Verschränkung, speziell Photonen

[Sino]

Mir wurde gerade bewusst, dass ich bestimmte Effekte der Quantenmechanik, wie Verschränkungen immer als gegeben akzeptiert habe und auch grob weiss, wie verschränkte Zustände in Bra-Ket-Notation behandelt werden, aber mir ist überhaupt nicht klar, wie damals überhaupt hergeleitet wurde, dass Verschränkung existiert.

Wenn ich mal von polarisationsverschränkten Photonen und deren Erzeugung ausgehe, dann müsste sich der Effekt doch eigentlich schon fast mit den Maxwellschen Gleichungen erschlagen lassen.

Ok, kurz die Erzeugung: Also ich feuere einen Laserpuls auf einen nicht-linearen Kristall. Den Puls beschreib ich mit den Maxwellschen Gleichungen. Im nichtlinearen Kristall entstehen nun 2 Photonen halber Wellenlänge, die sich wieder nach den Maxwellschen Gleichungen verhalten.
So, nun sind die zwei Photonen aber polarisationsverschränkt und bleiben das auch. Die Verschränkung müsste sich doch direkt als eine Lösung der Maxwellschen Gleichungen vorkommen. Die Quantisierung wird ja nicht allein der Grund für sowas wie die Verschränkung sein. Die Verschränkung müsste sich ja direkt in den Vektoren der E und B Felder wiederfinden.
Und das Licht / die Photonen, die so eng mit dem EM-Feld verknüpft sind, wie nur möglich, werden ja auch nicht plötzlich auf die Idee kommen, gegen die Maxwellschen Gleichungen zu verstossen, nur weil ich EPR-Experimente mache.

Kennt da jemand die Herleitung ? Irgendwo muss man ja mal von den noch relativ leicht nachvollziehbaren Effekten wie Energiequanten und Unschärferelation auf Verschränkung gekommen sein.
So wie ich das als Nicht-Physiker sehe, brauch ich Schrödinger's Gleichung ja nicht, da die nur für Fermionen relevant ist.

Also, die Maxwellschen Gleichungen mit diskreten Energieniveaus beackern müsste doch schon alles sein, was man braucht, um polarisationsverschränkte Photonen zu erklären. ( Auch wenn ich gerade keinen Plan habe, wie man da anfängt.) Mir ist nicht so richtig klar, ob/wie das dann hinhaut, wenn ich z.b. zwei verschränkte Photonen hab, die dann als Pulse durch zwei Glasfasern schiessen und verschränkt bleiben.

Falls jemand sich damit auskennt und das mal vorexerzieren kann, wäre das cool.

[Uli]

Hi Sino,

nicht, dass ich mich da so gut auskenne, aber dennoch meine Gedanken zu deiner Frage:

Verschränkung ist nach meinem Verständnis ein Effekt, der aus der statistischen Natur der Quantenmechanik resultiert; er betrifft die Wellenfunktion eines zusammengesetzten Systems - mit anderen Worten, die Vorhersagen für ein Ensemble identischer Experimente.
Die Verschränkung äußert sich dabei als die Vorhersage einer Korrelation zwischen Messungen an 2 verschiedenen Orten ("immer wenn ich am Ort A X messe, dann messe ich am Ort B -X"), wobei ich das Messergebnis selbst aber nicht exakt vorhersagen kann - höchstens einen probabilistischen Erwartungswert.

Maxwells Theorie aber hat keinen statistischen Charakter; man darf auf keinen Fall die Wellenfunktion der elektrischen Feldstärke oder des 4-Potentials (die ja unmittelbar physikalische Observablen=Messgrößen beschreiben) mit der probabilistischen Wellenfunktion der Quantenmechanik identifizieren (deren Betragsquadrat ja eine Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt).

Gruß,
Uli

PS. die Schrödinger-Gleichung gilt übrigens nicht nur für Fermionen. Für Photonen ist sie allerdings tatsächlich nicht nutzbar, da sie eine nichtrelativistische Näherung ist. Freie Photonen genügen einer quantisierten Form der Maxwell-Gleichung.

[Sino]

@Uli
Hmm, die Polarisation des Photonenpaars ergibt sich ja irgendwie aus Energie- und Impulserhaltungsatz bei der Erzeugung, wenn sie aus dem "Spenderphoton" entstehen. Danach sind die beiden Polarisationsrichtungen im 90 Grad-Winkel zueinander. Aber so wie ich das immer verstanden hab, bewirkt die Verschränkung, dass von da an die Polarisationsrichtungen der 2 Photonen mit einander verkoppelt bleiben, also dass sie sich quasi diesen Zustand teilen. Wenn das so ist, hätte ich vermutet, dass man das in den Maxwellschen Gleichungen wiederfindet.

