzian case:
sigma < 0 corresponds to defocusing,
sigma > 0 to focusing behavior.

Zitat von Übersetzer Ich

Zur Interpretation des Vorzeichens von sigma:
Im Riemannschen Fall hat die Jacobi-Gleichung exponentiell divergierende Lösungen, während, wenn sigma < 0, die Lösungen oszillierend sind ("konvergente" Geodäten.) Das gilt auch für raumartige Zwei-Flächen im Lorentzschen Fall:
sigma < 0 entpricht defokussierendem,
sigma > 0 fokussierendem Verhalten.

Zitat von Freire

If \gamma is a timelike geodesic [...]
This is positive if sigma > 0 (divergent, defocusing behavior), negative if
sigma < 0 (convergent, focusing behavior for nearby particles.)
Note this is exactly the opposite of the Riemannian case.

Zitat von Übersetzer Ich

Wenn \gamma eine zeitartige Geodäte ist ...
Das ist positiv wenn sigma > 0 (divergentes, defokussierendes Verhalten), negativ wenn sigma < 0 (konvergierendes, fokussierendes Verhalten für benachbarte Partikel.)
Beachte, dass das das genaue Gegenteil des Riemannschen Falls ist.

Das ist letztlich wohl nur eine Formulierungsfrage, im Prinzip bedeuten beide Aussagen, dass eine positive Schnittkrümmug auf zeitartige Geodäten wie eine negative Krümmung wirkt. Dementsprechend expandieren bei de Sitter (= überall positive Schnittkrümmung) die Weltlinien von Testteilchen auch exponentiell, statt wie im Fall einer zurückgeschlossenen vierdimensionalen Sphäre zu kontrahieren. Das kleine "-" in der Metrik macht den Unterschied.

[Ich]

Hallo Timm,

Es ist ja schon erstaunlich, daß bei diesen 6 Ebenen derselbe Kümmungswert herauskommt.

Das liegt daran, dass diese Raumzeit maximal symmetrisch ist, wie auch Trodden schreibt.

Mir ist noch nicht klar, wie man zur Raumzeitkrümmung kommt. Diese 6 Ebenen sind doch wohl (?) eine Momentaufnahme. Bedarf es dann nicht einer zeitlichen Stapelung, was ich mir bei Zeit-Raum Ebenen noch vorstellen kann. Was aber, wenn die Zeit keine Koordinate ist? Die Kümmung der Raum-Raum-Schnitte ist ja wohl zeitunabhängig?

Sorry, mir ist nicht klar, was deine Frage ist.
Mal mit meinen Worten erklärt, wovon ich zu reden glaube:
"Raumkrümmung" (= Riemannsche Krümmmung) wie auch "Schnittkrümmung" beschreiben die Krümmung der Raumzeit lokal an einem einzigen ausgewählten Ereignis. Der Riemanntensor gibt dabei an, wie sich Vektoren beim Verschieben drehen. Die Schnittkümmungen geben an, wie die 6 möglichen - hier aufeinander senkrecht stehenden - Ebenen, die durch dieses Ereignis verlaufen, gekrümmt sind. Die Ebenen werden erzeugt, indem man 2 der 4 orthogonalen Basisvektoren festhält und für alle möglichen Kombinationen der beiden anderen die Geodäten nimmt, die in diese Richtung starten.
Beides beinhaltet dieselbe Information, nämlich die Krümmung der Raumzeit an genau diesem Ereignis.

Lt. Wikipedia hat die Schnittkrümmung den Wert null (Raum euklidisch),
1/R² (Sphäre mit Radius R) und -1/R² (Raum hyperbolisch). Insofern hatte ich Schnittkrümmung mit Raumkrümmung identifiziert.

Ja. Wenn du erst irgendwie einen 3D-Raum herausschneidest, dann zeigen die Schnittkrümmungen dieses Raums dessen Krümmung an, so wie Wikipedia sagt.
Die Schnittkrümmungen der 4D-Raumzeit aber schneiden sich ihren Raum selber heraus, unabhängig von der Koordinatenwahl (du musst nur angeben, welcher Vektor auf allen Ebenen senkrecht stehen soll). In den 3 reinen Raumebenen geben sie dann auch wie oben die Krümmung an. In den 3 gemischten Ebenen sind sie etwas vorsichtiger zu interpretieren.

