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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 25.05.07, 00:07
atainuj atainuj ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 24.05.2007
Beitr?ge: 1
Standard Kommutatoren berechnen

Hallo Ihr Lieben,

dies ist jetzt mehr ein rein mathematisches Problem als ein philosophisches. Ich möchte gern besser lernen, wie man Kommutatoren berechnet. Mein Dozent sowie die Bücher, die ich so finde sind recht theoretisch und liefern wenige Beispiele zu Rechenmethoden -wie z.B. auch gängige Lösungsmethoden für Integrale in der QM-.

Kennt Ihr ein Buch oder Internetseiten, dass Ihr mir empfehlen könnt. Auch für beispiele hier im Forum wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße!!
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  #2  
Alt 25.05.07, 16:18
Benutzerbild von Hamilton
Hamilton Hamilton ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 02.05.2007
Ort: Deutschland
Beitr?ge: 447
Standard AW: Kommutatoren berechnen

Tja, hast Du denn schon die üblichen Bücher konsultiert?
Also z.B. mal den Cohen-Tannouji oder den Messiah gelesen?
Auch Nolting, Greiner, Schwabl und etliche andere haben das in ihren Einführungsbüchern drin.

Aber gut, ein Beispiel

Kommutator zwischen Ort und Impuls

[r,p] = rp - pr

Es macht Sinn an dieser Stelle das mal auf eine Funktion Ψ(r) loszulassen, sonst wird das schwierig...
Also schreiben wir

[r,p] Ψ = rp Ψ - pr Ψ

und jetzt setzen wir ein r = r; p = -ih ∇
(mit h meine ich hquer, aber das sieht doof aus, also schreibe ich h)

-rih ∇ Ψ + ih ∇ r Ψ = (Produktregel)
-rih ∇ Ψ + ih (Ψ ∇ r + r ∇ Ψ)=
ih Ψ ∇ r

Ok, was ist ∇ r?
r ist der Ortsvektor, also ist
∇ r = 1, vgl. 1dimensional d/dx x = 1

also
[r,p] Ψ = (rp - pr) Ψ = ih Ψ
kürzen wir Ψ
=> [r,p] = ih

Oftmals ist es empfehlenswert solche mehrdimensionalen Dinger in Komponenten zu lösen, dann bekommt man raus, wie die einzelnen Komponenten kommutieren
z.B. [r_i,p_j] = ih δ_ij
das heißt, dass r_1 durchaus mit p_2 kommutiert, aber nicht r_1 mit p_1
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman

Ge?ndert von Hamilton (25.05.07 um 16:36 Uhr) Grund: Hab ein paar Unicodezeichen eingebaut, damit das schöner aussieht
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  #3  
Alt 25.05.07, 22:56
Uli Uli ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beitr?ge: 1.804
Standard AW: Kommutatoren berechnen

Hamilton hat ja schon etliche, gute Hinweise gegeben, noch ein bisschen ergänzend dazu ...
Ein Kommutator zweier Größen A und B ist ganz allgemein in der Mathematik definiert als

[A,B] = AB - BA

Der Kommutator gewöhnlicher Zahlen verschwindet (ist gleich 0), da die gewöhnliche Multiplikation kommutativ ist.
In der Quantentheorie werden aber physikalische Größen durch Operatoren dargestellt, die auf Zustände wirken. Bei Schrödinger sind dies Differentialoperatoren, die auf Wellenfuntionen wirken; bei Heisenberg sind es Matrizen, die auf Spaltenvektoren wirken.
Solche Operatoren kommutieren nicht mehr zwangsläufig, wie man sich leicht anhand von Differentialoperatoren oder Matrizen klar machen kann (siehe auch Hamiltons Post für Impuls- und Orts-Operatoren in der Ortsdarstellung).

In der Quantenmechanik sind die Kommutatoren solcher Operatoren i.a. wiederum Operatoren. Der Erwartungswert so eines Kommutator-Operators gibt die minimale Unschärfe zweier solcher Größen an.

Man kann zeigen, dass Operatoren, deren Kommutator verschwindet, einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen haben, d.h. wenn

[A,B] = 0

dann gibt es Zustände |n> derart, dass

A |n> = a |n> und B |n> = b|n> ist

Dabei sind a und b keine Operatoren sondern Zahlen - die Eigenwerte dieser Operatoren. Die Eigenwerte kommutierender Observabler (physikalischer Größen) spielen in der Quantentheorie die Rolle von scharfen Messwerten; solche Observablen sind somit simultan messbar.

In der Quantenfeldtheorie spielen übrigens auch Anti-Kommutatoren eine große Rolle

{A,B} = AB + BA

und zwar bei der Beschreibung von Fermion-Feldern (Spin 1/2 - Teilchen), wogegen bei Bosonen wiederum die Kommutatoren zum Zuge kommen.

Aber ich fürchte, die Diskussion solcher Formalismen sprengt den Rahmen dieses Forums.

Gruss, Uli
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  #4  
Alt 25.08.07, 17:38
houdini houdini ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 25.08.2007
Beitr?ge: 1
Standard AW: Kommutatoren berechnen

Zu den Antikommutatoren hab ich auch noch ne Frage: Man kann ja laeicht zeigen, dass zum Beispiel der Antikommutator der einzelnen Pauli-Matrizen verschwindet, aber was bedeutet das eigentlich? Beim Kommutator steht das in jedem Buch, beim Antikommutator aber zumindest nicht in denen, die ich bisher konsultiert hab...
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  #5  
Alt 26.08.07, 12:42
Uli Uli ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beitr?ge: 1.804
Standard AW: Kommutatoren berechnen

Zitat:
Zitat von houdini Beitrag anzeigen
Zu den Antikommutatoren hab ich auch noch ne Frage: Man kann ja laeicht zeigen, dass zum Beispiel der Antikommutator der einzelnen Pauli-Matrizen verschwindet, aber was bedeutet das eigentlich? Beim Kommutator steht das in jedem Buch, beim Antikommutator aber zumindest nicht in denen, die ich bisher konsultiert hab...
Kommutation von Operatoren physikalischer Observabler bedeutet in der Quantenmechanik, dass diese Größen simultan genau messbar sind, d.h. keine Unschärferelation zwischen diesen existiert.

Die Bedeutung des Antikommutators ist ein ziemlich fortgeschrittenes Thema. In relativistischen Quantenfeldtheorien gibt es zwischen bosonischen Feldern Vertauschungsrelationen und zwischen fermionischen Feldern entsprechende Anti-Vertauschungsrelationen.

Wenn mich mein Gedächtnis nicht ganz im Stich lässt, sichert die Postulierung dieser (Anti-)Vertauschungsregeln die Wahrung der Kausalität in diesen Theorien.
Diese Relationen stellen sicher, dass die entsprechenden Propagatorfunktionen dieser Felder (beschreiben die Eigenschaften virtueller Teilchen) keine Wirkungsfortpflanzung zwischen Ereignissen mit raumartigem Abstand zulassen (speziell: keine Überlichtgeschwindigkeit aufgrund virtueller Teilchen).

Die Paulimatrizen beschreiben Drehimpulse; sie generieren eine 2-dimensionale Spinordarstellung der Drehgruppe. Entsprechend sind ihre Vertauschungsrelationen die von quantenmechanischen Drehimpuls-Opratoren.

Ich hoffe, das war jetzt nicht nur "Bahnhof" ... ?

Gruss, Uli
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