Also wenn man daraus eine Lösung für das eine Photon extrahieren würde, dann wäre der Ausdruck mit der Lösung für das andere Photon irgendwie verknüpft.

In dem Sinne habe ich auch immer die Verschränkung von Spin 1/2 Teilchen verstanden. Ich dachte, die Statistik brauch ich eigentlich nur, weil sich der Spin eines einzelnen Teilchens praktisch einer genauen Messbarkeit entzieht, so dass ich das Ganze oft wiederholen muss.
Irgendwie wüsste ich auch nicht, wie sich statistisch eine Beziehung zwischen zwei Messreihen ergeben sollte, wenn die zugrundeliegenden Einzelvorgänge nicht schon miteinander in Beziehung stehen würden.

Zitat von Uli

PS. die Schrödinger-Gleichung gilt übrigens nicht nur für Fermionen. Für Photonen ist sie allerdings tatsächlich nicht nutzbar, da sie eine nichtrelativistische Näherung ist. Freie Photonen genügen einer quantisierten Form der Maxwell-Gleichung.

Ok, ich dachte, das i in der Schrödingergleichung kommt nur dadurch, dass man mit Teilchen werkelt, deren Spin ein ungradzahliges Vielfaches von 1/2 ist. Hab da vielleicht zuviel hineininterpretiert.

[Uli]

Das "i" in der Schrödinger-Gleichung hat zu tun mit der zeitlichen Entwicklung von Quantenzuständen,



==>



so wie sie durch den Hamilton-Operator diktiert wird - Formeln aus
Hamilton-Operator

Tatsächlich ist die Schrödingergleichung - so wie man sie "immer hinschreibt" - am ehesten geeignet, Spin 0 - Teilchen zu behandeln, denn sie ignoriert den quantenmechanischen Freiheitsgrad "Spin" komplett.

Will man nicht-relativistisch eine Wellengleichung für Spin-1/2 Teilchen diskutieren,
so bietet sich z.B. die Paulis Erweiterung
der Schrödinger-Gleichung.:



Gruß,
Uli

[Sino]

Hmm, ok, hab da wohl etwas falsch interpretiert, obwohl ich schon noch glaube, dass das i durch Spin in die Gleichung kommt. Ich muss das mal durcharbeiten.

Ich hatte die Verbindung zwischen i und Spin in der Schrödinger Gleichung aus einem Hestenes-Paper zur Geometrischen Algebra im Kopf, in dem die Quantenmechanik vom Matrix/Vektor-System in das GA-System gebracht wird.

In der Einleitung steht da, dass Schrödingers Ausgangspunkt damals war, dass er die komplexe Wellenfunktion des Elektrons hergeleitet hat und Born dann hinzugefügt hat, dass man eine Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Elektrons bekommt, wenn man die Wellenfunktion mir ihrem konjugiert komplexen multipliziert.

Dazu schreibt Hestenes dann in seinem Paper: "This mysterious relation between probability and a complex wave function has stimulated a veritable orgy of philosophical speculation about the nature of matter and our knowledge of it. Curiously, virtually all philosophizing about the interpretation of quantum mechanics has been based on Schroedinger theory, despite the fact that electrons, like all other fermions, are known to have intrinsic spin. We shall see that that is a serious mistake, for it is only in a theory with electron spin that one can see why the wave function is complex. You may wonder why this fact is not common knowledge. The reason is that the geometric meaning of the wave function lies buried in the standard matrix version of the Pauli theory."
....
Dann kommen die ganzen Herleitungen und dann ist Hestenes' Fazit:

• The explicit √−1 in fermion wave functions represents a bivector specifying
the direction of spin.
• i¯h = iσ3¯h represents spin in Schroedinger’s equation. This implies that
spin is not a simple add-on in quantum mechanics but an essential ingredient
of the theory. That is likely to be true for all fermions and bosons that are
composites of fermions.
• Pauli matrices represent vectors, not spin operators in quantum mechanics.
• Bilinear observables are geometric consequences of rotational kinematics,
so they are as natural in classical mechanics as in quantum mechanics.
• The real spinor wave function is easier to interpret and solve than the
matrix version.

edit: Also er sieht im Spin mehr, als nur eine Teilcheneigenschaft, die man bei Bedarf zur Quantenmechanik hinzufügt, sondern sie gehört zum Kern der Theorie. Das ist wohl der Knackpunkt und den hatte ich vergessen.

Da ich mich immer für die komplexe Wellenfunktion und ihre Wahrscheinlichkeitsinterpretation interessiert habe, also für die Frage, was das alles soll, werde ich mir das Ganze auf jeden Fall nochmal zu Gemüte führen müssen.

P.S.: Ich bezieh mich auf das Paper "Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics" von David Hestenes, falls da jemand Interesse in der Richtung hat.