Sind hier mit "spacelike surfaces " die von Dir erwähnten Zeit-Raum-Ebenen (Schnitte) gemeint?

Nein, gar nicht. Das sind - im oben beschriebenen Sinne - beliebig herausgeschnittene 3D-Räume. In diesem Raum sind alle Abstände raumartig, so dass ich die darin liegenden Ebenen als Raum-Raum beschreiben würde (Beispiel: x-y-Ebene).
In Zeit-Raum Ebenen gibt es sowohl raumartige als auch zeitartige Abstände (Beispiel: x-t-Ebene des klassischen Raum-Zeit-Diagramms).

Und damit :"... also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time ?" die Raum-Raum-Ebenen?

Der so herausgeschnittene Raum entspricht in der Tat genau dem Produkt der Raum-Raum-Ebenen der 4D-Schnittkrümmung. Das ist quasi der Raum, den sich diese Ebenen sowieso herausschneiden würden. Deswegen habe ich ihn auch als den "natürlichen" Raum bezeichnet.

[Timm]

Zitat von Timm

Gut, dazu ein kleiner Abschweifer zu den Gezeitenkräften. Davon ist offenbar nur (?) im Fall Weyl-Krümmung die Rede. Zumindest entnehme ich das so aus "The Meaning of Einstein's Equations". Ist das eine Konvention? Der andere Fall - Wolke expandiert beschleunigt und das isotrop - sollte doch vergleichbar sein, relative Beschleunigung von Partikeln in beiden Fällen. Oder sehe ich das falsch.

Dazu ein kleiner Nachtrag:

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor

It is a central mathematical tool in the theory of general relativity, the modern theory of gravity, and the curvature of spacetime is in principle observable via the geodesic deviation equation. The curvature tensor represents the tidal force experienced by a rigid body moving along a geodesic in a sense made precise by the Jacobi equation.

Ich finde, es macht schon Sinn, Gezeitenkräfte nicht daran fest zu machen, ob das Volumen der Testpartikel Wolke nun zeitlich konstant ist oder nicht.

[Timm]

Hi 'Ich',

Zitat von Ich

Mal mit meinen Worten erklärt, wovon ich zu reden glaube:
"Raumkrümmung" (= Riemannsche Krümmmung) wie auch "Schnittkrümmung" beschreiben die Krümmung der Raumzeit lokal an einem einzigen ausgewählten Ereignis. Der Riemanntensor gibt dabei an, wie sich Vektoren beim Verschieben drehen. Die Schnittkümmungen geben an, wie die 6 möglichen - hier aufeinander senkrecht stehenden - Ebenen, die durch dieses Ereignis verlaufen, gekrümmt sind. Die Ebenen werden erzeugt, indem man 2 der 4 orthogonalen Basisvektoren festhält und für alle möglichen Kombinationen der beiden anderen die Geodäten nimmt, die in diese Richtung starten.
Beides beinhaltet dieselbe Information, nämlich die Krümmung der Raumzeit an genau diesem Ereignis.

Ok, danke, um das allerdings wirklich nachvollziehen zu können, fehlen mir leider die Grundlagen. Hilfreich ist auf jeden Fall das Fazit - der letzte Satz. Man spricht dann wohl von konstanter Schnittkrümmung, wenn das kosmologische Prinzip gilt.

Wie ist das nun im Fall Schwarzschild? Wir hatten ja schon gesehen, daß das Vorzeichen der Krümmung der Raumzeit hier von der betrachteten Ebene abhängt. Kann oder muß man hier nicht auch die Schnittkrümmung heran ziehen? Allerdings, hmm, bleibt im Vakuum von den Komponenten des Riemann Tensors nur die Weyl Krümmung übrig.

Wie interpretierst Du das?:
Hier steht S. 9

On the other hand, there are a number of powerful local-global theorems, which can be thought as generalizations of the Gauss-Bonnet theorems in various directions. They are consequences of the fact that positive curvature makes geodesics converge, while negative curvature forces them to spread out.

Ist diese Aussage allgemeingültig, Schwarzschild + FRW? Und was ist mit curvature gemeint. Auf derselben Seite oben werden die 3 Möglichkeiten (Vorzeichen) der Schnittkrümmung angesprochen.

Gruß, Timm