Lorentz-Transformation (Herleitung)

[Marco Polo]

Hallo Gwunderi,

wir können ja mal als Einstieg die Formel für die Längenkontraktion anhand einer quer liegenden Lichtuhr herleiten.

Dazu betrachten wir zwei Inertialsysteme. Das S-System und das S'-System.

Im S'-Sytem ruht diese quer liegende Lichtuhr parallel zur x'-Achse.

Bei t'=0 und x'=0 startet jetzt ein Photon dieser Lichtuhr und bewegt sich in Richtung der positiven x'-Achse zum anderen Ende dieser Lichtuhr.

Ein Beobachter in diesem System, also dem S'-System, möchte jetzt die Länge l' dieser Lichtuhr ermitteln. Wie macht er das?

Er misst die Laufzeit t' des Photons vom linken zum rechten Ende der Lichtuhr und zurück.

l'=0,5 * ct'

0,5 deswegen, weil er bei der Messung von t' durch das hin und zurück "zweimal" die Länge l' berücksichtigt hat. Und wir wollen ja nur "einmal" die Länge von l' wissen.

Die Lichtuhr bewegt sich im anderen System, dem S-System, mit der Geschwindigkeit v in Richtung positiver x-Achse.

Im S-System hat die Lichtuhr aufgrund der Längenkontraktion die Länge l, die wir nun ebenfalls ermitteln möchten.

Da die Lichtuhr sich im S-System ja mit v bewegt, sollte klar sein, dass unser Photon jetzt für den Hin- und Rückweg innerhalb dieser Lichtuhr unterschiedlich lange Zeiten t1 und t2 benötigt. Ebenso sind natürlich die zurückgelegten Wege unterschiedlich lang. Nämlich:

l1=l+vt1 und l2=l-vt2 mit l1=ct1 und l2=ct2

daraus folgt:

t1(c-v)=l
t2(c+v)=l

Die Laufzeit t des Photons im S-System beträgt t1+t2.

t=t1+t2=l/(c-v)+l/(c+v)=(l(c+v)+l(c-v))/(c²-v²)

=2lc/(c²-v²)=2l/c *1/(1-v²/c²)

Wir haben jetzt so umgeformt, dass man schön das Quadrat des Gammafaktors sieht. Nämlich gamma²=1/(1-v²/c²).

Also ergibt sich für t:

t= gamma²*2l/c

Wir stellen nach l um und erhalten:

(1) l=ct/2gamma²

Die Länge im S'-System war ja

(2) l'=0,5 * ct'

Division von (1) durch (2) ergibt:

l'/l=gamma²*t'/t

l'/lgamma=gamma*t'/t mit t=t'*gamma

l'/lgamma=1

l=l'/gamma die bekannte Längenkontraktion


Man kann also mit Hilfe der Betrachtung eine quer liegenden Lichtuhr die Längenkontraktion herleiten.

Jetzt ist es nur noch ein kleiner Schritt zur Herleitung der Lorentz-Transformation aus ebendieser parallel liegenden Lichtuhr.

Super. Jetzt hab ich die 1. Halbzeit von Malaga-BVB verschlafen, fällt mir gerade auf. Mist.

Grüsse, Marco Polo