[Uli]

Zitat von Sino

...
In der Einleitung steht da, dass Schrödingers Ausgangspunkt damals war, dass er die komplexe Wellenfunktion des Elektrons hergeleitet hat und Born dann hinzugefügt hat, dass man eine Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Elektrons bekommt, wenn man die Wellenfunktion mir ihrem konjugiert komplexen multipliziert.
...

Das gilt ja nun ganz allgemein für quantenmechanische Wellenfunktionen.
Z.B. ist die relativistische Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung für Spin 0 -Bosonen
die Klein-Gordon-Gleichung



In der Wellengleichung selbst tritt zwar das "i" nicht mehr explizit auf; dennoch sind die Lösungen komplexwertig.
Ich habe noch nie von so einem Zusammenhang zwischen fermionischen Wellenfunktionen und Komplexwertigkeit gehört.

Andererseits ... man lernt nie aus.

Lass uns an deinen "Forschungen" teilhaben.

Gruß,
Uli

[Uranor]

Zitat von Sino

edit: Also er sieht im Spin mehr, als nur eine Teilcheneigenschaft, die man bei Bedarf zur Quantenmechanik hinzufügt, sondern sie gehört zum Kern der Theorie. Das ist wohl der Knackpunkt und den hatte ich vergessen.

Jetzt, wo Meister Zarathustra (der Stoffliche) nicht mehr aktiv ist, darf man es aussprechen, ohne eine Bübchenhysterie mit üblen Beleidigungs-Bombardements zu "riskieren":

Sieht die Wirklichkeit nicht danach aus, als wäre Spin das drehimpulsbasierte konkretisierende, genau das, was ausschließlich jedwede Teilcheneigenschaft begründet?

[Sino]

Mir ist ehrlich gesagt nicht klar, was Spin genau ist / bewirkt ( obwohl der natürlich im geometrischen Sinne schon etwas mit Drehung zu tun hat, wenn auch nicht unbedingt mit Drehbewegung. )

Ok, also ich weiss bzw. hab gelernt, dass Photonen Spin 1 haben, Elektronen Spin 1/2 etc. und dass die einen der Bose-Einstein-Statistik folgen, die anderen der Fermi-Dirac-Statistik, dass der Photonenspin in Bewegungsrichtung zeigt und so ein Zeugs, aber was Spin genau ist, ist mir noch nicht klar.

Speziell weil es dann noch so etwas wie Spin-0 Teilchen gibt/geben soll, das noch nicht bestätigte Higgs-Teilchen z.b. , wo dann von Skalarbosonen gesprochen wird. Von daher vermutet man ja auch elementare Teilchen ohne Spin.

[Hermes]

Zitat von Sino

Mir ist ehrlich gesagt nicht klar, was Spin genau ist / bewirkt ( obwohl der natürlich im geometrischen Sinne schon etwas mit Drehung zu tun hat, wenn auch nicht unbedingt mit Drehbewegung. )

Nicht, daß ich mich damit auskennen würde, aber soweit ich weiß gibt es zum 'Spin' keine offizielle Deutung.
Eine eben für unser Alltagsverständnis nicht weiter vorstellbare Eigenschaft.
Eine Beschreibung von etwas ohne zu wissen, was es eigentlich ist.
Korrigiert mich, wenn ich faktisch falsch liege.

Ich vermute die Bezeichnung 'Spin' und ihre Drehassoziationen ist eher intuitiv, weniger wissend daß es sich tatsächlich um eine Drehung handeln könnte gewählt worden.

[Lambert]

Zitat von Sino

Mir ist ehrlich gesagt nicht klar, was Spin genau ist / bewirkt ( obwohl der natürlich im geometrischen Sinne schon etwas mit Drehung zu tun hat, wenn auch nicht unbedingt mit Drehbewegung. )

Ok, also ich weiss bzw. hab gelernt, dass Photonen Spin 1 haben, Elektronen Spin 1/2 etc. und dass die einen der Bose-Einstein-Statistik folgen, die anderen der Fermi-Dirac-Statistik, dass der Photonenspin in Bewegungsrichtung zeigt und so ein Zeugs, aber was Spin genau ist, ist mir noch nicht klar.

Speziell weil es dann noch so etwas wie Spin-0 Teilchen gibt/geben soll, das noch nicht bestätigte Higgs-Teilchen z.b. , wo dann von Skalarbosonen gesprochen wird. Von daher vermutet man ja auch elementare Teilchen ohne Spin.

Tja, hmmm, ich möchte nicht langweilen, aber sqt sieht den Spin als eine Eigenschaft des imaginären Raumes. Eine Folge eines der Stabiltätskriterien zwischen reellem und imaginärem Raum. Keine Ahnung. So steht es jedenfalls in deren Buch.

Gruß,
Lambert